Hauptsatz: dU =δQ−pdV +µdN

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theoretische Festk¨orperphysik

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 10

Prof. Dr. G. Sch¨on L¨osungsvorschlag zu Blatt 1

Dr. J. Cole 23.04.2010

1. Ideales Gas

(a) 1. Hauptsatz: dU =δQ−pdV +µdN.

Adiabatische Zustands¨anderung: δQ= 0 , konstante Teilchenzahl: dN = 0 ,

also: dU =−pdV . In einem thermisch isolierten Gas in einem geschlossenen Beh¨alter kann sich die innere Energie nur durch mechanische Arbeit ¨andern.

Bekannt ist außerdem: U = f

2N kT →dU = f

2N kdT

und pV =N kT →pdV +V dp=N kdT , zusammen→dU = f

2[pdV +V dp] . Mit dem 1. Hauptsatz von eben gibt das (1 +f

2)pdV =−f 2V dp,

was jetzt integriert werden kann, von einem thermodynamischen Zustand 0 zu einem anderen 1 ¨uber einen reversiblen Weg,

(1 + f 2)

1

Z

0

dV

V =−f 2

1

Z

0

dp p

Daraus folgt, mit V1 ≡V , p1 ≡p, denn der Zustand 1 ist beliebig, (1+f

2) ln(V V0

) = −f 2 ln( p

p0

)⇒(1+2

f) ln(V)+ln(p) = const1 ⇒ p V^(1+2/f) =const2

Analog ergibt sich aus dU = −pdV und dU = f

2N kdT und pV = N kT → p = N kT

V unmittelbar N k

V dV =−f 2

N k

T dT , also ln(V

V0

) = −f 2 ln(T

T0

)⇒ V T^{f /2} =const3

(b) F¨ur die isothermen Teilprozesse ergibt sich einfach:

V1 →V2: dU = 0, dQ=pdV,Q=RV²

V¹ pdV ⇒ Q=RTlnV2

V1

(c)

2

1 2 1

1 2

Wir nehmen als Arbeitsmittel eines Carnotprozesses ein ideales Gas an. F¨ur die iso- thermen Teilprozesse ergibt sich:

• 1→2: dU = 0, dQ=pdV, Q2 =R2

1 pdV =RT2ln^V_V²₁

• 3→4: dU = 0, dQ=pdV, Q₁ =R4

3 pdV =RT₁ln^V_V³

4, so dass ^Q_Q²

1 = ^T_T²

1

lnV2/V1

lnV3/V4

F¨ur die Teilprozesse 2→3 und 4→1 erhalten wir T2V₂^γ−1 = T1V₃^γ−1 T₁V₄^γ−1 = T₂V₁^γ−1

⇒ V₂ V1

= V₃ V4

Somit gilt f¨ur das ideale Gas ^|Q_|Q¹₂^|_| = ^T_T¹₂ = 1−ηc, und das ist die Definition f¨ur die Kelvintemperaturskala.

2. Entropie des idealen Gases

(a) Die “Fundamentalbeziehung” lautet:T S =U+pV −µN ⇒S= 1 TU+ p

TV −µ TN. MitS =S(U, V, N) folgt dS = 1

TdU+ p

TdV − µ TdN. Es ist jetzt praktisch, Dichten einzuf¨uhren:

s=S/N , u=U/N , v=V /N ⇒s= 1 Tu+ p

Tv− µ T . MitS =S(U, V, N) ist auch s=s(U, V, N) =s(u, v, N) , s h¨angt offenbar nicht explizit von N ab, also:

s =s(u, v),ds= 1

Tdu+ p Tdv Dass s nicht von N abh¨angt, folgt auch ganz allgemein:

U, V, N, S sind extensiv, das heißt z.B. S(λU, λV, λN) = λS(U, V, N) . Die Dichten sind (trivialerweise) intensiv, alsos(λU, λV, λN) = s(U, V, N) . Dies kann nur erf¨ullt werden, wennU, V, N nur als Quotienten (Dichten) eingehen, alsos=s(U/N, V /N) oders(U/V, U/N) oder s(U/V, V /N) .

ds l¨aßt sich jetzt integrieren, wenn manT und p rauswirft:

U = f

2N kT ⇒u= f

2kT ⇒ 1 T = f

2k1

u, pV =N kT ⇒ p T =k1

v

ds= f 2kdu

u +kdv

v ⇒s−s0 = f

2kln( u u0

) +kln(v v0

)

Die Integrationskonstanten sind s0 = S0/N0, u0 = U0/N0, v0 = V0/N0, einsetzen liefert

S = S0

N N0

+N k f

2

ln(U U0

) + ln(N0

N )

+

ln(V V0

) + ln(N0

N )

= N S0

N0

+N k f

2 ln U

U0

+ ln

V V0

− f

2 + 1

ln N

N0

(b) Nehmen wir an, ein Gas aus N0 Teilchen besteht, das im konstanten Volumen V0

eingeschlossen ist. Dann h¨angt U von der Temperatur ab ¨uber U = ^f₂N0kT , also, mit U0 ≡ ^f

2N0kT0, T0 =const.,

S(T) =S0+f

2N0kln(T T0

)

F¨ur T → 0 divergiert dies, d.h. es l¨aßt sich kein S0 finden, so dass S(T → 0) = 0 w¨are.

Das “ideale Gas” ist eine brauchbare N¨aherung f¨ur ideale Gase nur bei hohen Tem- peraturen. BeiT →0 muss die Quantennatur der Teilchen (Fermionen oder Boso- nen) ber¨ucksichtigt werden, die zu einem nichtentarteten Grundzustand des Gases f¨uhrt. Dann folgt aus der informationstheoretischen Fundierung der Entropie (siehe Vorlesung) sofort S(T →0) = 0 .

(c) Wir l¨osen S(U, V, N) einfach auf.

U(S, V, N) = U0· N N0

·

N V0

V N0

2/f

·exp 2

f k S

N − S0

N0

.

(d) Bestimmen Sie die Helmholtz freie Energie durch die Legendre-Transformation.

F(T, V, N) = U(T, V, N)−T S(T, V, N)

= T N cV −S0

N N0

−N kln

"

T T0

^f2 V V0

N N0

−1!

hinweis:

U

U⁰ = _N^N_0T^T₀ und F0 =F(T0, V0, N0) =T0(N0cV −S0)

F(T, V, N) = U U0

F0−N0kT0ln

"

T T0

^f2 V V0

N N0

−1#!