Karlsruher Institut Institut f¨ur Theorie der
f¨ur Technologie (KIT) Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 09
Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 2
Dr. S. Rachel 5.5.2009
1. Ideales Gas
1. Hauptsatz: dU =δQ−pdV +µdN.
Adiabatische Zustands¨anderung: δQ= 0 , konstante Teilchenzahl: dN = 0 ,
also: dU =−pdV . In einem thermisch isolierten Gas in einem geschlossenen Beh¨alter kann sich die innere Energie nur durch mechanische Arbeit ¨andern.
Bekannt ist außerdem: U = f
2NkT →dU = f
2NkdT
und pV =NkT →pdV +V dp=NkdT , zusammen→dU = f
2[pdV +V dp] . Mit dem 1. Hauptsatz von eben gibt das (1 + f
2)pdV =−f 2V dp,
was jetzt integriert werden kann, von einem thermodynamischen Zustand 0 zu einem anderen 1 ¨uber einen reversiblen Weg,
(1 + f 2)
Z1
0
dV
V =−f 2
Z1
0
dp p
Daraus folgt, mit V1 ≡V , p1 ≡p, denn der Zustand 1 ist beliebig, (1 + f
2) ln(V V0
) = −f 2 ln( p
p0
)⇒(1 + 2
f) ln(V) + ln(p) =const1 ⇒ p V(1+2/f) =const2
Analog ergibt sich aus dU =−pdV und dU = f
2NkdT und pV =NkT → p= NkT V unmittelbar Nk
V dV =−f 2
Nk
T dT , also ln(V
V0) =−f 2 ln(T
T0)⇒ V Tf /2 =const3
2. Entropie des idealen Gases
(a) Die “Fundamentalbeziehung” lautet:T S =U+pV −µN ⇒S= 1 TU+p
TV −µ TN. MitS =S(U, V, N) folgt dS = 1
TdU+ p
TdV − µ TdN. Es ist jetzt praktisch, Dichten einzuf¨uhren:
s=S/N , u=U/N , v=V /N ⇒s = 1 Tu+ p
Tv− µ T . MitS =S(U, V, N) ist auch s=s(U, V, N) =s(u, v, N) ,
s h¨angt offenbar nicht explizit von N ab, also:
s =s(u, v),ds= 1
Tdu+ p Tdv Dass s nicht von N abh¨angt, folgt auch ganz allgemein:
U, V, N, S sind extensiv, das heißt z.B. S(λU, λV, λN) = λS(U, V, N) . Die Dichten sind (trivialerweise) intensiv, alsos(λU, λV, λN) = s(U, V, N) . Dies kann nur erf¨ullt werden, wennU, V, N nur als Quotienten (Dichten) eingehen, alsos=s(U/N, V /N) oders(U/V, U/N) oder s(U/V, V /N) .
ds l¨aßt sich jetzt integrieren, wenn manT und p rauswirft:
U = f
2NkT ⇒u= f
2kT ⇒ 1 T = f
2k1
u, pV =NkT ⇒ p T =k1
v ds= f
2kdu
u +kdv
v ⇒s−s0 = f
2kln(u u0
) +kln(v v0
)
Die Integrationskonstanten sind s0 = S0/N0, u0 = U0/N0, v0 = V0/N0, einsetzen liefert
S = S0
N N0
+Nk f
2
ln(U U0
) + ln(N0
N )
+
ln(V V0
) + ln(N0
N )
= N S0
N0 +Nk f
2 ln(U
U0) + ln(V
V0)−(f
2 + 1) ln(N N0)
(b) Nehmen wir o.B.d.A. mal an, dass das Gas aus konstantenN =N0 Teilchen besteht und im konstanten Volumen V = V0 eingeschlossen ist, dann h¨angt U von der Temperatur ab ¨uberU = f2N0kT, also, mit U0 ≡ f
2N0kT0, T0 =const., S(T) =S0+f
2N0kln(T T0
)
F¨ur T →0 divergiert dies, es l¨aßt sich kein S0 finden, so dass S(T →0) = 0 w¨are.
Das “ideale Gas” ist eine brauchbare N¨aherung f¨ur ideale Gase nur bei hohen Tem- peraturen. BeiT →0 muss die Quantennatur der Teilchen (Fermionen oder Boso- nen) ber¨ucksichtigt werden, die zu einem nichtentarteten Grundzustand des Gases f¨uhrt. Dann folgt aus der informationstheoretischen Fundierung der Entropie (siehe Vorlesung) sofort S(T →0) = 0 .
3. Thermodynamische Antwortfunktionen:
(a)
B =B(T, S) ⇒ dB = ∂B
∂T
S
dT + ∂B
∂S
T
dS M =M(T, S) ⇒ dM =
∂M
∂T
S
dT + ∂M
∂S
T
dS Betrachte nun dB = 0 , dann
dS dT =
∂S
∂T
B
, 0 = ∂B
∂T
S
+ ∂B
∂S
T
∂S
∂T
B
⇒ cB T =−
∂B
∂T
S
∂S
∂B
T
oder dM = 0 : dS
dT = ∂S
∂T
M
, 0 = ∂M
∂T
S
+ ∂M
∂S
T
∂S
∂T
M
⇒ cM T =−
∂M
∂T
S
∂S
∂M
T
Im Quotienten kann gek¨urzt werden, solange die festgehaltene Variable dieselbe ist:
cB
cM = ∂B
∂T
S
∂T
∂M
| {z S} ∂B
∂M
S
= 1 χS
· ∂S
∂B
T
∂M
∂S
| {z T} ∂M
∂B
T
=χT
= χT
χS
(b)
S=S(T, M), M =M(T, B)⇒S=S(T, M(T, B))
Mit der gleichen Strategie, die wir auch bei Blatt 1 Aufgabe 3 c angewendet haben, erhalten wir schließlich:
⇒ cB
T = ∂S
∂T
B
= ∂S
∂T
M
+ ∂S
∂M
T
∂M
∂T
B
⇒cB−cM =T ∂S
∂M
T
αB
Maxwell: es gilt dF =−SdT +BdM ↔F =F(T, M) , also ∂S
∂M
T
=− ∂B
∂T
M
⇒cB−cM =−αBT ∂B
∂T
M
Es war M =M(T, B) ; wir brauchen jetzt dM = 0 , also, mit dB dT =
∂B
∂T
M
,
dM = ∂M
∂T
B
dT + ∂M
∂B
T
dB = 0⇒0 = ∂M
∂T
B
+ ∂M
∂B
T
∂B
∂T
M
⇒ ∂B
∂T
M
=−αB
χT
⇒cB−cM =Tα2B χT
