Lineare Algebra f¨ ur Physiker 5. ¨ Ubungsblatt

Lineare Algebra f¨ ur Physiker 5. ¨ Ubungsblatt

Fachbereich Mathematik SS 2013

Prof. Dr. Matthias Schneider 21./24. Mai 2013

Dr. Silke Horn

Dipl. Math. Dominik Kremer

Gruppen¨ubung

Aufgabe G1

Es seienAund Bjeweils n×nMatrizen. Außerdem sollA·B=E_n gelten.

(a) Zeigen Sie, dass dann auch B·A=E_ngilt.

(b) Zeigen Sie, dassA⁻¹=Bund B⁻¹=Aist.

Aufgabe G2

SeiB= (b₁, . . . ,b_n)eine Basis desK-Vektorraums V. Zeigen Sie: Die Vektorena₁, . . . ,a_m∈V sind genau dann linear unabh¨angig, wenn ihreB-KoordinatenvektorenA₁, . . . ,A_m linear unabh¨angig sind.

Aufgabe G3

Berechnen Sie (mit Hilfe einer Induktion nachn∈N) die Determinante

V_n(x₁, . . . ,x_n):=det















1 x₁ x²₁ · · · x₁ⁿ⁻¹ 1 x₂ x²₂ · · · x₂ⁿ⁻¹ ... ... ... . .. ... 1 x_n x²_n · · · x_nⁿ⁻¹













 .

Dabei seien x₁, . . . ,x_n∈Rbeliebig undn>1.

Aufgabe G4

Betrachten Sie den VektorraumV =F(R,R)der Funktionen vonRnachR. (a) Sind die folgenden Funktionen f₁,f₂in V linear unabh¨angig?

f₁(x):=e^x, f₂(x):=x ∀x∈R

(b) Sind die folgenden Funktionen f₁,f₂,f₃inV linear unabh¨angig?

f₁(x):=sin²x, f₂(x):=cos²x, f₃(x) =1 ∀x∈R

(c) Sind die folgenden Funktionen f₁,f₂,f₃inV linear unabh¨angig?

f₁(x):=1, f₂(x):=x, f₃(x) =x² ∀x∈R

Zeigen Sie jeweils ihre Behauptungen.

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Haus¨ubung

Aufgabe H1 (6 Punkte)

Es seiKein K¨orper undV ein endlich erzeugterK-Vektorraum. Weiter seienU undWUnterr¨aume vonV. Zeigen Sie:

(a) Es gilt U∩W ={0} und U+W =V genau dann, wenn f¨ur jede geordnete Basis(u₁, . . . ,uk)von U und jede geordnete Basis(w₁, . . . ,w_m)vonW das Tupel (u₁, . . . ,u_k,w₁, . . . ,w_m)eine geordnete Basis vonV ist.

(b) Es gilt:

dim(U+W) =dimU+dimW−dim(U∩W).

Z¨ahlen Sie dazu Vektoren in geeigneten Basen.

Aufgabe H2 (6 Punkte)

Man betrachteV :={(a_n)n∈N0|a_n+2=a_n+1+a_n}

(a) Zeigen Sie, dass V einR-Vektorraum ist und bestimmen SiedimV. (b) Man bestimme q₁6=q₂∈R\{0}derart, dass(q₁ⁿ)n∈N0, (q₂ⁿ)n∈N0∈V gilt.

(c) Zeigen Sie, dassB={(qⁿ₁), (q₂ⁿ)}eine Basis vonV ist.

(d) Man bestimme die Koordinaten der Folge(bn)_n∈N0∈V mitb₀=0,b₁=1bzgl.B und insbesondere eine Formel f¨ur b_n.

Aufgabe H3 (6 Punkte)

(a) Sei V =K^n×nder K-Vektorraum dern×n-Matrizen ¨uber dem K¨orperK. Bestimmen Sie die Dimension vonV und geben Sie eine Basis vonV an.

(b) SeiH_n={A∈C^n×n|A^∗=A}. Zeigen Sie, dassH_neinR-Vektorraum, aber keinC-Vektorraum ist. (Um zu zeigen, dassH_neinR-Vektorraum ist, gen¨ugt es zu zeigen, dassH_n ein Unterraum desR-Vektorraums C^n×nist.) (c) Bestimmen Sie die Dimension vonH₂und geben Sie eine Basis von H₂an.

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