¨Ubungen zur Vorlesung Mathematik II Folgen und Reihen (Aufgaben)

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Ubungen zur Vorlesung Mathematik II ¨ Folgen und Reihen (Aufgaben)

Prof. Dr. N. Martini

1. Folgen

a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a _n = ₋ ³ⁿ _9n

⁻ +6n ⁵ⁿ⁺⁷ − 3

L¨osung: g = − ¹ ₃

b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a _n = √ n − √

n − 1 L¨osung: g = 0

c) Es ist der Grenzwert g der Folge a _n = ²ⁿ⁺¹ _3n − 2 zu bestimmen sowie ein n ₀ anzugeben, sodass f¨ur alle n > n ₀ gilt | g − a _n | < ε

L¨osung: g = ² ₃ und n > _9ε ⁷ + ² ₃

d) Grenzwert der Folge: a _n = 1 + ( − ³ ₅ ) ⁿ L¨osung: g = 1

e) a _n = ²ⁿ _4n

⁺³ⁿ +1

L¨osung: g = ¹ ₂

f) lim n →∞ ( ⁴ⁿ⁺² _5n − 1 ) · ( ³ ₂ + _n+1 ² ) L¨osung: ⁶ ₅

g) lim n →∞ ( ² _n+4 ^{− 3n} ) ² L¨osung: 9 h) a _n = ²ⁿ _4n+1

⁺¹

L¨osung: divergente Folge i) a _n = (1 + _n ³ ) ⁿ

L¨osung: e ³ j) a _n = (1 + _3n ¹ ) ²ⁿ

L¨osung: e ^2/3 k) a _n = √

3 · (1 + ¹ _n ) ⁿ L¨osung: e

l) Bestimmen Sie die H¨aufungspunkte von a _n = ⁽ _(2n+3) ^{− 1)}

^{· n}

L¨osung: ± ¹ ₄

2

2. Reihen

a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe mittels Partialbruchzerlegung

n

X

k=1

1

(3k − 2)(3k + 1) L¨osung: ¹ ₃

b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe

∞

X

n=1

1

√

n

L¨osung: die Reihe ist divergent

c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe ² ₃ − ³ 6 + ⁴ ₉ − 12 ⁵

L¨osung: die Reihe ist divergent

In den folgenden Aufgaben ist die Konvergenz der Reihe mittels Majoranten-, Minoranten-, Quotienten-, Wurzel- oder Leibniz-Kriterium festzustellen:

d)

∞

X

n=1

√ n − 1 n ² + 1 L¨osung: konvergente Reihe

e)

∞

X

n=2

√ 1 n ² − 1 L¨osung: divergente Reihe

f)

∞

X

n=1

√

n ² + 1 n · √

n ⁵ + n − 1 L¨osung: konvergente Reihe

g)

∞

X

n=1

n ⁵

n !

L¨osung: konvergente Reihe

3

h)

∞

X

n=1

n ! n ⁹ L¨osung: divergente Reihe

i)

∞

X

n=1

µ 3 4

¶ n

· n − 2 n + 2 L¨osung: konvergente Reihe

j)

∞

X

n=1

( √

a − 1) ⁿ a > 0 L¨osung: konvergente Reihe

k)

∞

X

n=1

( √

n − 1) ⁿ L¨osung: konvergente Reihe

l)

∞

X

n=1

3 ⁿ n ⁿ L¨osung: konvergente Reihe

m)

∞

X

n=1

( − 1) ⁿ⁺¹ n

n ² + 1

L¨osung: konvergente Reihe

4

3. Potenzreihen

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Reihen a)

∞

X

n=0

n ² · x ⁿ

L¨osung: r = 1 b)

∞

X

n=0

2 ⁿ · (n + 2) · x ⁿ L¨osung: r = ¹ ₂

c)

∞

X

n=0

n!

(2n)! · x ⁿ L¨osung: r = ∞

d)

∞

X

n=1

( √

n ) ⁿ · x ⁿ L¨osung: r = 0

e)

∞

X

n=0

3 ⁿ · x ³ⁿ 2 L¨osung: r = ¹ ₃

Reihenentwicklung f)

f(x) = cos ² x L¨osung: cos ² x = 1 − x ² + ¹ ₃ x ⁴ − ...

4. Taylorreihen

a) Bestimmen sie die Taylorreihe der Funktion f ( x ) = sin x an der Stelle x ₀ = 0 L¨osung: T _n (x) = ^{P ∞} _{n=0 (2n+1)!} ^{( − 1)}

· x ²ⁿ⁺¹

b) Bestimmen sie die Taylorreihe der Funktion f (x) = sin ² x an der Stelle x ₀ = 0

L¨osung: Ergebnis aus Aufgabe a) quadrieren