Einf¨ uhrung in den π-Kalk¨ ul: ¨ Ubungen zur Vorlesung
Michael Arndt Blatt 3
Universit¨ at T¨ ubingen, WSI SS 2006
Aufgabe 1
Zeigen Sie, daß die Verbindungsoperation _ assoziativ ist, d.h. daß f¨ur beliebige Prozeß- ausdr¨ucke P, Q, R∈ P gilt:
P _(Q_R)≡(P_Q)_R.
Aufgabe 2
Leiten Sie alle m¨oglichen ¨Uberg¨ange des folgenden Prozeßausdrucks her:
(πa)((a.Q1kb.Q2)ka.0)k(b.R1+a.R2).
Aufgabe 3
Vervollst¨andigen Sie den Beweis von Satz 3.2.
Aufgabe 4
Ein n-¨ares Semaphor S0(n) ist ein Prozeß ¨uber N = {an, ab}, der sicherstellen soll, daß zu keinem Zeitpunkt mehr alsn Instanzen eines weiteren Prozesses gleichzeitig aktiv sein k¨onnen. Jede Instanz eines solchen Prozesses muß sich durch eine erste Aktion an beim Semaphor anmelden und durch eine letzte Aktion ababmelden. Es sind:
S0(1) def= an.S1(1) S0(2) def= an.S1(2) S0(3) def= an.S1(3)
S1(1) def= ab.S0(1) S1(2) def= an.S2(2)+ab.S0(2) S1(3) def= an.S2(3)+ab.S0(3) S2(2) def= ab.S1(2) S2(3) def= an.S3(3)+ab.S1(3)
S3(3) def= ab.S2(3) Zeigen Sie, daß S0(2) ∼ S0(1)kS0(1) und S0(3) ∼ S0(2)kS0(1).
Aufgabe 5
Eine Lotteriemaschine, die aus der Menge N = {z1, . . . , zn} genau k Beobachtungen (1 ≤ k ≤ n) ohne Wiederholung zul¨aßt, sei durch folgende Spezifikation beschrieben, wobei I ={1, . . . , n} und X ⊆I.
LotspecX def= P
i∈Xzi.LotspecX\{i} falls|X|> n−k
0 sonst
Geben Sie eine RealisierungP dieser Lotteriemaschine als beschr¨ankte Komposition eines Z¨ahlersCountk und der Verbindung vonn Instanzen eines geeigneten Signalprozesses an, so daß P ≈LotspecI.