Michael Arndt Blatt 3

Einf¨ uhrung in den π -Kalk¨ ul: ¨ Ubungen zur Vorlesung

Michael Arndt Blatt 3

Universit¨ at T¨ ubingen, WSI SS 2004

Aufgabe 1

Zeigen Sie, daß die Verbindungsoperation ^_ assoziativ ist, d.h. daß f¨ur beliebige Prozeß- ausdr¨ucke P, Q, R∈ P gilt:

P ^_(Q^_R)≡(P^_Q)^_R.

Aufgabe 2

Leiten Sie alle m¨oglichen ¨Uberg¨ange des folgenden Prozeßausdrucks her:

(πa)((a.Q1kb.Q₂)ka.0)k(b.R1+a.R₂).

Aufgabe 3

Vervollst¨andigen Sie den Beweis von Satz 3.2.

Aufgabe 4

Ein n-¨ares Semaphor S₀⁽ⁿ⁾ ist ein Prozeß ¨uber N = {an, ab}, der sicherstellen soll, daß zu keinem Zeitpunkt mehr alsn Instanzen eines weiteren Prozesses gleichzeitig aktiv sein k¨onnen. Jede Instanz eines solchen Prozesses muß sich durch eine erste Aktion an beim Semaphor anmelden und durch eine letzte Aktionab abmelden. Es sind:

S₀^{(1) def}= an.S₁⁽¹⁾ S₀^{(2) def}= an.S₁⁽²⁾ S₀^{(3) def}= an.S₁⁽³⁾

S₁^{(1) def}= ab.S₀⁽¹⁾ S₁^{(2) def}= an.S₂⁽²⁾+ab.S₀⁽²⁾ S₁^{(3) def}= an.S₂⁽³⁾+ab.S₀⁽³⁾ S₂^{(2) def}= ab.S₁⁽²⁾ S₂^{(3) def}= an.S₃⁽³⁾+ab.S₁⁽³⁾

S₃^{(3) def}= ab.S₂⁽³⁾ Zeigen Sie, daß S₀⁽²⁾ ∼ S₀⁽¹⁾kS₀⁽¹⁾ und S₀⁽³⁾ ∼ S₀⁽²⁾kS₀⁽¹⁾.

Aufgabe 5

Eine Lotteriemaschine, die aus der Menge N = {z₁, . . . , zn} genau k Beobachtungen (1 ≤ k ≤ n) ohne Wiederholung zul¨aßt, sei durch folgende Spezifikation beschrieben, wobei I ={1, . . . , n} und X ⊆I.

LotspecX

def= P

i∈Xzi.LotspecX\{i} falls|X|> n−k

0 sonst

Geben Sie eine RealisierungP dieser Lotteriemaschine als beschr¨ankte Komposition eines Z¨ahlersCountk und der Verbindung vonn Instanzen eines geeigneten Signalprozesses an, so daß P ≈LotspecI.