Kurven und Wege in der Ebene

Übungsaufgaben 13

Kurven und Wege in der Ebene

Aufgabe 1. Sei ein Parameterı > 0gegeben und der uneigentliche Weg WR !C längs einerKettenliniemittels

.t /D t; ıcosh_ı^t

fürt 2Rdefiniert:

1. Wird die Längenfunktion' WR!Rdes uneigentlichen Weges durch '.t /D

Z t

0

jD.s/jds 2R fürt 2Rgegeben;

so bestimme man den durch Verkettung Dı'definierten und nach seiner Länge parametrisierten uneigentlichen Weg WR!Centlang der Kettenlinie!

2. Man berechne die Krümmung . / 2 Rdes uneigentlichen Weges sowie den Mittelpunkt. /2Cdes Krümmungskreises an in 2R!

3. Man zeige, daß der uneigentliche Weg WR!Cder Krümmungsmittelpunkte differenzierbar ist und für jedes 2Rstets ein Faktor. /2 Rmit

D. /D. / . / . /

existiert!

4. Man überzeuge sich davon, daß die Weglängen für jedes 2 Rdie Beziehung j. / . /j DıCˇ

ˇ R

0 jD.t /jdtˇ

ˇerfüllen! ³

. / . /

.0/

.0/

0

2

Aufgabe 2. Sei ein Radiusı > 0und die Funktion W0;1Œ!Rdurch . /D 1

p2ı für 20;1Œgegeben:

1. Man bestimme den durch . /D

Z

0

.t / dt; v. /D.cos. /;sin. // und . /D.ı; 0/C Z

0

v.t / dt für 2 0;1Œ definiertenuneigentlichen Weg W 0;1Œ ! C, welcher nach seiner Länge parametrisiert ist und in jedem Punkt 2 0;1Œdie Krümmung. /besitzt!

2. Man berechne in jedem Punkt 2 0;1Œjeweils den Mittelpunkt. / 2 C des Krümmungskreises an und zeige, daß der uneigentliche Weg W0;1Œ!Cdieser Krümmungsmittelpunkte längs einerKreisliniemit dem Radiusı > 0verläuft! ±

0 .0/

. /

. /

0

Aufgabe 3. Welche Länge hat der durch

.t /DıtExp.2it /Dıt .cos2 t;sin2 t /2 C fürt 2Œ0; n

gegebene Weg WŒ0; n!Clängs derArchimedischen Spiralemitn2 NWindungen, welche jeweils den Abstandı > 0voneinander haben? ±