RWTH Aachen
Fachgruppe Mathematik
Mohamed Barakat und Sebastian Posur Wintersemester 2015/16
1. Übungsblatt zur Vorlesung „Ebene Algebraische Kurven“
Wir besprochen am: 29. Oktober, 14:15
Aufgabe 1(Unendlich ferne Punkte). Es sei K =R. Wir definieren die Abbildung ι0 :A2(K)→P2(K) : (x, y)7→(1 :x:y).
Bestimme für die unten stehenden Polynome p ∈ K[x, y] und ihre Homogenisie- rungenP ∈K[x0, x1, x2] die Mengen V(p), ι0(V(p)),V(P) und die Differenzmengen V(P)−ι0(V(p)).
(a) p=x2+y2−1, (b) p=x2−y2−1,
(c) p=y−x2.
Visualisiere alle auftretenden Mengen und gib eine Anschauung der Punkte in den Differenzmengen an.
Aufgabe 2 (Projektivitäten). Sei v = (x0, x1, x2) ∈ K3 − {0}. Im Folgenden be- zeichnen wir mit [v] = (x0 : x1 : x2) ∈ P2(K) den zu v zugehörigen Punkt in der projektiven Ebene.
Zeige: Jede bijektive lineare Abbildung α : K3 → K3 induziert eine wohldefinierte bijektive Abbildung
P2(K)→P2(K) : (x0 :x1 :x2)7→[α((x0, x1, x2))].
Bijektive Selbstabbildungen des P2(K), welche durch eine lineare Abbildung indu- ziert werden, heißen auch Projektivitäten. Es sei K = R. Finde für jedes p aus Aufgabe 1 jeweils eine Projektivität π : P2(K) → P2(K), sodass π ◦ ι0(V(p)) ⊆ V(x20+x21−x22) gilt.
Aufgabe 3 (Singularitäten). Es sei ι0 die Abbildung aus Aufgabe 1. Für jede Pro- jektivitätπ :P2(K)→P2(K) nennen wir das Bild von π◦ι0 einen affinen Teil von P2(K) (welchen wir wieder mit A2(K) identifizieren können). Sei x ∈ C ⊆ P2(K) ein Punkt einer projektiven algebraischen Kurve. Zeige, dasssingulär sein eine Ei- genschaft von xist, die unabhängig von der Wahl eines affinen Teils von P2(K) ist, welcherx enthält (vgl. Definition 1.11).
Aufgabe 4 (Elliptische Kurven). Es sei K = R, p = y2−x(x−1)(x+ 1) und P die Homogenisierung von p. Visualisiere V(P)∩A, wobei A gegeben ist durch den affinen Teil
(a) ι0(A2(R)),
(b) {(x0 : 1 : x2)∈P2(R) | x0, x2 ∈R}.
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