. Damit findet man für das Über- gangsmatrixelement:

(1)

5.4 Matrixelement Im Folgenden betrachten wir nur die Näherung erster Ordnung

(Born’sche Näherung),

s

≈

⁽¹⁾

. Damit findet man für das Über- gangsmatrixelement:

S

f i

= � d x �

^†_f

( x )

^s

( x )

=

^{f i}

+ � d

⁴

x

^′

� d x �

^†_f

( x ) D ( x − x

^′

) V ( x

^′

)

ⁱ

( x

^′

)

=

^{f i}

+ � d

⁴

x

^′

� d x � ¯

_f

( x )

⁰

D ( x − x

^′

) V ( x

^′

)

ⁱ

( x

^′

)

=

^{f i}

− i � d

⁴

x

^′

¯

_f

( x

^′

) V ( x

^′

)

ⁱ

( x

^′

)

wobei

^{0 0}

= 1 und ¯ =

^† ⁰

und im letzten Schritt eine Eigenschaft des Dirac-propagator benutzt wurde (s.o.). Im Falle der QED ist die Störung gegeben durch

V ( x

^′

) ( x

^′

) = q

^µ

A

µ

( x

^′

) ( x

^′

) (5.42) so dass

S

f i

=

^{f i}

− i � d

⁴

x

^′

q ¯

_f

( x

^′

)

^µ ⁱ

( x

^′

) A

µ

( x

^′

) (5.43) Der erste Term,

f i

, entspricht dabei einer Welle, die nicht gestreut wurde, und ist daher nicht weiter von Interesse. Der zweite Term beinhaltet

j

^µ

= q ¯

_f ^µ _i

(5.44)

Diese Form eines Stroms, der im Gegensatz zur früher definierten Form zwei Wellen mit unterschiedlichen Impulsen kombiniert, ist im Folgenden das zentrale Element der Feynmanregeln für Fermionen.

5.4 Matrixelement

Wir betrachten die Streuung zweier Fermionen aneinander, wobei das Übergangsmatrixelement als Funktion der vorgegebenen Impul- se der einlaufenden Teilchen ( p

1

, p

2

) und der auslaufenden Teilchen ( p

3

, p

4

) berechnet werden soll. Die Übergangsmatrixelement in 1.

e

⁻

( p

1

)

µ

⁻

( p

2

)

e

⁻

( p

3

)

µ

⁻

( p

4

)

Abb. 5.3

e

⁻

µ

⁻

Streuung im t-Kanal Ordnung ergibt sich, wenn man das Photon-Feld berechnet, das

aufgrund des Elektron-Stroms j

⌫

( x

^′

) entsteht, es zum Ort x pro- pagiert und dort auf den Strom des Muons j

µ

( x ) wirken lässt. Da die Ströme aus ausgedehnten Wellenfunktionen bestehen integriert man dabei über alle Orts-Zeit Koordinaten x und x

^′

.

Der Strom des Elektrons ist

j

_e^⌫

( x

^′

) = q

e

¯

₃

( x

^′

)

^⌫ ¹

( x

^′

) (5.45) wobei

1

die Wellenfunktion des einlaufenden Elektrons mit Impuls p

1

bezeichnen soll, etc.. Das Photon-Feld dieses Stroms, berechnet

67

(2)

5.4 Matrixelement

am Ort x, ergibt sich dann aus dem Photon-Propagator (Gl. 5.27) zu

A

^µ

( x ) = � d

⁴

x

^′

D

^µ⌫

( x − x

^′

) j

e,⌫

( x

^′

) (5.46) Das Übergangsmatrixelement ergibt sich aus der Anwendung dieses Potentials auf den Myon-Strom,

S

_{f i}⁽¹⁾

= − iq

m

� d

⁴

x ¯

₄

( x )

^µ

A

^µ

( x )

²

( x ) (5.47) Hier ist q

m

die Ladung des Myons. In unendlicher Entfernung von- einander sind die ein-und auslaufenden Teilchen durch ebene Wellen gegeben,

1

( x

^′

) = u

1

e

⁻^ip¹^x^′ 3

( x

^′

) = u

3

e

⁻^ip³^x^′

(5.48)

2

( x ) = u

2

e

⁻^ip²^x 4

( x ) = u

4

e

⁻^ip⁴^x

(5.49) Setzt man dies zusammen mit der Fourier-Darstellung des Propa- gators des Photons

D

^µ⌫

( x − x

^′

) = 1

( 2⇡ )

⁴

� d

⁴

q D ˜

^µ⌫

( q ) e

⁻^iq⁽^x⁻^x^′⁾

= 1

( 2⇡ )

⁴

� d

⁴

q − g

^µ⌫

q

²

+ i✏ e

⁻^iq⁽^x⁻^x^′⁾

(5.50) in die Gleichung für das Übergangsmatrixelement ein, so folgt

− S

_{f i}⁽¹⁾

= iq

m

� d

⁴

x ¯

₄

( x )

^µ

A

^µ

( x )

²

( x )

= iq

m

( 2⇡ )

⁴

� d

⁴

x u ¯

4

e

^ip⁴^x µ

� d

⁴

x

^′

� d

⁴

q − g

^µ⌫

q

²

+ i✏ e

⁻^iq⁽^x⁻^x^′⁾

� q

e

u ¯

3

e

^ip³^x^′ ⌫

u

1

e

⁻^ip¹^x^′

� u

2

e

⁻^ip²^x

= i

( 2⇡ )

⁴

� d

⁴

q � d

⁴

x e

ⁱ⁽^p⁴⁻^q⁻^p²⁾^x

� d

⁴

x

^′

e

ⁱ⁽^p³⁺^q⁻^p¹⁾^x^′

q

m

u ¯

4 µ

u

2

− g

^µ⌫

q

²

+ i✏ q

e

u ¯

3 ⌫

u

1

= i ( 2⇡ )

⁴

� d

⁴

q

⁴

( p

4

− q − p

2

)

⁴

( p

3

+ q − p

1

) q

m

u ¯

4 µ

u

2

⋅ − g

^µ⌫

q

²

+ i✏ ⋅ q

e

u ¯

3 ⌫

u

1

. Hierbei wurden die e -Funktionen so zusammengefasst, dass die In-

tegrale über x, x

^′

jeweils Funktionen ergeben. Da q der 4-er Impuls des Photons ist bedeutet die Integration über d

⁴

q , dass alle mögli- chen Impulse des Photons berücksichtigt werden. Allerdings bedeu- ten die beiden -Funktionen, dass Energie und Impulserhaltung an jedem Vertex gilt, und damit auch für die Reaktion insgesamt,

p

3

− p

1

+ q = 0, p

4

− p

2

− q = 0, p

1

+ p

2

= p

3

+ p

4

(5.51) Daher kann der 4-er Impulsübertrag q = p

1

− p

3

= p

4

− p

2

nur einen Wert annehmen, so dass die Integration über d

⁴

q das Resultat ergibt S

_{f i}⁽¹⁾

= − i ( 2⇡ )

⁴ ⁴

( p

1

+ p

2

− p

3

− p

4

) (5.52)

⋅ q

m

u ¯

4 µ

u

2

⋅ − g

^µ⌫

q

²

+ i✏ ⋅ q

e

u ¯

3 ⌫

u

1

.

68

(3)

5.5 Feynman-Regeln Übergangsmatrixelement S

_{f i}⁽¹⁾

und Matrixelement M

f i

hängen jetzt

wie folgt zusammen:

S

_{f i}⁽¹⁾

= − i ( 2⇡ )

⁴ ⁴

( p

1

+ p

2

− p

3

− p

4

) M

^{f i}

(5.53)

− i M

^{f i}

= iq

m

u ¯

4 µ

u

2

⋅ − ig

^µ⌫

q

²

+ i✏ ⋅ iq

e

u ¯

3 ⌫

u

1

. (5.54)

5.5 Feynman-Regeln

Der hier gewonnene Ausdruck des Matrixelements M

f i

für den Pro- zess

e

⁻

( p

1

) µ

⁻

( p

2

) → e

⁻

( p

3

) µ

⁻

( p

4

)

lässt sich graphisch als Feynman-Diagram darstellen. Oﬀenbar ent-

e

⁻

( p

1

)

µ

⁻

( p

2

)

e

⁻

( p

3

)

µ

⁻

( p

4

)

Abb. 5.4

e

⁻

µ

⁻

Streuung im t-Kanal spricht jeder graphische Teil einem Ausdruck des Matrixelements.

Andererseits kann man bereits an der Lagrange-Dichte die existie- renden Teilchen und ihre Wechselwirkungen ablesen und so die erlaubten Feynmangraphen konstruieren. Jedem Feynman-Graph kann man dann mit folgenden Regeln ein Matrixelement zuschrei- ben, ohne die obige detailierte Rechnung durchführen zu müssen:

• Externe Fermion-Linien erhalten die entsprechenden Spino- ren u ( v ¯ ) für einlaufende und u ¯ ( v ) für auslaufende Teilchen (Antiteilchen).

• Für jeden Photon-Vertex führt man einen Vertexfaktor iq

el µ

zwischen den Spinoren ein, so dass sich ein Vektorstrom mit der elektrischen Ladung q

el

ergibt, z.B. iq

el

u ¯

^µ

u . Die elektro- magnetische Kopplung ist z.B. für ein Elektron die Elemen- tarladung, q = − e, die mit der Feinstrukturkonstanten über

↵

em

= e

²

4⇡ ≈ 1 � 137, 036 (5.55) zusammenhängt, so dass

e ≈ 0, 3 (5.56)

im hier verwendeten Einheitensystem.

• Interne Linien werden durch die entsprechenden Propagato- ren ausgedrückt, also z.B.

⁻^ig_q2^µ⌫

für ein Photon mit 4-er Impuls q .

• Es gilt 4-er Impulserhaltung an jedem Vertex.

• Matrixelemente mit identischen Anfangs- und Endzuständen müssen addiert werden.

• Bei Schleifen muß über alle möglichen Impulse der internen Linien integriert werden.

69

(4)

5.5 Feynman-Regeln

Externe Linien

Spin-0 1

Spin-1/2 fermion (ein/auslaufend) u, u ¯ Spin-1/2 antifermion (ein/auslaufend) v, v ¯ Spin-1 Photon (ein/auslaufend) ✏

µ

, ✏

^∗_µ

Interne Linien (Impuls q)

Spin-0

_q2−ⁱm²

Spin-1 � 2

ⁱ⁽_q^µ2^q−^µm⁺²^m⁾

Spin-1, masselos

⁻^ig_q2^µ⌫

Spin-1, Masse m

⁻ⁱ⁽^g^µ⌫_q2⁻−^qm^µ^q²^⌫^�^m²⁾

Vertex-Faktoren

Photon – (Spin-0, Ladung q) − iq ( p + p

^′

)

^µ

Photon – (Spin-1 � 2, Ladung q) − iq

^µ

Tabelle 5.1 Feynman-Regeln für das Matrixelement − i M.

Schleifen: Integral ∫ d

⁴

k �( 2⇡ )

⁴

über den Impuls k

^µ

in der Schleife, mit einem zusätzlichen Faktor − 1 bei Fermionen.

Identische Fermion: Faktor − 1 wenn sich Diagramme nur durch e

⁻

↔ e

⁻

unterscheiden.

Fälle mit anderen externen oder internen Teilchen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Die Faktoren − 1, i, ... , sind teil- weise Konvention, aber bei Interferenzen und Diagrammen höherer Ordnung von Bedeutung.

70