5 Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital
Oft muss man den Grenzwert einer Funktion berechnen. Ist die Funktion ein Quotient zweier Funk- tionen, so kann die Grenzwertbildung auf unbestimmte Ausdrücke führen. In diesem Kapitel ge- hen wir speziell auf zwei Typen ein:
und .
Dabei können folgende unbestimmte Ausdrücke auftreten:
1. Falls und folgt
.
2. Falls und ist, dann folgt
.
3. Falls und ist, dann folgt
.
4. Falls und folgt
.
Beispiel 1 Der Grenzwert
ist zunächst noch unbestimmt.
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0 f x( )
g x( ) ---
xlim→±∞
f x( )0 = 0 g x( )0 = 0
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0
f x( )
xlim→x0
g x( )
xlim→x0
--- 0 0---
= =
f x( )
xlim→±∞ = 0 g x( )
xlim→±∞ = 0 f x( ) g x( ) ---
xlim→±∞
f x( )
xlim→±∞
g x( )
x→lim±∞
--- 0 0---
= =
f x( )
xlim→±∞ = ∞ g x( )
xlim→±∞ = ∞ f x( ) g x( ) ---
xlim→±∞
f x( )
x→lim±∞
g x( )
xlim→±∞
--- ∞
∞----
= =
f x( )0 = ∞ g x( )0 = ∞
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0
f x( )
xlim→x0
g x( )
xlim→x0
--- ∞
∞----
= =
ex–1 ---x
xlim→0
ex–1
xlim→0 xlim→0x
--- 0 0---
= =
Beispiel 2 Der Grenzwert
ist ebenfalls noch unbestimmt.
Aufgabe 1
Bestimme die obenstehenden Grenzwerte mit Hilfe des Taschenrechners und einer entsprechenden Zahlenfolge.
und
Es können noch weitere unbestimmte Ausdrücke auftreten, welche aber durch geschickte Umfor- mungen auf die zwei Haupttypen und zurückgeführt werden können. Es sind die folgenden Ausdrücke:
, , , , .
Wir leiten nun eine Formel her, mit der die unbestimmten Ausdrücke und berechnet werden können.
Seien und zwei stetige Funktionen mit und , d.h.
und , dann gilt
.
Wir entwickeln nun beide Funktionen in eine Taylorreihe um die Stelle :
.
Weil und ist, folgt
.
Jedes Glied der rechten Seite wird mit dem Term dividiert:
( )x ln
ex ---
xlim→∞
( )x
xlim→∞ln ex
xlim→∞
--- ∞
∞----
= =
ex–1 ---x
xlim→0 = … ln( )x
ex ---
xlim→∞ = …
0 0--- ∞
∞----
0⋅∞ ∞ ∞– 1∞ 00 ∞0
0 0--- ∞
∞----
f x( ) g x( ) f x( )0 = 0 g x( )0 = 0 f x( )0
xlim→x0 = 0 g x( )0
xlim→x0 = 0
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0
f x( )
xlim→x0
g x( )
xlim→x0
--- 0 0---
= =
x0
f x( ) g x( ) ---
f x( )0 f'( )x0
---1! (x x– 0) f''( )x0
---2! (x x– 0)2+…
+ +
g x( )0 g'( )x0
---1! (x x– 0) g''( )x0
---2! (x x– 0)2+…
+ +
---
=
f x( )0 = 0 g x( )0 = 0
f x( ) g x( ) ---
f'( )x0
---1! (x x– 0) f''( )x0
---2! (x x– 0)2+… +
g'( )x0
---1! (x x– 0) g''( )x0
---2! (x x– 0)2+… +
---
=
x x– 0
.
Wir bilden nun den Grenzübergang :
.
Also
.
Für den Fall, wo und gilt, und damit
,
bildet man die Funktionen und . Mit diesen Funktionen gilt dann
und .
Also
Die Auflösung nach dem zweiten Faktor ergibt
und damit
.
Wir fassen in einem Satz zusammen.
f x( ) g x( ) ---
f'( )x0
---1! f''( )x0
---2! (x x– 0) …+ +
g'( )x0
---1! g''( )x0
---2! (x x– 0) …+ +
---
=
x→x0
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0
f'( )x0
---1! f''( )x0
---2! (x x– 0) …+ +
g'( )x0
---1! g''( )x0
---2! (x x– 0) …+ +
---
xlim→x0
f'( )x0
---1! f''( )x0
---2! (x x– 0) …+
xlim→x0 + g'( )x0
---1! g''( )x0
---2! (x x– 0) …+
xlim→x0 +
---
= =
f'( )x0 g'( )x0 ---
=
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0 f'( )x0 g'( )x0 ---
=
f x( )
xlim→x0 = ∞ g x( )
xlim→x0 = ∞ f x( )
g x( ) ---
xlim→x0
f x( )
xlim→x0
g x( )
xlim→x0
--- ∞
∞----
= =
F x( ) 1 f x( ) ---
= G x( ) 1
g x( ) ---
= F x( )
xlim→x0 1
f x( ) ---
xlim→x0 0
= = G x( )
xlim→x0 1
g x( ) ---
xlim→x0 0
= =
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0
1 g x( ) --- 1 f x( ) --- ---
xlim→x0 G x( )
F x( ) ---
xlim→x0 G'( )x
F'( )x ---
xlim→x0 –[g x( )]–2g'( )x f x( )
[ ]–2f
– '( )x
---
xlim→x0
= = = =
f x( ) [ ]2
g x( ) [ ]2 ---
xlim→x0 g'( )x
f'( )x ---
xlim→x0
⋅
=
g'( )x f'( )x ---
xlim→x0
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0
f x( ) [ ]2
g x( ) [ ]2 ---
xlim→x0
---
f x( ) g x( ) --- f x( ) [ ]2
g x( ) [---]2 ---
xlim→x0 f x( )[g x( )]2 g x( )[f x( )]2 ---
xlim→x0 g x( )
f x( ) ---
xlim→x0
= = = =
f x( ) g x( ) ---
xlim→x0 f'( )x0 g'( )x0 ---
xlim→x0
=
Bemerkung 1
Die Grenzwertregeln gelten nur für die obenstehenden unbestimmten Ausdrücken. Alle anderen un- bestimmte Ausdrücke lassen sich jedoch durch spezielle elementare Umformungen auf eine dieser speziellen Ausdrücke zurückführen:
Beispiel 3
Berechne .
Der Limes liefert . Also nach Bernoulli de L’Hospital gilt:
.
Beispiel 4
Berechne . Satz 9
Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital
Für Grenzwerte, die auf den unbestimmten Ausdruck oder führen, gilt die folgende Regel:
,
falls und stetig sind und , in einer Umgebung von .
Funktion
oder oder
0
0--- ∞
∞---- f x( )
g x( ) ---
xlim→x0 f'( )x g'( )x ---
xlim→x0 f'( )x0 g'( )x0 ---
= =
f'( )x g'( )x f'( )x ≠0 g'( )x ≠0 x0
f x( ) f x( )
xlim→x0 elementare Umformung
f x( ) = u x( )⋅v x( ) 0⋅∞ ∞⋅0 u x( ) 1 v x( ) ---
--- v x( ) 1 u x( ) --- ---
f x( ) = u x( )–v x( ) ∞ ∞–
1 v x( ) --- 1
u x( ) --- – 1 u x( )⋅v x( ) --- ---
f x( ) = u x( )v x( ) 00,∞0,1∞ ev x( )⋅ln(u x( ))
ex–1 ---x
xlim→0
0 0---
ex–1 ---x
xlim→0 (ex–1)'
---x'
xlim→0 ex
----1
xlim→0 1
= = =
2x–1
( )
ln ex ---
xlim→∞
Der Limes liefert . Also nach Bernoulli de L’Hospital gilt:
.
Beispiel 5
Berechne .
Der Limes liefert . Also ist die Regel von Bernoulli de L’Hospital nicht unmittelbar anwend- bar. Wir formen zuerst gemäss der obenstehenden Tabelle um:
. Nun ist die Regel von Bernoulli de L’Hospital anwendbar:
. Wir müssen die Regel nochmals anwenden:
. Also
.
Beispiel 6
Berechne .
Der Limes liefert . Also ist die Regel von Bernoulli de L’Hospital ebenfalls nicht unmittelbar anwendbar. Wir formen zuerst gemäss der obenstehenden Tabelle um:
.
Mit der Regel von Bernoulli de L’Hospital gilt:
∞
∞---- 2x–1
( )
ln ex ---
xlim→∞ [ln(2x–1)]'
ex ---[ ]'
xlim→∞
2 2x–1 ---
ex ---
xlim→∞ 2
2x–1 ( )ex ---
xlim→∞ 0
= = = =
1 x--- 1
( )x ---sin
xlim→0 –
∞ ∞–
1 x--- 1
( )x ---sin
xlim→0 – sin( )x –x
x⋅ sin( )x ---
xlim→0 0
0---
= =
( )x –x sin x⋅sin( )x ---
xlim→0 [sin( )x –x]'
x⋅ sin( )x
[ ]'
---
xlim→0 cos( )x –1
( )x
sin +x⋅cos( )x ---
xlim→0 0
0---
= = =
( )x
cos –1
( )x
sin +x⋅cos( )x ---
xlim→0 [cos( )x –1]'
( )x
sin +x⋅ cos( )x
[ ]'
---
xlim→0 –sin( )x
2cos( )x –x⋅sin( )x ---
xlim→0 0
2--- 0
= = = =
1 ---x 1
( )x ---sin
xlim→0 – = 0
a 1 x---
+
ln(1+ax)
xlim→0
∞⋅0
a 1 x---
+
ln(1+ax)
xlim→0 ln(1+ax)
1 a 1
---x + --- ---
xlim→0 0
0---
= =
.
Also
.
Beispiel 7
Berechne .
Der Limes liefert . Also gemäss der obenstehenden Tabelle zuerst umformen:
.
Der Exponent muss gemäss Tabelle umgeformt werden, damit die Regel angewendet werden kann:
.
Die Regel kann nun angewendet werden:
.
Somit ist
.
Beispiel 8
Wir wollen die Steigung der Kurventangente an der Stelle der Kardioide mit der Gleichung
berechnen.
Drücken wir die parametrisierte Kurve als Funktion aus, dann gilt:
1+ax
( )
ln 1 a 1
---x + --- ---
xlim→0 [ln(1+ax)]'
x ax+1 --- ' ---
xlim→0
a 1+ax ---
1 ax+1
( )2
--- ---
xlim→0 a(1+ax)
xlim→0 a
= = = =
a 1 x---
+
ln(1+ax)
xlim→0 = a
1 1
x---
+
x
xlim→∞
1∞
1 1
x---
+
x
xlim→∞ ex 1
1 ---x
+
⋅ln
xlim→∞ e x 1
1 x---
+
⋅ln
xlim→∞
e∞⋅0
= = =
x 1 1
---x
+
⋅ln
xlim→∞
1 1
---x
+
ln 1 x--- ---
xlim→∞ 0
0---
= =
1 1
x---
+
ln 1 ---x ---
xlim→∞
1 1
---x
+
ln '
1 --- 'x ---
xlim→∞
1
1 1
x--- + ---
1 x2 ---
–
1 x2 ---
–
---
xlim→∞ 1
1 1
x--- + ---
xlim→∞ 1
= = = =
1 1
---x
+
x
xlim→∞ ex 1
1 x---
+
⋅ln
xlim→∞ e x 1
1 ---x
+
⋅ln
xlim→∞
e1 e
= = = =
ϕ = π r = 1+cos( )ϕ , 0≤ϕ<2π
und . Ferner gilt:
.
Mit
und
folgt
.
Berechnet man damit die Steigung der Kurventangente an der Stelle , dann bekommt man ei- nen unbestimmten Ausdruck:
. Wir verwenden also die Regel von Bernoulli de L’Hospital:
Die Kardioide besitzt an der Stelle eine waagrechte Tangente.
x y
r( )ϕ x = r( )ϕ ⋅ cos( )ϕ y = r( )ϕ ⋅sin( )ϕ
y = (1+cos( )ϕ )⋅sin( )ϕ x = (1+cos( )ϕ )⋅cos( )ϕ
y' dy dx--- dy
dϕ--- dϕ ---dx
⋅ dy
dϕ--- 1 dx dϕ --- ---
⋅
= = =
dy
dϕ--- = – sin2( )ϕ +(1+ cos( )ϕ )cos( )ϕ = cos( )ϕ +cos2ϕ–sin2ϕ = 2cos2ϕ–1+ cos( )ϕ
dx dϕ
--- = –sin( )ϕ cos( )ϕ –(1+cos( )ϕ )sin( )ϕ = –2sin( )ϕ cos( )ϕ –sin( )ϕ = –sin(2ϕ)–sin( )ϕ
y' dy dx--- dy
dϕ--- dϕ ---dx
⋅ dy
dϕ--- 1 dx dϕ --- ---
⋅ 2cos2ϕ–1+cos( )ϕ 2ϕ
( )–sin( )ϕ sin
---–
= = = =
ϕ = π
y'( )π 0 0---
=
y'( )π 2cos2ϕ–1+ cos( )ϕ 2ϕ
( )–sin( )ϕ sin
---–
ϕlim→π [2cos2ϕ–1+cos( )ϕ ]' 2ϕ
( )–sin( )ϕ sin
[– ]'
---
ϕlim→π
= =
4cos( )ϕ sin( )ϕ –sin( )ϕ –
2cos(2ϕ)–cos( )ϕ ---–
ϕlim→π 0
1 –--- 0
= = =
ϕ = π
