Stochastik I – Wahrscheinlichkeitstheorie für Physiker SS 2017
W. Nagel
Übungsaufgaben, 1.Serie
1. Pflichtaufgabe. Mindestens die schriftliche Lösung dieser Aufgabe ist in der er- sten Übung abzugeben.
(a) Es seien A, B, C drei Ereignisse aus dem Grundraum Ω. Als Ergebnis eines Experi- ments erscheint das Elementω∈Ω. Geben Sie Ausdrücke für die folgenden Sachverhalte an:
i) Es tritt keines dieser Ereignisse ein.
ii) Es tritt genau eines dieser Ereignisse ein.
iii) Es tritt höchstens eines dieser Ereignisse ein.
iv) Es treten mindestens zwei dieser Ereignisse ein.
(b) Beweisen Sie die Aussagen a) bis d) aus Folgerung 1.2 der Vorlesung.
2. Beweisen Sie die Aussagen e) bis i) aus Folgerung 1.2 der Vorlesung.
3. Es wird mit zweimal hintereiander mit einem Würfel gewürfelt.
(a) Geben Sie einen passenden W.-Raum an (für den die folgenden Teilaufgaben behandelt werden können).
(b) Beschreiben Sie das Ereignis, dass die Summe der Augenzahlen kleiner oder gleich 3 ist und berechnen Sie dann die W. dafür.
(c) Bestimmen Sie das Verteilungsgesetz der Summe der Augenzahlen.
(d) Bestimmen Sie das Verteilungsgesetz des Maximums der beiden Augenzahlen.
4. Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum [Ω,A, P] und für die Ereignisse A, B, C die Wahrscheinlichkeiten
P(A) = 13, P(B) = 12, P(A∪B) = 34, P(C) = 12.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Weder A noch B tritt ein.
Es treten A und B ein.
Das Ereignis C tritt nicht ein.
Es tritt A aber nichtB ein.
(b) Welche Aussagen lassen sich hinsichtlich der Unvereinbarkeit (Disjunktheit) der Ereig- nisse A, B, C ableiten?
5. Es seien Ω eine Menge und A1, A2, ... ⊆ Ω. Man definiert den oberen bzw. unteren Limes dieser Mengenfolge als
lim sup
n→∞
An =
∞
\
m=1
∞
[
n=m
An bzw. lim inf
n→∞ An =
∞
[
m=1
∞
\
n=m
An.
a) Zeigen Sie lim inf
n→∞ An⊆lim sup
n→∞
An.
b) Charakterisieren Sie die Elemente des unteren bzw. oberen Limes in Bezug auf ihre Zugehörigkeit zu den Mengen An, n = 1,2, ...
c) Bestimmen Sie (lim inf
n→∞ An)c und (lim sup
n→∞
An)c.
