Biomechanische Grundlagen STEFAN SCHMID BRIXEN

(1)

Biomechanische Grundlagen

STEFAN SCHMID BRIXEN 13.04.2019

(2)

Die Biomechanik

Anwendung der Theorien und Gesetze der Klassischen Mechanik (Physik) auf Biologische und Medizinische Systeme

Physik Mathematik

Chemie

Anatomie Physiologie

Biologie

(3)

Anwendungsgebiete Biomechanik

Technische Biomechanik

-

Sportgeräte

-

Therapiegeräte

-

Sicherheitselemente

Sport Biomechanik

-

Bewegungsoptimierung

-

Leistungsdiagnose & - prognose

Medizinische Biomechanik

-

Entwicklung von künstlichen Organen, Gelenken, Gliedern

-

Diagnoseverfahren

-

Operationstechniken

(4)

Begriffswelt Mechanik

MECHANIK

Statik Kinetik STATIK

KINEMATIK

Kräftegleichgewicht

Beschreibung von

Bewegungsänderungen unter Einfluss von Kräften Beschreibung von Bewegungen

(ohne Kräfte) Beschreibung von Körpern

unter Einfluss von Kräften

DYNAMIK

KINETIK

(5)

Kinematische Grundgrößen

Weg, Strecke, Raumkoordinate 𝑥 [m]

Zeit 𝑡 [s]

Geschwindigkeit v = ^∆𝑥_∆𝑡

Beschleunigung a = ^∆𝑣

∆𝑡

Einfachstes Modell eines Körpers: Massenpunkt

Abmessung des Körpers klein

im Vergleich zu Bewegungsbahn

= 𝑥₂ − 𝑥₁ 𝑡₂ − 𝑡₁

= 𝑣₂ − 𝑣₁ 𝑡₂ − 𝑡₁

[m/s]

[m/s²]

(6)

Grundlagen Kinematik

Definition: Gleichförmige Bewegung

Konstante Geschwindigkeit

v = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

a = 0

Beschleunigung

(7)

Gleichförmige Bewegung



Beispiel:

Wie groß war die (durchschnittliche) Geschwindigkeit beim Marathon Weltrekord?



Weltrekordzeit: 2:02:57



Distanz = 42,195km

𝑣 = 42,195km

2,049h = 20,59 km/h

(8)

Gleichförmige Bewegung

𝑣 =

^∆𝑥_∆𝑡

= const.

v

t x

Startpunkt 𝑥₀ t 𝑥 = 𝑣𝑡 + 𝑥₀

(9)

Gleichförmige Bewegung

Beispiel



Staffellauf 4x400m



Team A hat nach 3 Läufern einen Rückstand von= 4m gegenüber Team B



Schlussläufer Team A läuft mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 8.7m/s



Wie schnell muss der Schlussläufer von Team B mindestens laufen um den Vorsprung gerade noch zu halten?

𝑥_𝐴 = 𝑣_𝐴 𝑡

𝑥_𝐵 = 𝑣_𝐵 𝑡 + 𝑥_{𝑉𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔}

𝑡 = 45,98s 𝑣_𝐵 = 8,61m/s

𝑥_𝐴 = 𝑥_𝐵 = 400m 𝑥_{𝑉𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔} = 4m 𝑣_𝐴 = 8,7m/s

x

t 400m

B 4m A

(10)

Gleichförmige Bewegung

Beispiel: Eiskanal Innsbruck-Igls

Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit beim Streckenrekord.

Streckenlänge = ∆𝑠 =1270m Rekordzeit = ∆𝑡 = 49,823s (2017)

Durchschnittsgeschwindigkeit = ^∆𝑠_∆𝑡 = 25,49 m/s = 91,76 km/h

Durchschnittsgeschwindigkeit < Maximalgeschwindigkeit (typ. 125km/h)

(11)

Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Gleichförmig Beschleunigte Bewegung

𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Gleichförmige

Bewegung

Geschwindigkeit 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑎 = 0 Beschleunigung

𝑣 = 𝑎 𝑡

(12)

Gleichförmig beschleunigte Bewegung

𝑎 =

^∆𝑣_∆𝑡

= const.

v

t x

t a

t

𝑣 = 𝑎 𝑡 + 𝑣₀

𝑥 = ¹₂𝑎 𝑡² + 𝑣₀𝑡 + 𝑥₀

(13)

Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Beispiel Freier Fall

Freier Fall 10m Sprungturm.

Wie groß ist die Beschleunigung?

a = g … Erdbeschleunigung

g = 9,81m/s²

Annahme der Luftwiderstand sei vernachlässigbar

= 35km/h pro Sekunde

(14)

Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Beispiel Freier Fall

Freier Fall 10m Sprungturm.

Wie schnell ist der Turmspringer beim Auftreffen auf der Wasseroberfläche?

𝑣 = 𝑎𝑡

=> 𝑣 = 20m/s = 72 km/h 𝑥 = ¹₂𝑎𝑡² x ... Höhe

a = g … Erdbeschleunigung g = 9,81m/s²

Experiment: 𝑣 ca 50km/h (Luftwiderstand)

 t = ^2𝑥_𝑎 t = 2.04s

Annahme der Luftwiderstand sei vernachlässigbar

(15)

Kinematik

Allgemeiner Fall

Gleichförmig Beschleunigte Bewegung

𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Gleichförmige

Bewegung

Geschwindigkeit 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑎 = 0 Beschleunigung

𝑣 = 𝑎 𝑡

Allgemeine Bewegung

𝑎(𝑡) 𝑣(𝑡)

(16)

Kinematik

Beispiel Analyse 100m Sprint

Alle 10min wird die Zwischenzeit gemessen (aus [Rich])

=> 11 Punkte für das Weg-Zeit Diagramm

(17)

Kinematik

Beispiel Analyse 100m Sprint

(aus [Rich])

(18)

Kinematik

Beispiel Analyse 100m Sprint

(aus [Rich])

(19)

Beispiel Analyse 100m Sprint

(20)

Allgemeine Bewegung im Raum

Massenpunkt hat im Allgemeinen drei Freiheitsgrade Translation in x, y und z Richtung

𝑟 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 =

𝑣_𝑥 𝑣_𝑦 𝑣_𝑧 𝑎 =

𝑎_𝑥 𝑎_𝑦 𝑎_𝑧

Ortsvektor

Geschwindigkeitsvektor

Beschleunigungsvektor

(aus [Rich])

(21)

Kinematik

Beispiel Kugelstoß

(Luftwiderstand wird vernachlässigt.) Fragestellung:

Wie kann die Wurfweite maximiert werden?

Sobald die Kugel die Hand verlässt, handelt es sich um eine

* Gleichförmige Bewegung in horizontaler (x) Richtung

* Gleichförmig beschleunigte Bewegung in vertikaler (y) Richtung

Ergebnisse:

• Maximale Abwurfgeschwindigkeit

• Idealer Wurf-/Stoßwinkel (aus [Rich])

(22)

Kinematik

Beispiel Kugelstoß

Gleichförmige Bewegung in horizontaler (x) Richtung

Gleichförmig beschleunigte Bewegung in vertikaler (y) Richtung

𝑣_𝑥 = 𝑣_0𝑥

𝑣_𝑦 = 𝑣_0𝑦 − 𝑔𝑡 𝑥 = 𝑣_0𝑥 𝑡

𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣_0𝑦 𝑡 − ¹₂𝑔𝑡²

• Maximale Abwurfgeschwindigkeit

• Idealer Wurf-/Stoßwinkel (aus [Rich])

(23)

Vom Massenpunkt zum starren Körper

Definition „Starrer Körper“

Behält seine Form vollständig bei, Keine Verformungen.



Konstante (gleichbleibende) Massenverteilung

Massenpunkt

„Ausgedehnte Massenverteilung“

Starrer Körper

(24)

Vom Massenpunkt zum starren Körper

Beispiel:

Aufrecht stehender Mensch

(aus [Rich])

(25)

Freiheitsgrade des starren Körpers

3 Freiheitsgrade der Rotation Drehbewegung um

3 Raumachsen

3 Freiheitsgrade der Translation Bewegung des Schwerpunkts in 3 Raumrichtungen

Allgemeine Bewegung des starren Körpers

(aus [Rich])

(26)

Massenschwerpunkt

Bsp: Schwerpunkt einer Hantel

𝑥𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑟𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡= 𝑚₁𝑥₁ + 𝑚₂𝑥₂+…

(𝑚₁ + 𝑚₂ + ⋯ )

𝑎

Berechnung des Schwerpunkts

𝑎/2

𝑥

(27)

Massenschwerpunkt

Schwerpunkt des menschlichen Körpers bei unterschiedlichen Körperhaltungen

ℎ_𝑆= durchschnittlich 56% von ℎ_𝐾

(aus [Rich])

(28)

Translation & Rotation

Beispiel Tennisball

Bewegung des Balles =

(1) Translation des Balles (Flugbahn) + (2) Rotation des Balles („Schnitt“)

„Vorwärtsdrall, Top-Spin,

„Rückwärtsdrall“, Slice

(29)

Translation & Rotation

Beispiel Fußbewegung

(aus [Uulm])

(30)

Analogien Translation & Rotation

TRANSLATION ROTATION

Weg Winkel

Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung Winkelbeschleunigung

𝜔 = ^∆𝜑_∆𝑡 𝜑

𝛼 = ∆𝜔

∆𝑡

(31)

Starrer Körper

Grenzen des Modells

Beispiel: Bänder, Sehnen, Muskel, etc …. Keine starren Körper.

=> Elastische Körper.

Einfachste Modellierung: Feder Ausgangslänge Dehnung

Selbstständige Rückkehr zur Ausgangslänge

(32)

Dynamik

MECHANIK

Statik Kinetik STATIK

KINEMATIK

Beschreibung von

DYNAMIK

KINETIK

(33)

Wann bewegt sich ein Körper gleichförmig?

Trägheitsgesetz

Erstes Newton‘sche Gesetz

Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt.

(34)

Woher kommt die Beschleunigung?

Körper wird beschleunigt wenn eine Kraft auf ihn einwirkt.

𝑎 = 𝐹 𝑚

Einwirkende Kraft

Masse des Körpers

Zweites Newton‘sche Gesetz

(35)

Kraft

Einheit: Newton

Symbol: 𝐹

735 N Gewichtskraft, die eine 75kg

schwere Person auf den Boden ausübt

500 N Durchschnittliche Handgriff Kraft eines Mannes 225 N Durchschnittliche Handgriff Kraft einer Frau

(36)

Kraft und Gegenkraft

Hand drückt mit der Kraft 𝐹

_𝐻

gegen die Wand Wand drückt mit Kraft 𝐹

_𝑊

= −𝐹

_𝐻

gegen die Hand

Actio = reactio

(aus [Rich])

(37)

Kraft und Gegenkraft

Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber

entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).

Drittes Newton Gesetz

(38)

Woher kommt die Beschleunigung?

 Einwirkende Kräfte:

Beispiel Körper auf schiefer Ebene (Rodel)



Einwirkende Kräfte:

Beispiel Ball

𝐹_𝑔 = 𝑚𝑔 Schwerkraft (In der Luft)

𝐹_𝑔 = 𝑚𝑔

𝐹_𝑁 … Normalkraft

Gegenkraft des Bodens auf die Rodel

(39)

Kräfte



Vektorielle Größe



Kraft hat einen Betrag und eine Richtung.

𝐹_𝑔 … Schwerkraft

𝐹 = 𝐹_𝑔 + 𝐹_𝑁 … gesamte, auf die Rodel wirkende Kraft 𝐹

(40)

Kräfteaddition

(aus [Rich])

(41)

Kraftkomponenten

Beispiel Ganganalyse

Wie groß ist die Gesamtkraft?

𝐹 = 𝐹_𝑥² + 𝐹_𝑦² + 𝐹_𝑧²

(aus [Rich])

(42)

Kräftezerlegung - Kraftkomponenten

(aus [Rich])

(43)

Zerlegung von Muskelkräften

Notwendig, da

nur ein Teil der Kraft für dich sichtbare Bewegung verantwortlich ist.

(44)

Zerlegung von Muskelkräften

Wie wird der Kraftvektor sinnvollerweise zerlegt?

(45)

Zerlegung von Muskelkräften

Rotatorische Kraftkomponente

• Für die sichtbare Bewegung verantwortlich Longitudinale Kraftkomponente

• Stabilisierung

(46)

Kraftübertragung

(aus [Rich])

(47)

Kraftübertragung

Verdeutlichung von äußerer Kraft, Reaktionskraft und innerer Kraft bei einer Person, die mit einer Hand ein Paket trägt

a) Darstellung des Gesamtsystems Paket, Seil, Hand

b) Im Schwerpunkt des Pakets wirkt die Gewichtskraft G = m · g als äußere Kraft

c) Durch gedankliches Lösen des Seilgriffs von der Hand wird die Handkraft FH als Reaktionskraft R sichtbar

d) Durch gedankliches Aufschneiden des Seils wird die Seilkraft S als innere Kraft erfahrbar

(aus [Rich])

(48)

Kräftegleichgewicht

Beispiel: Turner am Reck

Welche Kräfte übt der Turner auf die Reckstange aus?

Arme senkrecht (𝛼 = 0)

2 𝐹_𝐴 = 𝐺 𝐹_𝐴

𝐹_𝐴 𝐺

(aus [Rich])

(49)

Kräftegleichgewicht

Beispiel: Turner am Reck

Welche Kräfte übt der Turner auf die Reckstange aus?

Arme senkrecht (𝛼 = 0)

𝐹_𝐴 = 𝐺/2

Arme auseinander (𝛼 = 60°)

(aus [Rich])

(50)

Kräftegleichgewicht

Beispiel: Turner am Reck

𝐹_𝐴𝑦 + 𝐹_𝐴𝑦 = 2 𝐹_𝐴𝑦 = 𝐺 𝐹_𝐴𝑦 = 𝐹_𝐴 cos (𝛼)

Gleichgewicht in y-Richtung

⇒ 𝐹_𝐴 = 𝐺

2 cos(α) cos 60° = 1

2

⇒ 𝑭

_𝑨

= 𝑮

Kraftzerlegung

60° : Beide Arme üben jeweils die Kraft G auf die Stage aus (aus [Rich])

(51)

Kräftegleichgewicht

Beispiel: Schwimmender Körper

𝑭_𝑮 𝑭_𝑨 Auftrieb

Gewichtskraft

Gleichgewichtsfall:

𝑭_𝑨 + 𝑭_𝑮 = 𝟎 𝑭_𝑨 = −𝑭_𝑮

(52)

Kräftegleichgewicht

„Statische Situation“ => Keine Bewegung Kräftegleichgewicht Allgemein

Summe aller Kräfte = 𝑭₁ + 𝑭₂+ 𝑭₃+… = 0

(53)

Stabiles & labiles Gleichgewicht

Labiles Gleichgewicht:

• Kleine Störung zerstört das Gleichgewicht

• Rückstellkraft muss „selber aufgebracht werden“

(54)

Gleichgewicht bei Drehbewegungen

Kraft * Kraftarm = Last * Lastarm

𝑀_𝐾 𝑀_𝐿

Drehmomente Hebelgesetz

(55)

Hebelgesetz

Beispiel Zehenstand

(aus [Heil])

(56)

Hebelgesetz

Beispiel Zehenstand

(aus [Heil])

(57)

Hebelgesetz

Beispiel Biceps

(aus [Heil])

(58)

Hebelgesetz

Beispiel Biceps

(aus [Heil])

(59)

Hebelgesetz

Beispiel Pauwels Waage

(aus [Heil])

(60)

Gleichgewicht bei Drehbewegungen

Summe aller Drehmomente = 𝑀₁ + 𝑀₂+ 𝑀₃ + ⋯ = 0

Translationsgleichgewicht 𝐹₁ + 𝐹₂+ 𝐹₃+… = 0

Verallgemeinerung des Hebelgesetzes: Lastmoment = Kraftmoment

Rotationsgleichgewicht 𝑀₁ + 𝑀₂+ 𝑀₃ + ⋯ = 0

(61)

Dynamik

MECHANIK

Statik Kinetik STATIK

KINEMATIK

Beschreibung von

DYNAMIK

KINETIK

(62)

Dynamik – Kinetik

Beispiel Rodeln, Skifahren

Einfaches Modell – Schiefe Ebene

𝐹_𝑔 … Schwerkraft

𝐹_𝑅

Wirken noch weitere Kräfte?

𝐹_𝑅 … Reibung zwischen Rodel und Boden

𝐹_𝐿 𝐹_𝐿 … Luftwiderstand

(wenn Rodel in Bewegung)

𝐹

(63)

Dynamik – Kinetik

Einfaches Modell – Schiefe Ebene

𝐹_𝑔 𝐹_𝑅

𝐹_𝐿

𝐹 𝐹_𝑁

Bewegungsgleichung (entlang der Ebene) 𝑚 𝑎 = 𝐹 = 𝐹_𝑔 sin α − 𝐹_𝐿 − 𝐹_𝑅

𝑣

𝑥 𝐹_𝐿 = 𝐹_𝐿(v) … geschwindigkeitsabhängig 𝐹_𝑅 ~ 𝐹_𝑁 … proportional zur Normalkraft

(64)

Arbeit, Energie

Definiton

∆𝐸 = 𝐹 ∆𝑥

Wirkt einem Körper entlang der

Strecke ∆𝑥 die Kraft 𝐹 entgegen, so

muss die Energie ∆𝐸 aufgewendet

werden.

(65)

Arbeit, Energie

Beispiel: Wie viel Energie wird benötigt, um einen Fussball vom Boden anzuheben?

𝐹_𝑔 = 𝑚𝑔 Schwerkraft

ℎ

∆𝐸 = 𝐹 ℎ = 𝑚𝑔ℎ

𝑚 = 400 g 𝑔 = 10 m/s²

∆𝑥 = 1m ∆𝐸 = 4 J

(66)

Formen von mechanischer Energie

Potentielle Energie

Kinetische Energie (Bewegungsenergie)

Translationsenergie

Rotationsenergie

(67)

Energieumwandlung

Wo ist die Bewgungsenergie am größten?

Wo ist der Skateboarder am schnellsten?

Wie weit kommt er?

Wo ist der rechte Umkehrpunkt?

ℎ

𝐸_𝐾𝐼𝑁 𝐸_𝑃𝑂𝑇

𝐸_{𝐺𝐸𝑆𝐴𝑀𝑇}

Wir vernachlässigen Reibung und Luftwiderstand

(aus [Half])

(68)

Energieerhaltungssatz

Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden.

Energie kann nur umgewandelt werden.

d.h. Die Gesamtenergie in einem

abgeschlossenen System bleibt konstant.

^𝐸^𝐾𝐼𝑁

𝐸_𝑃𝑂𝑇

𝐸_{𝐺𝐸𝑆𝐴𝑀𝑇}

(69)

Energie & Leistung

Energie, Arbeit 𝐸 Einheit Joule

1 Joule …. Rein mechanische Energie um 1kg um ca. 10cm anzuheben

𝐸 = 𝑚𝑔ℎ

1 cal = 4,187 J …. Energie um 1g Wasser um ca. 1° zu erwärmen

Leistung 𝑃 = ∆𝐸

∆𝑡

Einheit Watt

1 Watt …. Aufgebrachte Leistung, wenn 1kg in 1s um ca. 10cm angehoben werden

1 kcal = 4187 J …. Energie um 1kg (1 Liter) Wasser um ca. 1° zu erwärmen

(70)

Erhaltungssätze

Energieerhaltung

𝐿 = 𝑚 𝑣 𝑟 Impulserhaltung 𝑝 = 𝑚 𝑣

Drehimpulserhaltung

(71)

Hook‘sches Gesetz

Federmodell, Hook‘sches Modell

∆𝑙 ∝ 𝐹 𝑘 ∆𝑙 = 𝐹

𝑘 … Federkonstante

(72)

Anwendung Hook‘sches Gesetz

Modellierung elastischer Körper

Wie groß ist die Längenänderung des

Oberarmknochen bei einer Liegestütz?

Federmodell, Hook‘sches Modell

Typischer Oberarmknochen 𝑘 = 8,2 ∙ 10⁶ N/m

𝐹 = 𝑘 ∆𝑙

𝐹 = 1

2 0,60 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔

𝑚 = 70kg

∆𝑙 = 26 µm (aus [Rich])

(73)

Grenzen des Hook‘schen Modells

Hookscher Bereich

Elastizitäts-

grenze

Bruchgrenze

Längenänderung ∆𝑙 Dehnung

Kontraktion

Kraft

Elastizitäts- grenze

Bruchgrenze

(74)

Anwendung Hook‘sches Gesetz

Modellierung elastischer Körper

Aus [Wikip]

Kraft-Dehnungs Diagramm eines menschlichen

Kniebandes

(75)

Modellbildung Knochen

Abstraktion, Vereinfachung => um Modell, (quantitative) Beschreibung zu ermöglichen

Elastischer Körper („Feder“)

Starrer Körper

Massenpunkt

(76)

Zusammenfassung



Kinematik



Statik



Dynamik



Weitere Grundbegriffe der (Bio-) Mechanik



Beschreibung der Vorgänge anhand eines Modells

(77)

Danke für die

Aufmerksamkeit & Mitarbeit

(78)

Referenzen, Literaturverzeichnis

[Uulm] https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/uzwr/lehre-seminare/KG-Script-Oberkurs-2011.pdf

[Half] https://wiki.zum.de/wiki/Lernpfad_Energie/Energieumwandlung_und_Energieerhaltung_-_Jetzt_geht's_in_die_Halfpipe!

[Heil] Skriptum „Physik für Heilmasseure“

[wikih] Wikihow

[wikip] https://de.wikipedia.org/wiki/Biomechanik

[Wenk] Diplomarbeit Stefan Wenka

Physikalische Experimente im Sportunterricht zum Themengebiet Mechanik - Entwicklung von Arbeitsblättern für Schüler zur Analyse von sportlichen Bewegungen und Vorgängen mit physikalischen Methoden