Fachbereich Mathematik Dr. Robert Haller-Dintelmann Daniel Henkel
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
A
SS 2010 12.07.2010
H¨ ohere Mathematik 2
7. ¨ Ubung, L¨ osungsvorschlag
Gruppen¨ ubungen
Aufgabe G19 Z
G
f(x, y)d(x, y) = Z 1
0
Z y
√y
2xy dx dy= Z 1
0
£x2y¤x=y
x=√y dy = Z 1
0
(y2y−(√y)2y dy
= Z 1
0
y3−y2dy=
·1 4y4−1
3y3
¸1
0
= 1 4 − 1
3 =− 1 12.
Aufgabe G20 Wie man anhand einer Zeichnung von G ablesen kann, gilt r ∈[0,1] und ϕ ∈[0,π2]. Das transformierte Gebiet ist alsoH ={(r, ϕ)∈[0,1]×[0,π2]}. Also ergibt die Substitution in Polarkoordinaten
Z
G
e−x2−y2d(x, y) = Z
H
e−(rcosϕ)2−(rsinϕ)2 ·r d(r, ϕ) = Z
H
re−r2d(r, ϕ)
= Z π2
0
Z 1
0
re−r2dr dϕ= Z π2
0
·
−1 2e−r2
¸1
0
dϕ
= Z π2
0
µ
− 1 2e + 1
2
¶ dϕ=
µ
− 1 2e + 1
2
¶
·π
2 ≈0,4965.
Die Stammfunktion von re−r2 l¨aßt sich durch die Substitution u(r) = −r2 finden.
Aufgabe G21 Das GebietGwird in Polarkoordinaten transformiert. Hierf¨ur giltr ∈[1,2]
und ϕ ∈ [0,π4], das transformierte Gebiet ist also H = {(r, ϕ) ∈ [1,2]×[0,π4]} und man erh¨alt
Z
G
(x2−y2)d(x, y) = Z
H
¡(rcosϕ)2−(rsinϕ)2¢
·r d(r, ϕ) = Z
H
r3(cos2ϕ−sin2ϕ)d(r, ϕ)
= Z π4
0
Z 2
1
r3(cos2ϕ−sin2ϕ)dr dϕ= Z π4
0
(cos2ϕ−sin2ϕ)· µZ 2
1
r3dr
¶ dϕ
=
·1 4r4
¸2
1
Z π4
0
(cos2ϕ−sin2ϕ)dϕ= 15
4 [sinϕcosϕ]
π
04
= 15 4
Ã√ 2 2
√2
2 −0·1
!
= 15 8 .
Die Stammfunktion von cos2ϕ −sin2ϕ l¨aßt sich durch zweimalige partielle Integration finden.
