1.¨Ubung,L¨osungsvorschlag H¨ohereMathematik2

Fachbereich Mathematik Dr. Robert Haller-Dintelmann Daniel Henkel

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

A

SS 2010 19.04.2010

H¨ ohere Mathematik 2

1. ¨ Ubung, L¨ osungsvorschlag

Gruppen¨ ubungen

Aufgabe G1









2 11 4 −9 −22

−1 −5 3 2 1

−3 24 15 3 −9

4 5 2 −13 −24









+¹₂ ·Zeile 1 +³₂ ·Zeile 1

−2·Zeile 1

Ã









2 11 4 −9 −22

0 ¹₂ 5 −⁵₂ −10 0 ⁸¹₂ 21 −²¹₂ −42

0 −17 −6 5 20







 −81·Zeile 2 +34·Zeile 2

Ã









2 11 4 −9 −22

0 ¹₂ 5 −⁵₂ −10 0 0 −384 192 768 0 0 164 −80 −320









+¹⁶⁴₃₈₄ ·Zeile 3

Ã









2 11 4 −9 −22

0 ¹₂ 5 −⁵₂ −10 0 0 −384 192 768

0 0 0 2 8









x4 = 8 2 = 4,

x3 = 1

−384 ·(768−192·4) = 0, x2 = 1

1 2

· µ

−10−5·0− µ

−5 2

¶

·4

¶

= 0, x1 = 1

2 ·(−22−11·0−4·0−(−9)·4) = 7.

Aufgabe G2

RobertHaller

JonNedelmann

A

FahbereihMathematik

SS2001

14. Juni2001

Losungshinweisezur

Analysis II

furINF/WINF

-2 0

2 -2 0 -5 2

0 5

-2 0

2 -3-3 -2 -1 0 1 2 3 -2

-1 0 1 2 3

(x;y)7!x+y 1

-4-2 0 2

4-4 -2

0 2

4 200

6040 80

-4-2 0 2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!x 2

+4y 2

-4-2 0 2

4-4 -2

0 2

4 -20

-100 -4-2

0 2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!x 2

y 2

8

-10-5 0 5

10-10 -5 0

5 10 -0.50.5-110

-10-5 0 5

10

-10 -5 0 5 10 -10

-5 0 5 10

(x;y)7!sin(x)

-4-2 0 2

4-4 -2

0 2

4 -1-2120

-4-2 0 2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!

1

(1x)(1y)

-4-2 0 2

4-4 -2

0 2

4 0.060.04

0.080.1 -4-2

0 2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!

1

x2+y2+10

-4-2 0 2

4-4 -2

0 2

4 10

32 -4-2

0 2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!log (x 2

+y 2

)

-4-2 0 2

4-4 -2

0 2

4 -2.52.5-550

-4-2 0 2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!tan(x 2

+y 2

)

-4-2 0

2 4-4

-2 0

2 4 200

4060 -4-2

0 2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!e x+y

-4-2 0

2 4-4

-2 0

2 4 -50500

-4-2 0

2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!x 3

y 2

+4

-4-2 0 2

4-4 -2

0 2

4 -0.50.5-110

-4-2 0 2

4 -4-4 -2 0 2 4

-2 0 2 4

(x;y)7!sin(x)sin(y)

Aufgabe G3

i) (an)^n∈N ist unbeschr¨ankt und damit auch nicht konvergent.

ii) lim^n→∞¡1

n2,_1+nⁿ ¢^T

= (0,1)^T, also ist die Folge (bn)^n∈N konvergent und beschr¨ankt in R².

iii) (cn)n∈N ist eine Nullfolge, also sowohl beschr¨ankt, als auch konvergent.

iv) (dn)^n∈N ist beschr¨ankt, jedoch nicht konvergent.

Haus¨ ubungen

Aufgabe H1





1 4 0 1

1 0 2 −2 4 8 4 −2



 −1·Zeile 1

−4·Zeile 1 Ã





1 4 0 1

0 −4 2 −3 0 −8 4 −6





−2·Zeile 2 Ã





1 4 0 1

0 −4 2 −3

0 0 0 0





x3 = λ, x2 = 1

−4·(−2−2λ) = 3 4+ 1

2λ, x1 = 1

1·(1−4x2) =−2−2λ.

Die L¨osungsmenge ist also {(−2−2λ,³₄ + ¹₂λ, λ)^T |λ∈R}.

Aufgabe H2

a) i) Zum einen gilt: limⁿ→∞

1 1+¹

n

= 1.

Beweis: Es sei ein beliebiges ǫ > 0 gegeben. Dann gibt es ein n0 > ¹_ǫ und f¨ur n ≥n0 gilt

¯

¯

¯

¯ 1 1 + n¹

−1

¯

¯

¯

¯

=

¯

¯

¯

¯ 1 1 + n¹

− 1 + n¹

1 + n¹

¯

¯

¯

¯

=

¯

¯

¯

¯

−¹n

1 + n¹

¯

¯

¯

¯

=

¯

¯

¯

¯ 1 n+ 1

¯

¯

¯

¯

≤ 1 n ≤ 1

n0

< ǫ.

Zum anderen gilt

1

1

n+_n¹₂ ≥ 1

1

n +_n¹ = n 2.

Also ist (aⁿ)^n∈N nicht beschr¨ankt und damit nicht konvergent in R². ii) (bⁿ)ⁿ∈N ist eine Nullfolge, also sowohl beschr¨ankt, als auch konvergent.

Aufgabe H3 F¨ur alle Punkte (x, y)6= (0,0) ist die Stetigkeit aus der Vorlesung klar. F¨ur die Untersuchung, ob f stetig in (0,0) ist, w¨ahle eine Nullfolge (xn, yn)^n∈N 6= (0,0) in R². Dann gilt lim^n→∞|xn|= 0 und

n→∞lim |f(xⁿ, yn)|= lim

n→∞

¯

¯

¯

¯ x³ny²n

x²n+y²n

¯

¯

¯

¯

≤ lim

n→∞

¯

¯

¯

¯ x³nyn²

yn²

¯

¯

¯

¯

= lim

n→∞|x³n|= 0.

Dies beweist die Stetigkeit von f.