(b) Dr¨ucken Sie den Ortsvektor r in der sph¨arischen Koordinatenbasis aus

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik III WS 2020/2021

Prof. Dr. M. Garst Blatt 2

Dr. B. Narozhny L¨osungen

1. Sph¨arische Koordinaten:

(a) Berechnen Siee_r, e_ϑ und e_ϕ als Funktionen von r, ϑ, und ϕ.

Zuerst dr¨ucken wir die Komponenten des Ortsvektors als Funktionen von r, ϑ und ϕaus:

r =rsinϑcosϕe_x+rsinϑsinϕe_y +rcosϑe_z. Dann finden wir laut der Definition

e_r= r

r = sinϑcosϕe_x+ sinϑsinϕe_y+ cosϑe_z; eϑ = ∂er

∂ϑ = cosϑcosϕex+ cosϑsinϕey−sinϑez; e_ϕ = 1

sinϑ

∂er

∂ϕ =−sinϕe_x+ cosϕe_y.

(b) Dr¨ucken Sie den Ortsvektor r in der sph¨arischen Koordinatenbasis aus.

Laut Definition

r =rer.

(c) Dr¨ucken Sie den Nabla-Operator ∇ in der sph¨arischen Koordinatenbasis aus. Be- achten Sie, dass die Basisvektoren von Ort abh¨angen.

Es gibt keinen Nabla-Operator der in sph¨arischen Koordinaten “algebraisch wirken kann”.

(d) Dr¨ucken Sie den Gradienten, die Divergenz, und die Rotation eines Vektorfeldes in der sph¨arischen Koordinatenbasis aus.

Unabh¨angig vom verwendeten Koordinatensystem stehen die Gesamtdifferenz (df) und der Gradient (∇f) eines Skalarfeldes f in folgender Beziehung zueinander

df =∇f·dr.

Im kartesischen Koordinatensystem mitf =f(x, y, z) erweitert sich diese Beziehung wie folgt

df = ∂f

∂xdx+∂f

∂ydy+ ∂f

∂zdz =∇f ·(e_xdx+e_ydy+e_zdz), und zwar

∇f = ∂f

∂xe_x+∂f

∂ye_y+∂f

∂ze_z. Ahnlich in sph¨¨ arischen Koordinaten mit f =f(r, ϑ, ϕ)

df = ∂f

∂rdr+ ∂f

∂ϑdϑ+ ∂f

∂ϕdϕ=∇f ·(e_rdr+e_ϑrdϑ+e_ϕrsinϑdϕ), und zwar

∇f = ∂f

∂re_r+ 1 r

∂f

∂ϑe_ϑ+ 1 rsinϑ

∂f

∂ϕe_ϕ.

Um die Divergenz zu finden, verwenden wir der Gaußsche Integralsatz und integrie- ren ¨uber eine Fl¨acheS, die ein infinitesimales VolumenelementdV umschließt

I

S

A·ds=∇·A dV.

In sph¨arischen Koordinaten gilt

dV =r²sinϑdrdϑdϕ.

Betrachten wir ein kubisches Volumenelement. In der radialen Richtung ist das Fl¨achenelement im Punkt r

ds→r²sinϑ dϑdϕe_r, und zwar

A·ds→r²sinϑA_rdϑdϕe_r. Benutzen wir nun die Definition der Ableitung

F(x+dx)−F(x) = dF dxdx

und finden den Beitrag der beiden gegen¨uberliegenden Seiten in radialer Richtung (die Punkte r und r+dr)

I

S

A·ds→ ∂

∂r r²sinϑA_r

drdϑdϕ.

Ahnlich in der seitlichen Richtung (e¨ _ϑ)

A·ds→A_ϑrsinϑ drdϕe_ϑ,

und in die Richtung e_ϕ

A·ds→rA_ϕdrdϑe_ϕ. Infolgedessen finden wir den Wert des Integrals als

I

S

A·ds= ∂

∂r r²sinϑA_r + ∂

∂ϑ(rA_ϑsinϑ) + ∂

∂ϕ(rA_ϕ)

drdϑdϕ.

Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem obigen Volumenelement, so zeigt sich die Divergenz in der Form

∇·A= ∂(r²A_r)

∂r + 1

rsinϑ

∂(A_ϑsinϑ)

∂ϑ + 1

rsinϑ

∂A_ϕ

∂ϕ .

Um die Rotation zu finden, verwenden wir die infinitesimale Version des Stokes’schen Satzes

I

A·dl =∇×Ads.

Hier berechnen wir das Linienintegral um die Infinitesimalschleife (wobei sich ds auf die Oberfl¨ache der Schleife bezieht).

Betrachten wir ein infinitesimales Rechteck in der Ebene orthogonal zu e_ϕ. Dann ds→r drdϑe_ϕ.

Das Linienelement in radialer Richtung ist dl→dre_r, sodass

A·dl→Ardr.

In der seitlichen Richtung

dl→rdϑeϑ, sodass

A·dl→rAϑdϑ.

Insgesamt

I

A·dl→ 1 r

∂(rA_ϑ)

∂r − ∂A_r

∂ϑ

e_ϕ·ds.

Wenn wir dasselbe Argument f¨ur die beiden anderen Richtungen wiederholen, finden wir die Rotation als

∇×A= 1 rsinϑ

∂(Aϕsinϑ)

∂ϑ −∂Aϑ

∂ϕ

e_r+1 r

1 sinϑ

∂Ar

∂ϕ −∂(rAϕ)

∂r

e_ϑ+1 r

∂(rAϑ)

∂r −∂Ar

∂ϑ

e_ϕ.

2. Zylindrische Koordinaten:

Wiederholen Sie die Aufgabe 1 f¨ur die zylindrische Koordinaten.

Die Berechnung in den Zylinderkoordinaten ist genau die gleiche wie in den Kugelko- ordinaten. Folglich geben wir nur die Ergebnisse an.

(a) Berechnen Siee_ρ, e_ϕ und e_z als Funktionen von ρ, ϕ, und z.

e_ρ= cosϕe_x+ sinϕe_y, e_ϕ =−sinϕe_x+ cosϕe_y,

e_z =e_z.

(b) Dr¨ucken Sie den Ortsvektor r in der zylindrischen Koordinatenbasis aus.

r =ρe_ρ+ze_z.

(c) Dr¨ucken Sie den Nabla-Operator ∇ in der zylindrischen Koordinatenbasis aus. Be- achten Sie, dass die Basisvektoren von Ort abh¨angen.

Es gibt keinen Nabla-Operator der in sph¨arischen Koordinaten “algebraisch wirken kann”.

(d) Dr¨ucken Sie den Gradienten, die Divergenz, und die Rotation eines Vektorfeldes in der zylindrischen Koordinatenbasis aus.

∇f = ∂f

∂ρe_ρ+1 ρ

∂f

∂ϕe_ϕ+ ∂f

∂ze_z.

∇·A= 1 ρ

∂(ρA_ρ)

∂ρ +1 ρ

∂A_ϕ

∂ϕ +∂A_z

∂z .

∇×A= 1

ρ

∂A_z

∂ϕ −∂A_ϕ

∂z

e_ρ+ ∂A_ρ

∂z −∂A_z

∂ρ

e_ϕ+ 1 ρ

∂(ρA_ϕ)

∂ρ − ∂A_ρ

∂ϕ

e_z.

3. Vektoranalysis:

Betrachten Sie Zylinderkoordinaten. Es sei ein skalares Feld gegeben V(r) =ϕ,

mit dem Winkel ϕ.

(a) Berechnen Sie den Gradienten ∇V.

∇V = 1 ρe_ϕ.

(b) Berechnen Sie die Rotation des Gradienten ∇×(∇V) f¨ur alle endliche Abst¨ande ρ >0 von der z-Achse.

∇×(∇V) =

−∂(1/ρ)

∂z

e_ρ+ 1 ρ

∂(ρ/ρ)

∂ρ

e_z = 0.

(c) Betrachten Sie das Flachenintegral Z

F

df ·∇×(∇V)

¨

uber einen KreisF mit RadiusR innerhalb der (xy)-Ebene zentriert umz = 0. Be- stimmen Sie den Wert des Integrals mithilfe des Stokes’schen Setzes. Ist V zweimal differenzierbar?

Z

F

df ·∇×(∇V) = I

∇V ·dl= 1 R

2π

Z

0

Rdϕ= 2π.

Fazit: V =ϕ ist nicht zweimal differenzierbar!

(d) Wiederholen Sie die Rechnung mit

V(r) =ρ,

mit dem Abstand zur z-Achse ρ. Ist dieses skalare Feld zweimal differenzierbar?

Hier

∇V =e_ρ,

∇×(∇V) = 0, Z

F

df ·∇×(∇V) = I

e_ρ·dl = 0.

Fazit: V =ρ ist zweimal differenzierbar!