(Matr.-Nr, Unterschrift) Klausur Strömungsmechanik II 28

... ...

(Matr.-Nr, Unterschrift)

Klausur Strömungsmechanik II

28. 02. 2020

1. Aufgabe

a) Auf Referenzgrößen bezogene dimensionslose Größen:

¯ x= x

L , u¯= u u∞

, ρ¯= ρ ρ∞

, T¯= T T∞

, p¯= p p∞

(alternativ:p¯= p ρ∞u²_∞),

¯ y= y

δ = y

pνL/u∞

= y

L/√

Re , ¯v = vL

u∞δ = v u∞/√

Re Energiegleichung in dimensionsloser Form:

ρ∞c_pu∞T∞

L ρ¯

¯ u∂T¯

∂x¯ + ¯v∂T¯

∂y¯

= u∞p∞

L

¯ u∂p¯

∂x¯ + ¯v∂p¯

∂y¯

+λT∞

L²

∂²T¯

∂x¯² +Re∂²T¯

∂y¯²

+ηu²_∞ L²

"

2 ∂u¯

∂x¯ 2

+ 2 ∂¯v

∂y¯ 2

+ 1

√Re

∂v¯

∂x¯ +√ Re∂u¯

∂y¯ 2

− 2 3

∂u¯

∂x¯+ ∂v¯

∂y¯ 2#

b) Grenzschichtannahmen:

Re= u∞L ν 1

∂

∂x ∂

∂y uv







in Teil a) zur Entdimensionierung mitO(1)berücksichtigt Impulsgleichung für Grenzschichtströmung iny-Richtung: ∂p

∂y = 0 vereinfachte Energiegleichung:

ρ∞c_pu∞T∞

L ρ¯

¯ u∂T¯

∂x¯ + ¯v∂T¯

∂y¯

= u∞p∞

L u¯∂p¯

∂x¯ +λT∞

L²Re∂²T¯

∂y¯² +ηu²_∞ L²

√ Re∂u¯

∂y¯ 2

Multiplikation mitL/(u∞p∞) ρ_∞c_pT_∞

p∞

¯ ρ

¯ u∂T¯

∂x¯ + ¯v∂T¯

∂y¯

= ¯u∂p¯

∂x¯+ λT_∞

p∞u∞LRe∂²T¯

∂y¯² + ηu_∞ p∞LRe

∂u¯

∂y¯ 2

c) Aus b) ergeben sich neben der ReynoldszahlRe= ^u∞_ν^L folgende Kennzahlen:

K₁ = ρ∞c_pT∞

p∞

K2 = λT_∞ p∞u∞LRe K₃ = ηu∞

p∞LRe (sofern p∞=ρ∞u²_∞ ⇒ K₃ = 1)

K₁ = ρ∞c_pT∞

p∞

·ρ∞u²_∞

ρ∞u²_∞ = c_pT∞

u²_∞ 1

Eu = γRT∞

(γ−1)u²_∞ 1

Eu = 1

(γ−1)M_∞²Eu K₂ = λT∞

p∞u∞LRe= λ cpη

c_pT∞

u²_∞ η ρ∞u∞L

Re Eu = 1

P r

γRT∞

(γ−1)u²_∞ 1

Eu = 1

P r(γ−1)M_∞²Eu K₃ = ηu∞

p∞LRe· ρ∞u²_∞

ρ∞u²_∞ = Re Eu

η ρ∞Lu∞

= 1 Eu (sofern p∞=ρ∞u²_∞entfällt die Eulerzahl)

2. Aufgabe

a) Die Kontinuitätsgl. (1) vereinfacht sich zu: ∂(rvr)

∂r = 0(*), dav_z = 0, ρ=konst.

Radiale Impulsgleichung (2):

ρ







 v_r∂vr

∂r +v_z∂vr

∂z

| {z }

vz=0









=−∂p

∂r +η









∂

∂r







 1 r

∂(rvr)

∂r

| {z }

=0(∗)









+∂²vr

∂z²









⇒ρv_r∂v_r

∂r =−∂p

∂r +η∂²v_r

∂z²

b) Entdimensionierung:v_r =v_rv₀, r =r∆R, z=zh(alternativz =z∆R), p=p∆p radiale Impulsgleichung:

ρv₀²

∆Rv_r∂v_r

∂r = −∆p

∆R

∂p

∂r + ηv₀ h²

∂²v_r

∂z² ρv₀∆R

η vr

∂v_r

∂r = −∆p∆R ηv₀

∂p

∂r +∆R² h²

∂²v_r

∂z² mitEu= ∆p

ρv₀² undRe= ρv₀∆R η

Re

|{z}1

vr

∂v_r

∂r

| {z }

O(1)

= −EuRe

| {z }

O(1)

∂p

∂r

|{z}

O(1)

+∆R² h²

| {z }

O(1)

∂²v_r

∂z²

| {z }

O(1)

⇒EuRe∂p

∂r = ∆R² h²

∂²v_r

∂z² in dimensionsbehafteter Form:

∆R∆p ηv₀

∂

p

∆p

∂ _∆R^r = ∆R² h²

∂²

vr

v0

∂ ^z_h2

⇒ ∂p

∂r = η∂²v_r

∂z² q.e.d c) mit Hinweis ∂p

∂r =η∂²v_r

∂z² ⇒ dp dr = η

r

d²(rv_r) dz²

Trennung der Variablen und Integration im Intervall[R, R+ ∆R]:

Z p(R+∆R) p(R)

dp =

(Hinweis)ηd²(rvr) dz²

| {z }

=konst.

Z R+∆R R

1 rdr

dz² R

⇔ d²(rv_r)

dz² = ∆p

ηln(1 + ∆R/R) =:β Zweifache Integration inz:

rv_r = 1

2βz²+C₁z+C₂

Randbedingungen: vr(r, z =±^h₂) = 0 ⇒C1 = 0

⇒C2 =−¹₈βh²

rv_r = 1

2βz²− 1 8βh²

⇒v_r(r, z) = ∆p

2ηln(1 + ∆R/R)

z²− ^h₄² r

3. Aufgabe a)

v_r(r, ϕ) = 1 r

∂Ψ

∂ϕ =u_∞

1−R² r²

cos(ϕ) v_ϕ(r, ϕ) = −∂Ψ

∂r =−u∞

1 + R² r²

sin(ϕ)

b) im Staupunkt giltv_r =v_ϕ = 0

v_ϕ = 0 → sin(ϕ) = 0→ϕ₁ = 0, ϕ₂ = Π v_r = 0 → 1− R²

r² = 0→r =R (neg. Lösung nicht physikalisch) Staupunkte beiϕ₁ = 0, r₁ =Rundϕ₂ = Π, r₂ =R.

c) Stromfunktion auf der Wand:Ψ_w =u∞

1− R² r²_w

r_wsin(ϕ) bei max. Kanalbreite istr_{M B} = h

2, ϕ_{M B} = Π 2

→Ψ_{w,M B} =u∞

1−4^R_h2²

h

2 = Ψ_w =konst u∞

1−4^R_h2²

h 2 =u∞

1− ^R_r2²

w

r_wsin(ϕ)

rwh 2

1−4^R_h2²

= (r_w² −R²) sin(ϕ) r_w² −

h

2 − ^2R_h²

rw

sin(ϕ) −R² = 0 r_w = _4h^h2−4R_sin(ϕ)² ±

r

4R²−h² 4hsin(ϕ)

2

+R²

Subtraktion des Wurzelausdrucks ist nicht physikalisch, darwnegativ werden würde.

→r_w = h²−4R² 4hsin(ϕ) +

s

4R²−h² 4hsin(ϕ)

2

+R²

Bernoulli:p∞+ρ

2u²_∞ = p+ρ

2 v²_r+v_ϕ²

→p−p∞ = ρ

2u²_∞− ρ

2 v²_r+v_ϕ² Druckbeiwert allg.:c_p = p−p∞

ρ 2u²_∞

=

ρ

2u²_∞− ^ρ₂ v_r²+v²_ϕ

ρ 2u²_∞

= 1−v²_r +v²_ϕ u²_∞ v_r, v_ϕ entlang Wandkontur beir_{M B} = h

2, ϕ_{M B} = Π 2:

v_r = u∞

1− R² h²/4

cos

Π 2

= 0 v_ϕ = −u_∞

1 + R² h²/4

sin

Π 2

=−u_∞

1 + 4R² h²

→c_{p,M B} = 1− u²_∞

1 + 4^R_h2²

2

u²_∞ =−8R²

h² −16R⁴ h⁴

4. Aufgabe

a) x-Impulsgleichung am Grenzschichtrand:

ρu_a∂u_a

∂x = −dp dx ρbx^mbmx^m−1 = −dp dx dp

dx = −ρb²mx^2m−1 dp

dx = − ρb²β

2−βx^{2−β2β −1} dp

dx = − ρb²β 2−βx^{3β−22−β} b) Grenzschicht ist ablösegefährdet, sofern dp

dx >0.

dp

dx =− ρb²β (2−β)x

3β−2 2−β

Daρ, b²positiv sind undβ negativ, ergibt sich ein negativer Zähler und ein positiver Nen- ner, sodass der Druckgradient durch das negative Vorzeichen positiv und die Grenzschicht somit ablösegefährdet ist.

alternativ: Eine verzögerte Strömung ist ablösegefährdet. Aus der Geschwindigkeits-Flächen- Beziehung folgt, dass durch die Querschnittszunahme des Diffusors die Geschwindigkeit abnimmt bzw. aus m < 0, b > 0 → ∂u_a

∂x < 0 folgt ebenfalls dieses Ergebnis, d.h. die Diffusorströmung ist ablösegefährdet.

c) 1. Randbedingung: Haftbedingung: y

δ = 0 →u= 0 2. Randbedingung: Grenzschichtrand: y

δ = 1 →u=u_a 3. Randbedingung: x-Impulsgleichung an der Wand: y

δ = 0→ dp

dx =η ∂²u

∂y² y=0

4. glatter Übergang am Grenzschichtrand: y

δ = 1→ ∂u

∂y y=δ

= 0

aus 1. folgta₀(x) = 0 aus 2. folgt

1 = a₁(x) +a₂(x) +a₃(x) (1)

dx

− ρb²β

(2−β)x^{3β−22−β} = 2u_aηa₂(x) δ² a₂(x) = − ρb²β

(2−β) δ² 2ηbx^2−ββ

x^{3β−22−β} a₂(x) = − ρbβδ²

2(2−β)ηx^{2β−22−β} aus 4. folgt mit ∂u

∂y y=δ

=u_a

a₁(x)

δ + 2a₂(x)

δ + 3a₃(x) δ

a₁(x) =−2a₂(x)−3a₃(x) (2) Einsetzen Gl. (2) in (1) ergibt

a₃(x) = −1

2 − a2(x) 2 =−1

2+ ρbβδ²

4(2−β)ηx^{2β−22−β} und somit

a₁(x) = −2a₂(x)−3a₃(x) = 3

2 + ρbβδ²

4(2−β)ηx^{2β−22−β} Damit ergibt sich folgendes Geschwindigkeitsprofil:

u(x, y) u_a(x) =

3

2 + ρbβδ² 4(2−β)ηx

2β−2 2−β

y δ

− ρbβδ² 2(2−β)ηx

2β−2 2−β

y δ

2

+

−1

2 + ρbβδ² 4(2−β)ηx

2β−2 2−β

y δ

3

d)

τ_w = η ∂u

∂y y=0

= ηu_aa₁(x) δ τ_w = ηbx^2−ββ

δ

3

2 + ρbβδ²

4(2−β)ηx^{2β−22−β}

Ablösung:τw = 0, d.h.

3

2 + ρbβδ² 4(2−β)ηx

2β−2 2−β

AB = 0 δ(x_AB) =±

v u u

t−6(2−β)η ρbβx

2β−2 2−β

AB

Die negative Lösung ist physikalisch nicht sinnvoll, d.h.

δ(x_AB) = v u u

t−6(2−β)η ρbβx

2β−2 2−β

AB

5. Aufgabe

a) Der kritische Zustand ist ein Referenzzustand, bei dem im engsten Querschnitt M = M^∗ = 1erreicht wird.

Energiegleichung:h₀ = h+u² 2 c_pT₀ = c_pT + u²

2 mitc_p = γR

γ−1 : T₀

T = 1 + γ−1 2

u² γRT T₀

T = 1 + γ−1 2 M² im kritischen Zustand: T₀

T^∗ = 1 + γ−1

2 = γ+ 1 2

kritisches Druckverhältnis mit Isentropenbeziehung: p^∗ p₀ =

2 γ+ 1

_γ−1^γ

= 0.528 da p_K

p0

= 0.7>0.528unterkritisch, d.h. der kritische Zustand wird nicht erreicht.

b) m˙ =ρ_eu_eA_e = ρ_e

ρ₀ρ₀u_eA_e

ideales Gasgesetz:ρ₀ = p₀ RT₀ Energieerhaltung aus a): u²_e

2 +c_pT_e = c_pT₀

→u²_e = 2γRT₀ γ−1

1− T_e

T₀

u²_e = 2γRT0

γ−1 1− pe

p₀

^γ−1_γ !

da unterkritisch, giltp_e=p_K.

˙

m(p_e) = p_e

p_{0 γ}¹

p₀

√RT₀ v u u t

2γ

γ−1 1− p_e

p₀

^γ−1_γ ! A_e

⇒ m˙ = (0,7)^γ1 p₀

√RT₀

r 2γ γ−1

1−(0,7)^γ−1γ A_e

a) Der Satz von Thomson besagt, dass die Zirkulation entlang einer sich mit dem Fluid bewegten, geschlossenen Kurve bezüglich der Zeit konstant ist, d.h. dΓ

dt = 0. Dies gilt für eine reibungsfreie, barotrope Strömung mit konservativen Volumenkräften.

b) In der Potentialtheorie inkompressibler Strömungen stellt sich bei der Umströmung eines beliebigen Körpers keine resultierende Kraft in Hauptströmungsrichtung ein, d.h. es treten keine Widerstandskräfte auf. Da dieses Ergebnis nicht mit den realen Strömungsverhält- nissen übereinstimmt, wird es als d’Alembertsches Paradoxon bezeichnet.

c) Betrachte Flachwasserwellen mitH/λ1:tanh^2πH_λ ≈ ^2πH_λ ⇒ c=√ gH

Wellen breiten sich in tieferem Wasser schneller aus als in flachem Wasser⇒Wellenberge (senkrecht zuc) drehen sich parallel zum Strand und somit rollen die Wellen theoretisch immer orthogonal zum Küstenverlauf auf den Strand zu.

d) Der Abfall des Widerstandsbeiwertes von D bis E wird durch den Übergang der lami- naren in eine turbulente Grenzschicht verursacht. Die turbulente Grenzschicht kann auf- grund ihrer größeren Energie stärkere positive Druckgradienten überwinden und löst da- durch weiter stromab ab als im laminaren Fall, sodass der Nachlauf bedeutend schmaler als im laminaren Fall wird. Der Effekt des höheren Druckrückgewinns auf der stromabge- wandten Seite des Zylinders ist stärker als die Erhöhung des Widerstandsbeiwertes durch den erhöhten Reibungswiderstand der turbulenten Grenzschicht und resultiert in einem niedrigeren Beiwert des Gesamtwiderstandes als im laminaren Fall bei ReynoldszahlD.