Name und Matr-Nr.

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Name und Matr-Nr.

Zahlentheorie – Blatt 4

Abgabe am 16.5.2017 bis 10:30 Uhr

1 2 3 4 Σ

Bitte drucken Sie diese Seite aus und verwenden Sie sie als Deckblatt f¨ ur Ihre L¨ osungen.

Wie ¨ ublich sind alle Antworten zu begr¨ unden/beweisen.

Aufgabe 1 (4 Punkte):

Bestimmen Sie f¨ ur jede der folgenden Funktionen f _i das kleinste j, so dass f _i (x) = O(g _j (x)) ist. Geben Sie (f¨ ur dieses j) jeweils auch an, ob f _i (x) = o(g _j (x)) gilt. Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begr¨ unden.

f 1 (x) = x ² + 12x − 7 f 2 (x) = log(x ² + 12x − 7) f 3 (x) = e ^x

+ e ^12x − e ⁷ f 4 (x) = (e ^x ) ² + 12e ^x − 7 f ₅ (x) = _x

_+12x−7 ¹ f 6 (x) = ^x+1 _x−1 f 7 (x) = log(log(x)) f ₈ (x) = √

x ² + 12x − 7

g 1 (x) = x ⁻¹ g 2 (x) = 1 g ₃ (x) = log x g ₄ (x) = x g 5 (x) = x ² g 6 (x) = e ^x g 7 (x) = e ^2x g 8 (x) = e ^e

Aufgabe 2 (4 Punkte):

Sei x > 0 und sei f : R → R eine integrierbare Funktion. Setzen Sie in ein K¨ astchen 0, in ein K¨ astchen x, in ein K¨ astchen x + 1 und in ein K¨ astchen |f (bxc)| ein, so dass alle Behauptungen richtig werden, und begr¨ unden Sie die Behauptungen.

(a) P

n≤ f (n) ≥ R x

0 f (z) dz falls f monoton steigend und f (x) ≥ 0 ist.

(b)

P

n≤x f(n − 1) − R x

0 f (bzc) dz ≤ . (c) R x

0 f (z) dz ≤ R x 0

f (z) dz + (d) | R x

0 f (z) dz| ≤ R x

0 |f (z)| dz + Aufgabe 3 (4 Punkte):

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass es ein 0 < γ < 1 gibt, so dass gilt: P

n≤x 1

n = log(x) + γ + O( _x ¹ ). In dem Beweis wurde

a n := 1 n −

Z n+1

n

1 z dz

definiert, und es wurde eine anschauliche Begr¨ undung daf¨ ur gegeben, dass P

n≥M a n ≤ _M ¹ ist. Diese Begr¨ undung soll in dieser Aufgabe formaler aufgeschrieben werden:

(a) Zeigen Sie: a n ≤ _n ¹ − _n+1 ¹ .

Hinweis: Sie k¨ onnen z. B. die Fl¨ ache zwischen dem Graphen von ¹ _z und der Geraden bei y = _n ¹ als Integral einer Funktion g(z) ausdr¨ ucken.

(b) Zeigen Sie: P

n≥M a _n ≤ _M ¹ . Aufgabe 4 (4 Punkte):

Zeigen Sie, dass es ein γ ⁰ ∈ R gibt, so dass gilt: P

n≤x

√ 1 n = 2 √

x + γ ⁰ + O( ^{√ 1} _x ).

Hinweis: Sie k¨ onnen ¨ ahnlich vorgehen wie beim entsprechenden Beweis f¨ ur P

n≤x 1

n aus der Vorlesung.

Vorlesungswebseite: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/ZTh_SS17/