Adjungierte Funktoren

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Adjungierte Funktoren

4. April 2013

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Motivation Erinnerung: Äquivalenz von KategorienC,D:

∃F :D → C,G:C → Dinverse Funktoren, d.h.F◦G∼=idCundG◦G∼=idD

Idee: Hin- und herschieben von Morphismen zwischen C,D.

Verallgemeinerung, s.d.C,D nicht mehr äquivalent sein müssen.

Definition 0.1

SeienC,D Kategorien undF :D → C,G:C → D Funktoren,

• F heißt links-adjungiert zuG

• Gheißt rechts-adjungiert zu F falls∀X∈ C, Y ∈ D gilt:

Hom_C(F Y, X) ∼=

bijektiv und natürlich in X, Y Hom_D(Y, GX) In Zeichen:F aG

was heißtnatrlich? Interpretiere Hom_C(F_,_) als FunktorD^op×C →Setund Hom :C(_, G_) als FunktorD^op× C →Set

natürliche Trasformation zwischen deren Funktoren

Explizit: Für f : X → X⁰ Morphismus in C und g : Y⁰ → Y Morphismus in D, soll das folgende Diagramm kommutieren

Hom_C(F Y, X) ∼= Hom_C(Y, GX) ϕ

Hom_C(F Y⁰, X⁰) ∼= Hom_C(Y⁰, GX⁰) Gf ◦ϕ◦g

Hom(F g, f) Hom(g, Gf)

Beispiel 0.2

kKörper,V ect_k→^U SetVergissfunktor Set→V ekt_k

F

freier Funktor X

Menge7→ F X ={^P^N_n=1λ_ix_i} endli. Linearkombination von Ele- menten aus X.S ist Basis vonF X.

(X→^f X⁰)7→F f

wobeiF f eine lineare Abbildung ist, die durchx_i7→f(x_i)gegeben ist.

F f(

N

X

i=1

λixi) =

N

X

i=1

λif(xi)

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Beh: F aU Beweis :

Hom_C(F Y, V)

∼?

= HomC(Y, U V) wobei

• HomC(F Y, V)^def={lin. AbbF Y →V}

• HomC(Y, U V)^def={bel. Abb.Y →V} 3ϕ

ϕ7→

N

X

i=1

λ_iy_i7→

N

X

i=1

λ_iϕ(y_i)

bijektiv, da jede lineare Abbildung eindeutig durch die Basis festgelegt ist.

Natürlich inY undV: f :V 7→V⁰ undg:Y 7→Y⁰

λiyi7→P

λiϕ(yi)

ϕ

Hom_C(F Y, V) ∼= Hom_C(Y, U V)

Hom_C(F Y⁰, V⁰) ∼= Hom_C(Y⁰, U V⁰)

Pλiy_i⁰7→Pλif(ϕ(g(y⁰_i)))

U f◦ϕ◦g

Hom(F g, f) Hom(g, Gf)

Beispiel 0.3 U :Cat→Set L:Set→Kat

X 7→diskrete Kategorie auf X (d.h. nur Identitätsmorphismen) R:Set→Cat

X 7→indiskrete Kategorie auf X(d.h. zwischen je zwei Objekten genau ein Morphismus) Beh:

1. LaU 2. U aR

zu 1. C=Cat,D=SetHom_Cat(LX,C)∼= Hom_Set(X, UC) wobei

• Hom_Cat(LX,C)^def={Funktoren LX → C}

• Hom_Set(X, UC)=^def{Abbildungen X→Obj(C)}

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zu 2. Hom_Set(UC, X)∼= HomCat(C, RX) wobei

• Hom_Set(UC, X)^def={Abbildungen Obj(C)→X}

• Hom_Cat(C, RX)^def={Funktoren C →RX}

bijektiv, da Morphismen inRX durch Quelle und Ziel eindeutig bestimmt Satz 0.4

F :C → D links-adjungiert zuG:D → D, dann gilt:

• F erhält Kolimiten vonD

• Gerhält Limiten vonC

Folgerung:

• U : V ect_k → Set erhält Limiten, aber nicht Kolimiten und hat somit keine rechts- adjungierte Funktoren

• U :Cat→Seterhält Limiten und Kolimiten Beweis : SeiI→ D^D ein Diagramm, mit Limes lim←−

I

D.

Hom_D(Y, Glim

←−I

D_i)∼= HomC(F Y,lim

←−I

D_i)

∼= lim←−

I

Hom_C(F Y, D_i)

∼= lim←−

I

HomD(Y, GD_i)

∼= HomD(Y,lim←−

I

GDi)

Natürlich inY Yoneda Lemma Glim←−

I

Di∼= lim←−

I

GDi.

Beispiel 0.5

C=Grp,D=Grp²=Grp×Grp

F :Grp² →Grp Produktfunktor

(G₁, G₂)7→G₁×G₂

G:Grp→Grp² Diagonalfunktor

G7→(G, G) Beh: F `G

Hom_Grp2((G, G),(H₁, H₂))∼= Hom_Grp(G, H₁×H₂)

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wobei

• Hom_Grp2((G, G),(H1, H2)) ={Gruppen-Homomorphismen}

• Hom_Grp(G, H₁×H₂) ={G→H₁×H₂ Gruppen-Homomorphismen}

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1 Kombinatorische Spezies

Was wollen Kombinatoriker? Strukturen Zählen Beispiel 1.1

Auf wieviele Arten kann mannbunte Steine auf einer Schildkröte verteilen?

Modellierung

• Wir haben eineStruktur

• die vonGrundelementen abhängt

ad 2) : Es kommt nicht darauf an, ob steine, Zahlen, etc. entscheidend ist nur ihre An- zahl.

Definition 1.2 KategorieB:

• ObjB=endliche Mengen

• M orphB= Bijektive Abbildungen

ad 1): Kategorie vonStrukturen (nicht so wichtig, muss reihhaltig genug sein) zB.: FinSet,B

Abhängigkeit der Struktur von B Funktor Definition 1.3

Eine kombinatorische Speziesist ein Funktor F:B →FinSet

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1 Kombinatorische Spezies

Beispiel 1.4

• Spezies der zyklischen Ordnungen

Cyc:A7→ {a→b→ · · · →a|A={a, b, . . .}}

• SpeziesSeq_k mitk∈N Seq_k :A7→ {a b, c . . .

| {z }

k

|A={a, b, c, . . .}}

Kombinatoriker wollen die Anzahl von Strukturen in der Abhängigkeit von der Anzhal der Elemente inA zählen

• Zu einer Spezies F definiere fn := |F({1, . . . , b})| und (exponentiell) erzeugende Funk- tionen

F =^X

n≥0

f_n·xⁿ

n! =f₀+f₁x+ 1

2f₂x²+1

6f₃x³+. . . Beispiel 1.5

• zuCyc

cycn= n!

n = (n−1)!, n≥1 cyc0 = 0 Erzeugende Funktionen

Cyc=^X

n≥1

(n−1)!

n! xⁿ) =x+x² 2 + x³

3 +· · ·=−ln(1−x)

• zuSeq_k

2bsp_n=kⁿ 2Bsp= ^X

n≥0

kⁿ

n!xⁿ= exp(kx)

Beispiel 1.6

• X: Spezies der Einelementigen Menge

X :A7→

({?} ,falls|A|= 1

∅ ,sonst X=x

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• 1: Spezies der0-elementigen Menge 1:A7→

({?} ,falls A=∅

∅ ,sonst 1 = 1

• E: Spezies der Menge E :A7→A

e₀ = 1,e₁ = 1,e₂= 1 . . . E = 1x⁰

0! + 1x 1! + 1x²

2! +· · ·= 1 +x+x²

2 +· · ·= exp(x)

• Perm=Spezies der Permmutationen perm0= 1,perm1= 1,permn=n!

P erm=^X

n≥0

n!

n!xⁿ= 1 1−x

Bemerkung 1.7

Erzeugende Funktionen kann man addieren, malnehmen, ineinander einsetzen, . . .

was bedeutet das für Spezies?

zu +

+ :Disjukte Vereinigung von Spezies F+G:A7→ F(A)q G(A)

+: Spezies der nichtleeren Mengen

= 1 +E⁺

und deshalb:E⁺= exp(x)−1 zu ·

·:Paarbildung

erzeugende Funktionen:

X

n≥0

f_nxⁿ n!

X

n>0

g_nxⁿ n! =^X

n≥0

X

k+l=n

n!

k!l!f_kg_lxⁿ

n! (Cauchy−P rodukt)

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F · G:A7→ ^a

BqC˙

F(B)× G(C) lies als und

Beispiel 1.8

Injektionen von{1, . . . ,4} nach A:

Injektion = Bijektiong aufs Bild und Rest Inj₄ =Perm4·E

4Inj = 4!x⁴

4! ·exp(x) Beispiel 1.9

Fixpunktfreie PermutationenDer Perm=E · Der

1

1−x =exp(x)Der ⇒Der= ^exp(−x)_1−x

zu Spezies einsetzen F(G) lies alsvon Beispiel 1.10

Partitionen (=Zerlegungen) einer Menge

eine Zerlegung ist eine Menge von (Uner-) nicht leeren Mengen Part=E(E⁺)

und die Erzeugende Funktion P art= exp(exp(x)−1) Beispiel 1.11 (Binäre Bäume)

•

• •

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BinTree=X+X· BinTree· BinTree

erzeugende FunktionenBT =X+X·BT² und damit X·BT²−BT +X = 0

BT = 1

2x(1−^q(1²−4x²))

Weiterführende Literatur:

• Sedgewick / Flajolet: Analytic Combinatorics

Was macht man, wenn man die Farben nicht unterscheidet?

B⁰ :Obj= endl. Mengen M orph: Hom(A, B) =

({?} ,falls|A|=|B|

∅ ,sonst

Erzeugende Funktionen;F⁰=^P_n≥0f_n^x₁ⁿ gewöhnliche erzeugende Funktionen

• +,·: interpretation wie bisher

• einsetzen: geht nicht gut Beispiel 1.12

Spezies der Karnickel (nach Fibonacci)

Wollen die Anzahl der Möglichkeiten für Karnickel nachnJahren, wenn am Anfang 1vorhan- den ist

K= 1 +K·

1 Jahr warten

↓

X +K·

2 Jahre

↓ X² K= 1 +xK+x²K

⇒K = _1−x−x¹ ₂