Allgemeinwissen fördern: Mathematik

(1)

Allgemeinwissen MATHEMATIK Grundwissen fachgerecht in kleinen Portionen – Bestell-Nr. P11 660

Inhalt

Vorwort 5

Zahlenarten 6

– 10 Zahlenarten

Grundrechenarten 7 - 11

– Die vier Grundrechenarten – Übungskiste A

– Übungskiste B – Übungskiste C – Übungskiste D

– Punktrechnung und Strichrechnungen

Positive und negative Zahlen 12− 16

– Übungen am Zahlenstrahl

– Mit positiven und negativen Zahlen rechnen – Beachte das Vorzeichen

– Übungskiste A – Übungskiste B

Bruchrechnung 1 7− 22

– 20 Beispiele – Grundübungen 1 – Grundübungen 2 – Übungskiste A – Übungskiste B

Allgemeine Verhältnisrechnung 23− 24

– Direktes Verhältnis – Indirektes Verhältnis

Prozentrechnung 25− 30

– Prozentrechnung – Formeln umstellen – Grundübungen – Übungskiste A – Übungskiste B

Zinsrechnung 31− 34

– Vergütung für geliehenes Geld – Zinsrechnung

– Berechnung von Zinsen – Übungskiste

Potenzen und Wurzeln 35− 40

– Potenzen – Wurzeln – Übungskiste A – Übungskiste B

Algebra 41− 44

– Gleichungen – Übungskiste A – Übungskiste B

– Aufstellen von Gleichungen

Maßeinheiten 45

Seite

2

3

4 5 6

7

8

9 10 1

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Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt und unterliegen dem deutschen Urheberrecht. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Ver- lages (§ 52 a Urhg). Weder das Werk als Ganzes noch seine Teile dürfen ohne Einwilligung des Verlages eingescan- nt, an Dritte weitergeleitet, in ein Netzwerk wie Internet oder Intranet eingestellt oder öffentlich zugänglich gemacht werden. Dies gilt auch bei einer entsprechenden Nutzung in Schulen, Hochschulen, Universitäten, Seminaren und sonstigen Einrichtungen für Lehr- und Unterrichtszwecke.

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- Einzelne Arbeitsblätter dürfen Schülern für Referate zur Verfügung gestellt und im eigenen Unterricht zu Vortragszwecken verwendet werden.

- Während des eigenen Unterrichts gemeinsam mit den Schülern mit verschiedenen Medien, z.B. am Computer, via Beamer oder Tablet das Werk in nicht veränderter PDF-Form zu zeigen bzw. zu erarbeiten.

Jeder weitere kommerzielle Gebrauch oder die Weitergabe an Dritte, auch an andere Lehrpersonen oder pädago- gischen Fachkräfte mit eigenem Unterrichts- bzw. Lehrauftrag ist nicht gestattet. Jede Verwertung außerhalb des ei- genen Unterrichts und der Grenzen des Urheberrechts bedarf der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages.

VORSC

HAU

(2)

Inhalt

Planimetrie 46− 63

– Formeln zur Flächenlehre – Textaufgaben Dreiecke – Satz des Pythagoras – Übungskiste A – Übungskiste B

– Vierecke und Dreiecke – Formeln zur Kreisberechnung – Übungskiste C

– Übungskiste D

Stereometrie 64− 66

– Formeln – Grundübungen

Lineare Funktionen 67 − 71

– Grundlagen – Übungskiste A – Übungskiste B

Statistik 72 − 73

– Fachbegriffe – Grundübungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung 74 − 76

– Zum Begriff der Wahrscheinlichkeit – Grundübungen

– Übungskiste

Überblick & Zusammenfassung 77 − 78

– Was hast du gelernt?

Lösungen 79 − 99

Seite

11 12 13

14 15

16 17

VORSC

HAU

(3)

Liebe Kolleginnen und Kollegen,

so manchen Schülerinnen und Schülern fehlt bereits relativ einfaches mathematisches Wissen. Um in dieser Hinsicht abzuhelfen, behandelt der vorliegende Band elementare Grundkenntnisse im Schulfach Mathematik der Sekundarstufe I.

Viele dargebotene Materialien (häuig in den Versionen A und B) lassen sich im Unter- richt auch als Tests oder Klassenarbeiten einsetzen. Des Öfteren gibt es zu einzelnen Themen vorweg Informationsblätter mit Aufgabenbeispielen, deren jeweilige Lösung vorgerechnet wird.

Alle Materialien wurden häuig von mir erprobt und bewährten sich in der Regel in der Schulpraxis. Sie trugen wesentlich dazu bei, dass Schülerinnen und Schüler mehr ele- mentare mathematische Grundkenntnisse erwarben und diese auch später wiederge- ben sowie anwenden konnten.

Viel Erfolg beim Einsatz der Kopiervorlagen wünschen Ihnen der Kohl-Verlag und

Friedhelm Heitmann

Vorwort

VORSC

HAU

(4)

1 Zahlenarten

Bru hzahle − Dezi alzahle

= Dezi al rü he

− Ge is hte )ahle − Gerade )ahle − Natürli he )ahle − Negaive )ahle − Posiive )ahle − Pri zahle −

U gerade )ahle − )erleg are

= zusa e gesetzte

)ahle

Nr. Namen der

Zahlenarten Beschreibungen der

Zahlenarten Zahlen z. B.

1 = ganze Zahlen wie 1, 2, 3,

4, 5 ...

2 = ganze Zahlen, die durch 2

ohne Rest teilbar sind

3 = ganze Zahlen, die beim

Teilen durch 1 den Rest 1 haben

4 = natürliche Zahlen, die nur durch 2 und durch sich selbst teilbar sind

5 = natürliche Zahlen, die sich als Produkt zweier anderer natürlicher Zahlen darstellen lassen

6 = Zahlen, die einen Zähler

und einen Nenner haben

7 = Zahlen, die aus einer

ganzen Zahl und einem Bruch bestehen

8 = Zahlen mit einem Komma

9 = Zahlen, die größer

als 0 (Null) sind

= Zahlen, die kleiner

Aufg abe 1: ^• Ordne die Namen der folgenden 10 Zahlenarten den Beschreibungen richtig zu. Wie heißt die jeweils beschriebene Zahlenart?

• Nenne außerdem zu jeder Zahlenart als Beispiele 5 (weitere) Zahlen.

VORSC

HAU

(5)

a) Diese 4 Grundrechenarten gibt es...

... die _ ( = das Zusammenziehen) ... die _ ( = das Abziehen)

... die _ ( = das Malnehmen) ... die _ ( = das Teilen) b) Das Rechenzeichen...

... für die Addition ist das _____________________________ . (+).

... für die Subtraktion ist das _____________________________ . (−).

... für die Multiplikation ist das _____________________________ . (•).

... für die Division ist das _____________________________ . (÷).

c) Das Verb:

... zur Addition heißt _______________ . ... zur Subtraktion heißt _ . ... zur Multiplikation heißt _ . ... zur Division heißt _______________ . d) Das Ergebnis...

... bei der Addition nennt man _____________ . ... bei der Subtraktion nennt man _ . ... bei der Multiplikation nennt man _ . ... bei der Division nennt man _____________ .

2 Grundrechenarten

!

Merke dir : Das Gegenteil von der Addition ist die Subtraktion.

Das Gegenteil der Multiplikation ist die Division.

Vertauschen:

4 + 2 ergibt dasselbe Ergebnis wie 2 + 4.

4 • 2 ergibt dasselbe Ergebnis wie 2 • 4.

Aber:

4 − 2 ergibt nicht dasselbe Ergebnis wie 2 − 4.

addiere − Addiio − Difere z − dividiere − Divisio − Geteiltzei he − Malzei he − Mi uszei he − Muliplikaio − ulipliziere − Pluszei he −

Produkt − Quoie t − su trahiere − Su trakio − Su e

Aufg abe 1: Setze diese 16 Wörter passend in die Lücken der folgenden Sätze ein.

Die vier Grundrechenarten

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HAU

(6)

1. Verwandle die Prozentsätze zuerst in Brüche und dann in Dezimalzahlen.

Kürze die Brüche so weit wie möglich.

a) 7 % = = 0, c) 20 % = = 0,

b) 51 % = = 0, d) 85 % = = 0,

2. Verwandle die Brüche zunächst in Dezimalzahlen und danach in Prozentsätze.

a) = 0, = % c) = 0, = %

3. Berechne den Prozentwert. Wie viel sind 9 % von 600 Euro?

4. Berechne den Prozentsatz. Wie viel Prozent sind 160 g von 400 g?

5. Berechne den Grundwert. Prozentwert = 65 %; Prozentwert = 1625 m

6. Von 25 Schülern einer Klasse können 22 Schüler schwimmen.

Wie viel Prozent der Schüler können schwimmen?

7. Der Preis eines Kühlschrankes betrug 640 Euro. Nun sind für den Kühlschrank 15 % weniger zu zahlen. Wie viel kostet der Kühlschrank jetzt?

8. Die Kosten eines Gerätes sind 180 Euro + 19% Mehrwertsteuer. Wie viel Geld hat der Käufer für das Gerät insgesamt zu zahlen?

9. 408 Schüler (= 60 %) einer Schule sind Jungen. Wie viele Schüler hat die Schule insgesamt?

10. Die Temperatur ging innerhalb von 24 Stunden von 25° Celsius um 30 % zurück.

Welche Temperatur herrscht nun?

20 13 5 4 100 40

100 9

100 100

6 Prozentrechnung

Übungskiste A

VORSC

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(7)

Potenzen sind in der Mathematik die kurzen Schreibweisen für das Multiplizieren der gleichen Zahlen.

4

³

zum Beispiel ist eine Potenz, dabei gilt:

Die Grundzahl (= Basis) gibt an, welche Zahl multipliziert wird.

Die Hochzahl (= Exponent) besagt, wie oft diese Zahlen multipliziert wird.

Das Ergebnis des Multiplizierens ist der Potenzwert.

4

³

= 4 • 4 • 4 = 64

Das Wort „Potenz“ kommt vom lateinischen Wortes „potentia“ (= Macht).

Quadratzahlen sind die Zahlen, die sich als Resultat ergeben, wenn natürliche Zah- len jeweils einmal mit sich selbst multipliziert werden.

Beispiele : 1

²

= 1 • 1 = 1; 2

²

= 2 • 2 = 4; 3

²

= 3 • 3 = 9 ...

Kubikzahlen sind die Zahlen, die sich als Resultat ergeben, wenn natürliche Zahlen jeweils zweimal mit sich selbst multipliziert werden.

Beispiele : ¹

³

= 1 • 1 • 1 = 1; 2

³

= 2 • 2 • 2 = 8; 3

³

= 3 • 3 • 3 = 27 ...

Rechnen mit Potenzen ist eine höhere Rechenart und hat in Verbindung mit Grund- rechenarten Vorrang. Das heißt: Die Potenzen müssen zuerst berechnet werden.

Beispiel: 2

⁶

− 2 • 5

²

= 64 − 2 • 25 = 64 − 50 = 14

Weitere Beispiele für Potenzen:

(1,3)

²

= 1,3 • 1,3 = 1,69; (0,2)

³

= 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,008; ( ) = • • = Als Zehnerpotenzen werden in den Wissenschaften (sehr) große und (sehr ) kleine Zahlen geschrieben.

Zwei Beispiele :

1,5 • 10

⁸

km = 150 000 000 km  ungefähre Entfernung Erde-Sonne 10

⁻⁴

cm = = 0,0001 cm  ungefähre Länge einer Bakterie

25 2 5 2

5 2

5 8

125

1 10⁴

3

8 Potenzen & Wurzeln

Potenzen

Hochzahl Basis

4 ³

Merke! Potenz vor Punkt vor Strich

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(8)

Geld

1. 34 Euro = __ Cent 2. 58 000 Cent = _ Euro

3. Schreibe als Euro mit Komma. 63 Euro 2 Cent = _ , Euro 4. Schreibe als Euro mit Komma. 9 Cent = , ____ Euro

Zeitmaße

5. 1 Tag = _ Std. = _ Min. = _________ Sek.

6. 18 000 Sek. = _ Min. = __ Std. =

Gewichtsmaße

7. 3 t = kg = g = mg

8. 5600 mg = g = kg = ___ t

Längenmaße

9. 2 km = __ m = dm = _ cm = __ mm 10. 6900 mm = cm = dm = m = _ km 11. 0,76 km = _ m = _ dm = _ cm = _ mm 12. 4 mm = cm = _ dm = _ m = ______ km

Kleine Flächenmaße

13. 4 m

²

= __________ dm

²

= ____________ cm

²

= ______________ mm

²

14. 3750 mm

²

= ____________ cm

²

= ______________ dm

²

= ________________ m

²

Große Flächenmaße

15. 8,1 km

²

= ha = a = ______ m

²

16. 567 m

²

= a = ha = ______ km

²

Raummaße

17. 0,7 m

³

= _____________ dm

³

= ______________ cm

³

= ______________ mm

³

18. 214 mm

³

= ____________ cm

³

= ______________ dm

³

= ______________ m

³

Hohlmaße

19. 20,8 hl = _ l = _ ml

1 m

³

= 10 hl 1 dm

³

= 1 l 1 cm

³

= 1ml

10 Maßeinheiten

Maßeinheiten umrechnen

VORSC

HAU

(9)

In jedem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Quadrate der zwei Katheten zusammen genau so groß, wie das Quadrat der Hypotenuse.

Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt direkt ge- genüber vom rechten (= 90°) Winkel.

Kathete

_I²

+ Kathete

_II²

a

²

+ b

²

= c

²

(3 cm )

²

+ (4 cm )

²

9 cm

²

+ 16 cm

²

25 cm

²

= Hypotenuse

= (5 cm )

²

= 25 cm

²

= 25 cm

²

Beispiel für die Berechnung der Kathete:

11 Planimetrie (= Flächenlehre)

Satz des Pythagoras

Kathete a

Kathete b

Hypotenuse c

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras lassen sich in rechtwinkligen Dreiecken die Seitenlängen berechnen.

Beispiel für die Berechnung der Hypotenuse:

Hypotenuse

²

Hypotenuse

²

Hypotenuse

²

Hypotenuse

²

Hypotenuse

= Kathete

I

2

+ Kathete

II 2

= (4 cm )

²

+ (3 cm )

²

= 16 cm

²

+ 9 cm

²

= 25 cm

²

= 5 cm

Kathete

_II²

Kathete

_II²

Kathete

_II²

Kathete

_II²

Kathete

= Hypotenuse

²

+ Kathete

I 2

= (13 cm )

²

˗ (5 cm )

²

= 169 cm

²

˗ 25 cm

²

= 144 cm

²

= 12 cm

√

VORSC √

HAU

(10)

18. Wie groß sind der Umfang und der Flächeninhalt der folgenden zusammen- gesetzten Fläche?

19. Berechne den Umfang und die Fläche dieser zusammengesetzten Figur.

20. Ermittle den Umfang sowie die Fläche der zusammengesetzten Figur.

3 m 5 m

2 m

3 m U =

A =

3 m 4 m

5 m

3 m

9 m 6 m

11 Planimetrie (= Flächenlehre)

Übungskiste C

U =

A =

U =

A = 8 m

VORSC

HAU

(11)

11 Planimetrie (= Flächenlehre)

Übungskiste D

8. Wie lang ist jede Seite eines Quadrates, wenn die Fläche 256 cm

²

groß ist?

Erkläre den Lösungsweg.

9. Berechne den Flächeninhalt eines Parallelogramms, dessen Grundseite 14 cm lang ist und die dazugehörige Höhe 9 cm beträgt! Erkläre den Lösungsweg.

10. Zeichne ein Trapez. Notiere außerdem die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts deines Trapezes.

11. Welche 3 verschiedenen Arten von Dreiecken werden nach der Winkelgröße unterschieden?

• _ •

• ___________________________

12. Konstruiere ein Dreieck, dessen Grundseite c = 9 cm ist. Die Seite b soll 7 cm betragen, der Winkel β = 45°.

VORSC

HAU

(12)