Liebe Schülerinnen und Schüler des GK Ma 11,
Ich hoffe euch und euren Familien geht es gut und ihr kommt mit den gestellten Aufgaben gut zurecht.
Heute erhaltet ihr von mir die Aufgaben zur Wiederholung der Grundlagen der Stochastik aus den letzten Schuljahren. Dabei soll es zunächst um die wichtigsten Begriffe und das Verknüpfen von Ereignissen gehen. Nach den Ferien werden wir uns dann mit mehrstufigen Zufallsexperimenten (Baumdiagramme etc.) beschäftigen, wobei wir diese Grundlagen zwingend benötigen werden.
Zur Wiederholung der Begriffe habe ich euch eine Zusammenfassung (Seite 2 und 3 dieses Dokumentes) erstellt, die ihr euch ausdrucken und in den Hefter einordnen könnt. Die meisten Begriffe solltet ihr bereits kennen, evtl. aber mit anderen Bezeichnungen, je nachdem, welchen Mathelehrer ihr hattet. Ihr sollt die Begriffe nicht auswendig lernen, sondern sollt mit diesen umgehen können. Wer Schwierigkeiten beim Verständnis des ein oder anderen Begriffes hat, kann sich gerne die folgende Seite durchlesen oder eines der zwei folgenden Videos anschauen:
https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/zufallsexperiment/
https://www.youtube.com/watch?v=ssoO6nAhcQU https://www.youtube.com/watch?v=i_2HWoMmpUw
Bei den Begriffen ist es ganz wichtig, den Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis zu verstehen. Bei den folgenden Übungsaufgaben dann bitte auch immer genau lesen, um welchen Begriff es geht.
Nachdem ihr die Grundvokabeln rund um die Stochastik wiederholt habt, löst bitte die Übungsaufgaben auf Seite 4. Die Lösungen dazu findet ihr auf der letzten Seite.
Auf Seite 5 findet ihr eine Übersicht zu Mengenoperationen. Ihr wisst, dass Ereignisse Mengen sind und manchmal werden zwei oder mehrere Ereignisse miteinander verknüpft. Auf welche Arten diese Verknüpfungen stattfinden können, seht ihr in der Übersicht (nur eine Auswahl der wichtigsten). Macht euch bitte mit den Symbolen und deren Bedeutung vertraut. Einige Schreibweisen kennt ihr sicherlich bereits. Druckt euch die Seite aus und fügt sie in euren Hefter ein. Bei Schwierigkeiten bitte das folgende Video anschauen, in dem die wichtigsten Verknüpfungen anschaulich an Beispielen erklärt werden:
https://www.youtube.com/watch?v=lmJFEh72TT0
Löst anschließend die Übungsaufgaben auf Seite 6. Dabei werdet ihr dann hoffentlich feststellen, dass das inhaltlich gar nicht so schwer ist, wie es aussieht. Wer dabei Startschwierigkeiten hat, schaut sich entsprechend die Lösungen auf der letzten Seite an und versucht diese nachzuvollziehen.
Wie immer: wenn es Fragen oder Probleme gibt, bitte per Mail melden. Ebenso, falls ihr Fehler in diesem Dokument entdecken solltet. Auch ich kann mich mal vertippen.
Ich hoffe, wir sehen uns alle gesund nach den Osterferien wieder. Ich wünsche euch und euren Familien trotz dieser ungewissen Zeit ein frohes Osterfest!
Liebe Grüße,
S. Weigel
3.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsexperiment: Einen Vorgang, den man unter gleichen Bedingungen beliebig oft durchführen kann und dessen Ergebnis dem Zufall unterliegt, nennt man Zufallsexperiment. Wird ein Zufallsexperiment n-mal hintereinander durchgeführt, so heißt es n-stufiges Zufallsexperiment.
Bsp.: - Wurf einer Münze - Wurf eines Würfels - Drehen eines Glücksrades Ergebnis: Der Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt Ergebnis. Zu jedem Zufallsexperiment gehören mehrere Ergebnisse (mindestens zwei, sonst wäre es nicht zufällig). Die Menge, die alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes enthält, nennt man Ergebnismenge 𝛀 (bzw. Ergebnisraum, manchmal auch mit S bezeichnet).
Schreibweise: Ω = {𝜔1; 𝜔2; 𝜔3; … }. Die Elemente 𝜔𝑖 sind die einzelnen möglichen Versuchsausgänge.
Bsp.: a) Zufallsexperiment: zweimaliger Wurf einer Münze Ω = {𝑊𝑍; 𝑍𝑊; 𝑊𝑊; 𝑍𝑍 } b) Zufallsexperiment: Wurf eines Würfels Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
c) Zufallsexperiment: Umfrage nach der Blutgruppe Ω = {0; 𝐴; 𝐵; 𝐴𝐵}
Ereignis: Jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperimentes nennt man Ereignis. Endet ein Zufallsexperiment mit einem Ergebnis, das zu A gehört, so sagt man: Das Ereignis A ist eingetreten.
Bsp.: Zufallsexperiment: Wurf eines Würfels Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Ereignis A: Eine gerade Zahl wird geworfen. 𝐴 = {2; 4; 6}
Ereignis B: Eine Primzahl wird geworfen. 𝐵 = {2; 3; 5}
Besondere Ereignisse:
C ist das unmögliche Ereignis, wenn 𝐶 = ∅. Bsp.: Eine 7 wird gewürfelt.
D ist das sichere Ereignis, wenn 𝐷 = Ω. Bsp.: Eine natürliche Zahl kleiner als 7 wird gewürfelt.
E heißt Elementarereignis, wenn 𝐸 = 𝜔 (d.h. E besteht aus nur einem Ergebnis). Bsp.: Eine 5 wird gewürfelt.
Ein Ereignis 𝐴̅ heißt Komplementär- oder Gegenereignis von 𝐴, wenn 𝐴̅ alle Elemente aus Ω enthält, die 𝐴 nicht enthält (d.h. die beiden Mengen 𝐴̅ und 𝐴 bilden zusammen die Ergebnismenge Ω).
Ereignis 𝐴̅: Eine ungerade Zahl wird geworfen. 𝐴̅ = {1; 3; 5}
Ereignismenge: Die Menge aller Ereignisse eines Zufallsexperimentes heißt Ereignismenge oder Ereignisfeld und wird mit 2Ω bezeichnet. Die Ereignismenge gibt also an, wie viele verschiedene Teilmengen aus der Ergebnismenge Ω gebildet werden können. Besitzt Ω n Elemente, dann besitzt 2Ω (die Ereignismenge) 2𝑛 Elemente.
Bsp.: Wurf eines Würfels: Ω besitzt 6 Elemente die Ereignismenge besitzt 26= 64 Elemente
d.h. es gibt 64 verschiedene Teilmengen, die aus Ω gebildet werden können und damit 64 verschiedene Ereignisse
absolute und relative Häufigkeit (zur Auswertung von statistischen Erhebungen):
Die Angabe wie oft ein Ereignis A eingetreten ist, wird als absolute Häufigkeit 𝑯(𝑨) bezeichnet. Um eine Vergleichbarkeit der Versuchsausgänge zu erreichen, bezieht man die Anzahl der Versuchsausgänge auf die Gesamtzahl der durchgeführten Versuche. Dies wird als relative Häufigkeit 𝐡(𝐀) bezeichnet, d.h.:
𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐻ä𝑢𝑓𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 = 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝐻ä𝑢𝑓𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡
𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑉𝑒𝑟𝑠𝑢𝑐ℎ𝑠𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ𝑓üℎ𝑟𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 kurz: ℎ(𝐴) =𝐻(𝐴)
𝑛
Bsp.: Umfrage nach der Blutgruppe unter 4000 Passanten
Blutgruppe 0 A B AB
abs. Häufigkeit 1689 1591 484 236
rel. Häufigkeit 0,42 0,397 0,121 0,059 prozentual 42 % 39,7 % 12,1 % 5,9 %
Zusammenhang von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit:
Dies sind unterschiedliche Begriffe! Wahrscheinlichkeiten dienen der Prognose und geben Auskunft über Chancen in bevorstehenden Zufallsversuchen. Relative Häufigkeiten machen Aussagen über bereits durchgeführte Zufallsversuche. Aber die beiden Begriffe hängen eng miteinander zusammen:
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich mit zunehmender Anzahl der Versuche die relative Häufigkeit eines Ereignisses stabilisiert. Diesen stabilen Wert der relativen Häufigkeit nennt man Wahrscheinlichkeit.
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses 𝐴 wird mit 𝑃(𝐴) bezeichnet.
Wahrscheinlichkeiten werden als Dezimalzahlen angegeben und die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis beträgt mindestens 0 (für ein unmögliches Ereignis) und kann höchstens 1 betragen (für das sichere Ereignis):
d.h. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.
Ein Ereignis und sein Gegenereignis bilden zusammen das sichere Ereignis und besitzen damit zusammen die Wahrscheinlichkeit 1, also gilt: 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
Besteht ein Ereignis aus mehreren Ergebnissen, also z.B. 𝐴 = {𝜔1; 𝜔2; 𝜔3}, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu A gehören: 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝜔1) + 𝑃(𝜔2) + 𝑃(𝜔3).
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse beträgt 1.
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Eine Zuordnung aller Elementarereignisse bzw. Ergebnisse zu ihrer entsprechenden Wahrscheinlichkeit nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsexperimentes.
Bsp.: In einer Urne befinden sich 3 rote, 4 gelbe und 2 blaue Kugeln.
𝝎 rot gelb blau
𝑷(𝝎) 3
9
4 9
2 9
Gleichverteilung und Laplace-Experimente:
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der jedes mögliche Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, nennt man Gleichverteilung. Zufallsexperimente, bei denen alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, heißen Laplace-Experimente.
Die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴) eines Ereignisses A eines Laplace-Experimentes berechnet man durch:
𝑃(𝐴) =𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑓ü𝑟 𝐴 𝑔ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑉𝑒𝑟𝑠𝑢𝑐ℎ𝑠𝑎𝑢𝑠𝑔ä𝑛𝑔𝑒 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑉𝑒𝑟𝑠𝑢𝑐ℎ𝑠𝑎𝑢𝑠𝑔ä𝑛𝑔𝑒
Bsp.: Wurf eines Würfels Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A: Die Zahl 1 wird gewürfelt. 𝐴 = {1} 𝑃(𝐴) =1
6
B: Eine gerade Zahl wird gewürfelt. 𝐵 = {2; 4; 6} 𝑃(𝐵) =3
6
C: Eine Augenzahl kleiner als 10 wird gewürfelt. 𝐶 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω 𝑃(𝐶) = 1
D: Keine 5 wird gewürfelt. 𝐷 = {1; 2; 3; 4; 6} 𝑃(𝐷) =5
6
Komplexe Übung zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ein Glücksrad auf dem Jahrmarkt besteht aus 7 verschiedenfarbigen Sektoren (rot, blau, gelb, schwarz, grün, violett, orange). Von 2000 Drehungen wurde 150 mal rot, 225 mal blau, 75 mal gelb, 300 mal schwarz, 450 mal grün und 525 mal violett gedreht. Nach jeder Drehung wird die Farbe des Sektors gedreht.
a) Gib die Ergebnismenge an.
b) Stelle die absolute und relative Häufigkeit tabellarisch dar.
c) Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieses Zufallsexperimentes an. Ist dies ein Laplace- Experiment? Begründe.
d) Gib die folgenden Ereignisse als Teilmenge der Ergebnismenge an:
A: Der grüne, blaue oder gelbe Sektor erscheint.
B: Kein schwarzer oder violetter Sektor wird gedreht.
C: Nicht schwarz wird gedreht.
D: Es erscheint der rote Sektor.
e) Gib die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse A, B, C und D an.
f) Gib ein sicheres Ereignis S und ein unmögliches Ereignis U an.
g) Berechne die exakte Gradeinteilung des Glücksrades. Gib die jeweiligen Winkel ganzzahlig an.
h) Wie viele Kugeln der jeweiligen Farben müsste eine Urne enthalten, sodass sich die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Ziehen der Kugeln ergibt, wenn insgesamt 80 Kugeln genutzt werden sollen?
i) Aus wie vielen Elementen besteht das Ereignisfeld des Glücksradexperimentes?
j) Ein Glücksrad auf dem Jahrmarkt bestehe nun aus 3 Sektoren (rot, blau, gelb). Nach jeder Drehung wird die Farbe des Sektors notiert. Gib die Ereignismenge 2Ω an.
Verknüpfen von Ereignissen: Mengenoperationen
Mengenbild Symboldarstellung Sprechweisen
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Die Ereignisse A und B schließen einander aus (sind disjunkt). A und B
können nicht gelichzeitig eintreten.
𝐵 ⊂ 𝐴 B ist Teilereignis von A. Immer wenn B eintritt, tritt auch A ein.
𝐴̅
𝐴̅ (lies: A quer) ist das Gegenereignis von A.
𝐴̅ tritt ein, wenn A nicht eintritt.
𝐴 ∩ 𝐵
Schnittmenge:
A und B tritt ein, wenn sowohl A als auch B gleichzeitig eintritt.
𝐴 ∪ 𝐵
Vereinigungsmenge:
A oder B tritt ein, wenn eines der beiden Ereignisse oder beide
eintreten.
𝐴\𝐵
Differenzmenge:
𝐴\𝐵 (lies: A ohne B) tritt ein, wenn A eintritt, aber B nicht eintritt.
𝐴 ∩ 𝐵
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅ 𝐴̅ oder 𝐵̅ tritt ein, wenn nicht beide Ereignisse A, B gleichzeitig eintreten.
𝐴 ∪ 𝐵
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ Weder A noch B tritt ein, wenn keines der beiden Ereignisse eintritt.
A B
Ω
A
B
Ω
Übungsaufgaben zum Verknüpfen von Ereignissen
1. Für ein Zufallsexperiment, das durch die Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5} beschrieben wird, seien die Ereignisse 𝐴 = {1; 3; 5}, 𝐵 = {2; 3; 4} und 𝐶 = {1; 2} definiert.
Gib die Ereignisse 𝐴 ∪ 𝐶, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴̅, 𝐶̅, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐶̅, 𝐴\𝐶, 𝐶\𝐵 und 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ ∩ 𝐶 als Teilmenge von Ω in aufzählender Schreibweise an.
2. Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl wird notiert. Gegeben sind folgende Ereignisse:
A: Eine gerade Augenzahl wird gewürfelt.
B: Eine Primzahl wird gewürfelt.
Gib die Ereignisse 𝐴̅, 𝐵̅, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ und 𝐴 ∪ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ als Teilmenge von Ω in aufzählender Schreibweise an und gib die Bedeutung dieser Teilmengen in Worten wieder.
3. Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl notiert. Gegeben sind die folgenden Ereignisse:
A: Es wird eine Primzahl gewürfelt.
B: Es wird ein Teiler von 10 gewürfelt.
C: Es wird ein Teiler von 12 gewürfelt.
D: 𝐴 ∩ 𝐵 E: 𝐴 ∩ 𝐶 F: 𝐴 ∪ 𝐵 G: 𝐴 ∪ 𝐶̅̅̅̅̅̅̅
Welche der Ereignisse A bis G sind eingetreten, wenn folgendes Ereignis eintritt:
a) Eine 5 wird gewürfelt. b) Eine 1 wird gewürfelt. c) Eine 6 wird gewürfelt.
Lösungen:
Komplexe Aufgabe zu den Grundlagen der Stochastik a) Ω = {𝑟𝑜𝑡, 𝑏𝑙𝑎𝑢, 𝑔𝑒𝑙𝑏, 𝑠𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧, 𝑔𝑟ü𝑛, 𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑡𝑡, 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒}
b)
Ergebnisse 𝜔𝑖 rot blau gelb schwarz grün violett orange
𝐻(𝜔𝑖) 150 225 75 300 450 525 275
ℎ(𝜔𝑖)
150 2000= 0,075
225 2000= 0,1125
75 2000= 0,0375
300 2000= 0,15
450 2000= 0,225
535 2000= 0,2625
275 2000= 0,1375
Probe: Summe aller ℎ(𝜔𝑖) muss 1 ergeben c)
𝜔𝑖 rot blau gelb schwarz grün violett orange
𝑃(𝜔𝑖) 0,075 0,1125 0,0375 0,15 0,225 0,2625 0,1375
Kein Laplace-Experiment, da nicht alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind.
d) 𝐴 = {𝑔𝑟ü𝑛, 𝑏𝑙𝑎𝑢, 𝑔𝑒𝑙𝑏} 𝐵 = {𝑟𝑜𝑡, 𝑏𝑙𝑎𝑢, 𝑔𝑒𝑙𝑏, 𝑔𝑟ü𝑛, 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒}
𝐶 = {𝑟𝑜𝑡, 𝑏𝑙𝑎𝑢, 𝑔𝑒𝑙𝑏, 𝑔𝑟ü𝑛, 𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑡𝑡, 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒} 𝐷 = {𝑟𝑜𝑡}
e) 𝑃(𝐴) = 0,225 + 0,1125 + 0,0375 = 0,375
𝑃(𝐵) = 0,075 + 0,1125 + 0,0375 + 0,225 + 0,1375 = 0,5875 𝑃(𝐶) = 1 − 𝑃(𝑆𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧) = 1 − 0,15 = 0,85
𝑃(𝐷) = 0,075
f) S: Eine der Farben rot, blau, gelb, schwarz, grün, violett, orange wird gedreht.
U: Braun wird gedreht.
g) rot: 27°, blau: 41°, gelb: 13°, schwarz: 54°, grün: 81°, violett: 95°, orange: 49° (Da 4 mal x,5: zweimal abrunden, zweimal aufrunden, damit Summe noch 360° ergibt.)
h) rot: 6, blau: 9, gelb: 3, schwarz: 12, grün: 18, violett: 21, orange: 11
i) Ω besitzt 7 Elemente, also besteht das Ereignisfeld aus 27= 128 Elementen j) Ω = {𝑟𝑜𝑡, 𝑏𝑙𝑎𝑢, 𝑔𝑒𝑙𝑏} abgekürzt r, b, g
Ereignisfeld besteht also aus 23= 8 Elementen, diese sind:
2Ω = {𝑟; 𝑏; 𝑔; 𝑟 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑏; 𝑟 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑔; 𝑏 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑔; Ω; ∅}
Aufgaben zum Verknüpfen von Ereignissen
1. 𝐴 ∪ 𝐶 = {1; 2; 3; 5}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5}, 𝐴̅ = {2; 4}, 𝐶̅ = {3; 4; 5}, 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐶̅ = {1; 3; 4; 5}, 𝐴\𝐶 = {3; 5}, 𝐶\𝐵 = {1} und 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ ∩ 𝐶 = {1; 2}
2. Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, 𝐴 = {2; 4; 6}, 𝐵 = {2; 3; 5}
𝐴̅ = {1; 3; 5} Es wird keine gerade Zahl, also eine ungerade Zahl geworfen.
𝐵̅ = {1; 4; 6} Es wird keine Primzahl geworfen.
𝐴 ∩ 𝐵 = {2} Es wird sowohl eine gerade Zahl als auch eine Primzahl geworfen.
𝐴 ∪ 𝐵 = {2; 3; 4; 5; 6} Es wird eine Primzahl oder eine gerade Zahl geworfen.
𝐴\𝐵 = {4; 6} Es wird eine gerade Zahl, aber keine Primzahl geworfen.
𝐵\𝐴 = {3; 5} Es wird eine Primzahl, aber keine gerade Zahl geworfen.
𝐴 ∩ 𝐵
̅̅̅̅̅̅̅ = {1; 3; 4; 5; 6} Es wird nicht gleichzeitig eine Primzahl und eine gerade Zahl geworfen.
𝐴 ∪ 𝐵
̅̅̅̅̅̅̅ = {1} Es wird weder eine gerade Zahl noch eine Primzahl geworfen.
3. Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, 𝐴 = {2; 3; 5}, 𝐵 = {1; 2; 5}, 𝐶 = {1; 2; 3; 4; 6}, 𝐷 = {2; 5}, 𝐸 = {2; 3}, 𝐹 = {1; 2; 3; 5}, 𝐺 = ∅
a) Wenn eine 5 gewürfelt wird, sind die Ereignisse A, B, D und F eingetreten.
b) Wenn eine 1 gewürfelt wird, sind die Ereignisse B, C, F eingetreten.
c) Wenn eine 6 gewürfelt wird, ist das Ereignis C eingetreten.
