Konvexe Hülle im R

Was bisher geschah

I Motivation, Beispiele

I maschinelle Repräsentation geometrischer Objekte imR²: Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon,

ebene Zerlegung in Regionen (planare Graphen)

I spezielle Datenstrukturen zur (mehrfachen) effizienten Suche

Algorithmen zur

I Bestimmung der konvexe Hülle endlicher Punktmengen P ⊆R²

I Bestimmung aller Schnittpunkte einer endlichen Menge von StreckenS⊆ R²2

I Bestimmung von Triangulierungen von PolygonenP ⊆R²

I Punktsuche in Regionen (Suchstruktur)

I Voronoi-Diagramme, Delone-Triangulierungen

Konvexe Hülle im R

Anwendung z.B.

I zur Kollisionserkennung

I in Computergraphik

I Konvexe Hülle vonnPunkten hat höchstensnEcken.

I Jedes konvexe Polyeder imR³mitnEcken hat

I höchstens 3n−6 Kanten und

I höchstens 2n−4 Flächen.

Beobachtung:

Menge der Kanten jedes konvexen PolyedersP ⊆R³ist ein planarer Graph

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Repräsentation der konvexen Hülle im R

Menge der Kanten jedes konvexen PolyedersP ⊆R³ist ein planarer Graph.

Repräsentation als doppelt verkettete Kantenliste (mit Eckenv ∈R³)

Aufgabe conv-3d:

gegeben: endliche PunktmengeP={p₁, . . . ,p_n} ⊆R³ gesucht: conv(P),

repräsentiert als doppelt verkettete Kantenliste Vereinbarung:

Kantenfolge entlang der Flächen entegegen Uhrzeigersinn (von außerhalb des Polygons gesehen)

Berechnung der konvexen Hülle

Idee:randomisierterAlgorithmus

I Beginn: Auswahl vonP⁰ ={p₁, . . . ,p₄} ⊆P, die nicht in einer Ebene liegen,

konvexe Hülle conv(P⁰)ist Tetraeder

I restliche Punkteq ∈P in zufälliger ReihenfolgezuP⁰ hinzufügen:

mögliche Fälle

1. q∈conv(P⁰): conv(P⁰∪ {q}) =conv(P⁰) 2. q6∈conv(P⁰):

vonqsichtbare Flächenaus conv(P⁰)entfernen und für jede Kanteuv auf demHorizontDreieck(u,v,q)zu conv(P⁰)hinzufügen

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Sichtbarkeit von Punkten

gegeben: konvexes PolygonP ⊆R³

(als doppelt verkettete Kantenliste), Punktq∈R³

Flächef inPist vonq(von außen)sichtbargdw.

q6∈h(f)(Halbraum mitf in Grenzebene) Beobachtung:

von Punkten innerhalb des Polygons ist keine Polygonfläche sichtbar

vonqsichtbarer Bereich vonP:

I = Menge aller vonqsichtbaren Flächen inP

I ist zusammenhängender Bereich inP (dualer Graph zusammenhängend) HorizontvonPbzgl.q:

äußere Begrenzung des vonqsichtbaren Bereiches inP (geschlossener Kantenzug)

Bestimmung der sichtbaren Flächen

naiv:

I jede Fläche testen (O(|F|), fürnPunkteO(n))

I Gesamtlaufzeit zur Bestimmung der konvexen Hülle:O(n²) bessere Idee:

Verwaltung von Zusatzinformation zur (bisher berechneten) konvexen Hülle conv(P⁰)mitP⁰ ⊆P

Konfliktmengen:

I zu jeder Flächef ∈conv(P⁰)

P_C⁰ (f) ={q∈P\P⁰ |f vonqsichtbar}

I zu jeder Eckeq ∈P\P⁰

F_C(q) ={f ∈conv(P⁰)|f vonq sichtbar}

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Konflikt-Graph

gegeben: endliche PunktmengeP={p₁, . . . ,p_n} ⊆R³, P⁰⊆P,

conv(P⁰)als doppelt verkettete Kantenliste

Konfliktgraph für conv(P⁰):

bipartiter GraphG= (Vp∪V_f,E)mit

I Vp=P\P⁰

I V_f ={f |f ∈conv(P⁰)}

I KantenE ∈V_p×V_f mit

(p,f)∈E gdw.f vonpsichtbar

Verwaltung des Konflikt-Graphen

I zu Beginn des Algorithmus:|P⁰|=4, conv(P⁰)Tetraeder für jeden Punktq∈P\P⁰ und jede der 4 Tetraeder-Flächen Sichtbarkeit bestimmen

I Aktualisierung bei neu hinzukommendem Punktq∈P\P⁰: 1. qund alle Nachbarn vonqausGentfernen

(vonqsichtbare Flächen)

2. Knoten für neu erzeugte Flächenf⁰zuGhinzufügen (Dreieckef⁰= (q,u,v)zwischenqund Horizontkante(u,v) aus conv(P⁰))

3. Sichtbarkeit für Punkter ∈P\(P⁰∪ {q})und jede neue Flächef⁰ = (q,u,v)feststellen,

ggf. Konfliktkante(r,f⁰)inGeinfügen

(wichtige) Beobachtung: neue Flächef⁰höchstens von den Punktenr ∈P\(P⁰∪ {q})sichtbar, die wenigstens eine der an der Kante(u,v)benachbarten Flächenf1,f2sehen (nur Punkter ∈Gp(f1)∪GP(f2))

Spezialfall: Dreieckf⁰ = (q,u,v)in derselben Ebene wie eine (nicht sichtbare) Flächef aus conv(P⁰)

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Algorithmus

Algorithmus : conv-3d Eingabe:P⊆R³endlich

Ausgabe:C=conv(P)als doppelt verkettete Kantenliste P←P\P⁰,C←conv(P⁰)

(fürP⁰={p₁,p₂,p₃,p₄} ⊆P beliebig, aber nicht in einer Ebene) Initialisierung KonfliktgraphG

solangeP6=∅:

Auswahlq∈P(beliebig),P←P\ {q}

wennGF(q)6=∅(Konflikte exisitieren)dann

C⁰ ←C,C←C\GF(q)(sichtbare Flächen ausCentfernen) H ←Horizont (als Liste von Kanten)

für jedese∈H:

f ←Dreieck(q,e),C←C∪f (Fläche hinzufügen) (f1,f2)←Flächen inC⁰ mit gemeinsamer Kantee K ←GP(f1)∪GP(f2)(potentielle Konfliktpunkte mitf) für jedesr ∈K\ {q}:

wennr sieht f dannG←G∪Kante(r,f)

G←G\q,G←G\G_F(q)(Konfliktflächen ausGentfernen)

Schnitte von Halbräumen und -ebenen

Dualität:

Paar(a,b)∈R²repräsentiert

I Punkt mit den Koordinaten(a,b)

I Geradey =ax−b

zu Punktp= (px,py)∈R²duale Gerade: p^∗:y =pxx−py

zu Geradel :y =mx+ndualer Punkt: l^∗= (m,−n) Beobachtungen:

I ∀p,l ∈R²:p∈lgdw.l^∗ ∈p^∗

I ∀p,l ∈R²:poberhalb vonlgdw.l^∗ oberhalb vonp^∗

I Punktepin oberer (unterer) konvexer Hülle vonP gdw.

min (max) über allep^∗ enthält ein Teil der Geradep^∗

170

Lifting auf Einheits-Paraboloid

Einheits-ParaboloidinR³: U=

n

(x,y,z)∈R³|z =x²+y²o

Lifiting:

Projektionl:R²→R³von Punktenp∈R²auf Einheitsparaboloid:

∀p = (px,py)∈R²:l(p) = (px,py,p²_x+p²_y)

für gegebene Punktmengep∈R²:

I Punktmengel(P) ={l(p)|p ∈P} ⊆R³

I konvexe Hülle conv(l(P))⊆R³

I Projektion (der Kanten) der konvexen Hülle aufR²: Delone-Zerlegung vonP(imR²)

Tangentialebenen an U

euklidischer Abstand zwischen Punktenp,q ∈R²: d(p,q) =

q

(p_x −q_x)²+ (p_y −q_y)² (d(p,q))² = (px−qx)²+ (py−qy)²

Tangentialebeneh:R²→Ran Einheits-ParaboloidU im Punktl(p):

h(p) =2pxx+2pyy−(p²_x+p²_y)

Höhe der Tangentialebeneh(p)in beliebigem Punktq ∈R²: h(p)(q) = 2pxqx +2pyqy−(p²_x+p²_y)

l(q) = q_x²+q²_y

l(q)−h(p)(q) = (q_x²+q_y²) + (p_x²+p²_y)−2p_xq_x −2p_yq_y

= (d(x,y))²

172

Voronoi-Diagramm

I Höhe der Tangentialebeneh(p)inqrepräsentiert (zusammen mitl(q)) den Abstand zwischenpundq

I Tangentialebenenh(p),h(q)schneiden sich in Punkten (r_x,r_y, . . .)mitd(r,p) =d(r,q)(Voronoi-Kanten)

Für jede PunktmengeP⊆R²:

H(P) = {h(p)|p ∈P}

E(H) = max

h∈H h

Projektion der Schnitte (Strecken) der inE benachbarten Ebenen auf die Ebenez =0:

Voronoi-Diagramm vonP

Berechnung von Voronoi-Diagrammen imR²durch Berechnung konvexer Hüllen imR³möglich

Höher-dimensionale konvexe Hüllen

Einheits-Paraboloid inR^d+1: U=

(

(x1, . . . ,xd+1)∈R^d+1|xd+1=

d

X

i=1

x² )

Lifiting: Projektionl:R^d →R^d+1von Punkten auf Einheitsparaboloid durch

∀x ∈R^d :l(x) =l(x1, . . . ,xd) = (x1, . . . ,xd,

d

X

i=1

x²)

für gegebene Punktmengep∈R^d:

I Punktmengel(P) ={l(p)|p∈P} ⊆R^d+1

I konvexe Hülle conv(l(P))

I Delone-Zerlegung fürP:

Projektion der (unteren) konvexen Hülle aufR^d

I Voronoi-Diagramm fürP:

Projektion der Schnitte der Tangentialräume

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Kantenanzahl in konvexen Hüllen

Anzahl der Kanten der konvexen Hülle vonP⊆R^d mit|P|=n:

d =1: ≤2, O(1)

d =2: ≤n, O(n)

d =3: ≤3n−6, O(n)

d >3: (Upper bound theorem) O(n^bd/2c)