Verbraucher am Drehstromnetz

(1)

 Merke: Die Leistung eines Leiters ist immer:

 Achtung: Messgeräte messen nur Effektivwerte,

also zeitlich über eine Periodendauer gemittelte Werte.

 Aufgrund einer möglichen Phasenverschiebung von Strom und Spannung ist die tatsächlich abgegebene Leistung kleiner.

 Deshalbr ist ein Wirkleistungsmessgerät erforderlich.

L1 L2 L3 N

V

A W

Sternschaltung

Dreieckschaltung

L ...

I  P_L

LN 230V

U 

Str,Y Str,Y

I U

 Z

Str, Str,

I U

Z



 

Verbraucher am Drehstromnetz

Z Z Z

Z

Z Z

Str,Y LN

U U

Str, LL

U _ U

Str,Y L

I I

Gundula klagt, dass die Pfanne nicht heiß genug wird, um das Hüftsteak anzubraten!

Lösung:

Heizplatten in Dreieck- schaltung anschließen (Bitte keine Selbstversuche)

Leistung des

Verbrauchers messen:

L LN

S I U

LL 400V

U 

Verbraucher

(2)

Messen von Strom, Spannung und Leistung:

 Was zeigen Messgeräte an?

 Warum ist Wirkleistung nicht Spannung x Strom?

Momentan- und Effektivwerte:

 Warum Effektivwerte verwenden?

 Was ist der Phasenwinkel?

 Warum Blindleistung negativ bei kapazitiver Last?

(3)

Physikalische Grundlagen zum Leistungsfluss:

 Beispiel Wassertank  Druck (Ursache/Potenzial), Rohrquerschnitt (Last-Kennlinie), Fluss (Wirkung),

 Unterschied eingeprägter und resultierender Größen.

Drehzahl-Drehmoment-Kennlinien

 Kennlinie ASM erklären,

 Sagen, dass diese veränderlich ist, am starren Netz jedoch nicht!

 Vergleich mit Leistungsdiagramm PkW,

 Arbeitspunkt mit einfacher Last (bspw. Seilwinde) erklären. Was passiert, wenn Masse im Korb rausfällt?

 Dann übergehen auf GSM als Last.

 Erklären, dass Kennlinie der GSM mit Ankerkreisspannung verschoben wird.

(4)

Anwendungen und praktische Fragestellungen

•

Im Zuge der Einführung eines Energiemanagement-Systems wurden Sie beauftragt den Energieverbrauch drei unterschiedlicher Verbraucher zu messen. Für die Messung steht Ihnen ein Strom-, Spannungs- und Wirkleistungsmessgerät zur Verfügung.

Überlegen Sie, wie und welche Größen Sie messen müssen.

•

Mit dem Einbau neuer Energiezähler soll gleich noch der Elektroanschluss modernisiert werden. Der Elektriker möchte dafür von Ihnen wissen, für welchen Maximalstrom die Sicherungen auszulegen sind.

•

Da sie ein Großabnehmer von Strom sind, berechnet Ihnen ihr Stromanbieter zusätzlich zum Wirkleistungsverbrauch noch die von Ihnen benötigte Blindleistung.

Warum macht das der Stromanbieter und was können Sie mit Hilfe zusätzlicher passiver Bauelemente dagegen tun?

Berechnen Sie die Blindleistung mit Hilfe ihrer Messungen.

•

Um den Blindstrom zu kompensieren, soll ihr Vorschlag umgesetzt werden. Berechnen Sie

hierzu mit Hilfe der Messungen die erforderlichen Größen der zusätzlichen Bauelemente.

(5)

0 60° 120° 180° 240° 300° 360°

Drehstrom

Was ist Drehstrom bzw. Dreiphasenwechselstrom?

 Statt einem Leiter mit Wechselstrom/-Spannung werden drei Leiter (Phasen) mit jeweils um 120° zeitlich phasenverschobenen Wechselströmen/Spannungen verwendet.

Warum verwendet man 3 statt nur einem Leiter?

 Der Materialeinsatz für Leitung kann dadurch halbiert werden:

Aufgrund der Phasenverschiebung der Ströme, addieren diese sich zu null, weshalb für jeden einzelnen Leiter kein Rückleiter erforderlich ist. Im Gegensatz zu jeweils drei separaten Leitern mit je einem Rückleiter benötigt man daher nur die drei Leiter, die miteinander in Stern- oder Dreieckschaltung verbunden werden.

 Mit Drehstrom können sehr einfach Drehfelder (um eine Achse rotierendes Magnetfeld) erzeugt werden, mit deren Hilfe die Wellen von Drehstrommotoren angetrieben werden.

 Umgedreht lässt sich Drehstrom einfach mit Hilfe von Drehstrommaschinen, die als Generator arbeiten, erzeugen.

L1 L2 L3

N

i t3

 

R R R

     

1 2 3 0

i t i t i t 

2

 

i t i t1

 

^400V

 

1 3 sin

u t  t

 

u t2

 

u t3

 

u t3 2

 

u t u t1

u3

u2

u1

MAX 2 230V

u  

(6)

0 60° 120° 180° 240° 300° 360° 0 60° 120° 180° 240° 300° 360°

L1 L2 L3 N

i3

i2

i1

 

^400V

 

1 3 sin

u t  t

 

u t2

 

u t3

u31

u23

u12

u31

u23

u12

u1 u₂ u₃

R

R R

MAX 2 400V

u  

u3

u2

u1 MAX 2 230V

u  

Dreieckschaltung Sternschaltung

Anschluss in Stern- und Dreieckschaltung

L1 L2 L3

N

i t3

 

R R R

     

1 2 3 0

i t i t i t 

2

 

i t i t1

 

^400V

 

1 3 sin

u t  t

 

u t2

 

u t3

 

u t3 2

 

u t u t1

(7)

0 60° 120° 180° 240° 300° 360°

L1 L2 L3 N

i3

1 2 3 0

i   i i i2

i1

 

^400V

 

1 3 sin

u t  t

 

u t2 3

 

u t

u3

u2

u1

Sternschaltung

0 60° 120° 180° 240° 300° 360°

u3

u2

u1 MAX 2 230V

u  



i1 i₂ i₃

Anschluss kapazitiver Verbraucher

i3

u3

iR

iC

     

   

C

3 R C

90° voraus

1 ˆ sin ˆ cos

i

i t i t i t

u t C u t

R   

 

   

1 4 4 2 4 43

 

3 C

d t

d i C u

 t

3 R

( ) i u t

 R u3

i3



C 90

  

(8)

Im eingeschwungenen Zustand sind alle Strom- und Spannungsverläufe sinusförmig,

so dass Strom und Spannung einfach durch den Spitzen- bzw. Effektivwert beschrieben werden kann.

Effektivwert einer sinusförmigen Größe:

Der Strom/Spannung kann gegenüber der Spannung/Strom zeitlich nach- oder vorauseilen (Phasen- lage). Dies muss bei der Addition von mehreren Effektivströmen/Spannungen unterschiedlicher Phasenlage berücksichtigt werden.

Erläuterung wichtiger Rechengrößen sinusförmiger Wechselgrößen

 

²

0

1 ˆ sin( ) d 1 ˆ , mit 2 2

T

U u t t x T

T

 

    

  ^{ˆ sin( )}

u t  u  t

Spitzenwert der Spannung, z.B. maximale Leiter-Leiter-Spannung:

Elektrische Kreisfrequenz, im Drehstromnetz:

ˆ 2 400V u  

2 50Hz

   

         

C

R C

90° voraus

1 ˆsin   ˆcos 

     

i

i t i t i t u t C u t

R

 

u t

C R

 

C

d t d i C u

 t ^R u t( ) i  R

2 2

R C und

arctan

I I I

X

 R

 

 

   2. Überführung

in komplexe Darstellung

Im

Re U

R /

I U R



IC CU I 1. Effektivwerte

verwenden:

   

C R

1 sin   cos 

   

I I

I U t C U t

R

(9)

   

1

ˆ sin 1 d ( )

1 d ( )

ˆ cos

d

ˆ 1 d ( )

cos d

Ansatz:

( ) sin cos

d ( ) 1

cos sin

d

CRt

u t i t t Ri t

C

u t i t R i t

C t

u i t

t i t

R CR t

i t Fe A t B t

t CR



 

   



 

  

   



   

     

 

           

 

   

 

2 2

2

2 2

eff 2 2

0

2 2

eff 2 2 2

Gesamtstrom:

ˆ 1

sin cos

1

Effektivwert berechnen:

ˆ 1 1 1

sin sin 2 cos d

1

ˆ 1 1

1

1 2 1

T

u CR

i t t t

R CR CR

u CR

I t t t t

R CR T CR CR

CR C

I u U

R CR CR CR

  

 

   

  

 

  

 

    

 

     

 

      



           

2

Einsetzen und Koeffizienten bestimmen

ˆ 1

cos sin cos cos sin

1 1 ˆ

und

1 1

u t A t B t A t B t

R CR

B A A u

CR R

CR

       



   

 

  

 

 

Gegenüberstellung der Rechnung mit kontinuierlichen und Effektivwerten

Leistung

       

     

 

2 2

AVG 2

0

ˆ 1

sin sin cos

1

1 d

1

T

u CR

p t u t i t t t t

R CR CR

U CR P u t i t t

T R CR

   

 



 

     

 





(10)

Einfache Rechnung mit Effektivwerten

Wichtig: Formel mit Tangens nur richtig, wenn Spannung über Real- und Imaginärteil gleich, also Parallelschaltung.

Bei Reihenschaltung den Kehrwert verwenden!

 

   

 

2 2

2

2 2

2

1 ,

1 1 1

tan cos 1

1 1,

1 cos



  

  



 

    

  

  



 

    

R j CR

R R

Z Z

j CR CR CR

CR

I U CR

R

U U

S CR P S

R R

 

2 2

2

2 2

2

1 1

,

tan 1 cos

1 1,

1 cos

    

   



 

    

Z R j Z CR

C C

CR

CR CR

U I CR

C

S I CR P S I R

C



 

  

 



 



(11)

Phasenverschiebung in Parallel- und Reihenschaltungen

U

R C

Im

Re

U UR RI



C

U 1 I

C

 I Im

Re U I_R U R/



IC CU I

Phasenverschiebung des Stroms

U

C R

IC IR

I

UR

I ^U^C

Phasenverschiebung der Spannung

U

C R

IC IR

I

C

IL

L

I 1 U

L



(12)

 Merke: Die Leistung eines Leiters ist immer:

 Achtung: Messgeräte messen nur Effektivwerte,

also zeitlich über eine Periodendauer gemittelte Werte

 Aufgrund einer möglichen Phasenverschiebung von Strom und Spannung ist die tatsächlich abgegebene Leistung kleiner

 Daher ist ein Wirkleistungsmessgerät erforderlich

L1

L2 L3 N

V

A W

Sternschaltung

Dreieckschaltung

L ...

I  P_L

LN 230V

U 

Str,Y Str,Y

I U

 Z

Str, Str,

I U

Z



 

Leistungsaufnahme von Verbrauchern am Drehstromnetz

Z Z Z

Z

Z Z

Str,Y LN

U U

Str, LL

U _ U

Str,Y L

I I

Gundula klagt, dass die Pfanne nicht heiß genug wird, um das Hüftsteak anzubraten!

Lösung:

Heizplatten in Dreieck- schaltung anschließen (Bitte keine Selbstversuche)

Leistung des Verbrauchers messen:

L LN

S I U

LL 400V

U 

Verbraucher

Unterscheidung von

Leiter- und Stranggrößen

 Leiterstrom/Spannung sind Größen eines Netzleiters, an dem i.d.R. mehrere

Verbraucher angeschlossen sind

 Strangsstrom/-Spannung sind Größen, die am Leiter eines Verbrauchers (bspw. Widerstand) fließen/anliegen

(13)

Berechnung der elektrischen Leistung mit Wechselstrom

Bei Wechselstrom mit sinusförmigen Spannungen und Strömen ist die Leistung:

Mit Einführung des Effektivwerts einer sinusförmigen Größe:

Erhält man:

Hierbei sind:

  ^{( ) ( )} ^ˆ ^sin   ^ˆ ^sin   ¹ ^ˆ ^ˆ ^cos   ^{cos 2}  

p t  u t i t  u  t i   t   2 u i       t   

0

1 ˆ sin( ) d 1 ˆ 2

T

X x t t x

T 

  

   

( ) cos cos 2

p t  U I       t   

 

cos die Wirkleistung die Scheinleistung

P U I S U I





   

 

2 R

C

0

( ) cos cos 2

Widerstand mit 0 1 ( )d

Kapazität mit 90

1 1 4

( )d sin 0

4 2

cos die Wirkleistung die Scheinleistung

T

p t U I t

P p t t U I U

T R

P p t t U I t

T T

P U I S U I

  



 





      

 

  

  

 

       





Wirk-, Blind- und Scheinleistung sind Mittelwerte bzw. integrale Werte!!!!

Die Scheinleistung ist hilfreich, um Maximal- und Effektivströme für anliegende Effektivspannung berechnen zu können  Wichtig, um daraus bspw.

die Verluste in Zuleitungen ermitteln zu können

 

sin die Wirkleistung

Q  U I 

(14)

Erklärung Wirkleistung:

Aufgrund von sinusförmigen Größen ist es einfacher Leistungen und Größen als Mittel- oder Effektivwerte über eine Periodendauer zu betrachten.

Wirkleistung ist nun eine Leistung, deren Mittelwert über eine Periode ungleich null ist.

Das bedeutet im Endeffekt, dass nach einer Periode

elektrische Energie transportiert oder umgewandelt wurde und an anderer Stelle als elektr., thermische, chemische oder mechanische Energie verfügbar ist.

Speziell bei sinusförmigen Größen, bei denen der Mittelwert von Strom und Spannung null ist, tritt nun der Fall auf, dass Speicherelemente wie Spulen und Kondensatoren während einer Periode geladen und wieder entladen werden, dass heißt sie nehmen elektrische Energie auf und geben den gleichen Anteil an elektrischer Energie wieder ab – ähnlich wie Federn die gespannt und wieder entspannt werden, oder Massen, die beschleunigt und wieder abgebremst werden.

Deshalb wird, wenn man genau eine Periode betrachtet, keine Wirkleistung umgesetzt – die Energieverteilung am Ende der Periode ist genauso wie am Anfang.

Was wäre bei nichtsinusförmigen Spannungen?

 Rechnung mit Mittel- und Effektivwerten ergibt

keinen Sinn mehr, d.h. die fiktiven Rechengrößen P, Q und S sind nicht mehr gültig!

Erklärung Blindleistung:

Physikalisch gesehen ist Blindleistung die Amplitude der momentanen Leistung mit der eine Kapazität oder eine Spule geladen oder entladen wird.

Der Mittelwert über eine Periode dieser Leistung ist für sinusförmige Spannungs- und Stromverläufe null.

Das heißt, die im Mittel abgegebene Leistung über einem kapazitiven oder induktiven Bauelement ist null.

Allerdings vergrößert sich der tatsächlich fließende Strom in den Zuleitungen, wodurch größere

Verluste in diesen entstehen.

Dies muss bei der Auslegung der Stromversorgung eines Verbrauchers berücksichtigt werden.

Mit Hilfe der Blindleistung als einer fiktiven Rechengröße ist die Berechnung dieser Ströme bzw. Spannungen sehr einfach.

(15)

   

     

   

 

AVG 0

AVG

2 AVG

AVG

2 2 2 2

AVG AVG

messbar sind: , , , oder auch , Daraus berechenbar sind:

, 1 d cos

max cos

T

U I P u t i t

S U I P u t i t t P S

T

p t P S

P U

S R P

Q S P U I P





   

 

  

   

      

   

ˆ ˆ

( ) ( ) sin sin 1 ˆ ˆ cos cos 2 2

cos cos 2 cos cos 2

p t u t i t u t i t

u i t

U I t

S t

  

  

  

      

       

   

 

   

   

2

Ohm Ohm Ohm AVG

Ohm AVG

Blind Blind Blind

Blind Blind

Blind

1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2

max 2

cos 2 cos 2

2 2

1 ˆ ˆ

sin 2 sin 2

2 max

p t U I t P t U t

R

p t P

p t U I t Q t

Q t u i t

p t Q

  

 

 

                 



   

            

 

 m

Blindleistung ist gleich dem Spitzenwert der momentanen Leistung, an einem kapazitiven oder induktiven Verbraucher Der Spitzenwert der momentanen

Leistung, an einem ohmschen Verbraucher entspricht der 2-fachen Wirkleistung

Da bekannt ist, dass der Strom über einem kapazitivem oder induktiven Bauelement der Spannung um 90° voraus bzw. hinterher eilt, können wir die Teilleistungen, wie folgt bestimmen:

Die Gesamtleistung zwischen einem uns un-

bekannten Verbraucher und einem Erzeuger

ist allgemein:

(16)

         

       

   

Blind Ohm AVG

Ges Ges

AVG

Summe der Teilleistung:

1 cos 2 sin 2

cos cos 2 cos cos 2

Deshalb muss auch gelten:

cos cos 2 1 cos 2 sin 2

cos 2 cos 2

 

     

    

  

       

             

   

   

   

  

p t p t p t P t Q t

p t U I t S t

S t P t Q t

S t P t  

           

 

AVG

sin 2

cos cos 2 sin sin 2 cos 2 sin 2

sin

Diese Beziehung gilt, weil Blind- und Wirkleistung laut der Definition um 90° phasenverschoben zueinander definiert sind!



     



  

 

 

 

Q t

S t t P t Q t

Q S

Die Teilleistungen müssen in Summe natürlich der Gesamtleistung entsprechen, die bereits allgemein für eine sinusförmige Spannung und den Gesamtstrom, der

um den Phasenwinkel verschoben ist, angegeben wurde.

Deshalb muss nun gelten:

(17)

       

 

AVG

AVG max Null

max Null

Andere Methode zur Bestimmung der Blindleistung:

Messung bei Leistungsmaximum dann gilt:

0 2 sin 2 cos 2

tan 2

...Zeit zum Maximum der Leistung ...Zeit beim vorherige

  





  

 

p t P t Q t

Q P t t

t t

 

_{arg max}

_ _ _{ } _ _

n Nulldurchgang der Leistung

oder:

sin 2

cos 2 1



_

 

t p t

Q S t

t

(18)

 Der Mittelwert der Wirkleistung ist ungleich null.

 Folglich wird Energie übertragen.

 Elektrische Energie wird beim Verbraucher in mechanische, thermische oder chemische Energie umgewandelt.

(Wärmeenergie eines Widerstands, Batterieladung, mechanische Arbeit eines Elektromotors)

 

¹

 

i t u t

 R

2

LN LN

0

1 ( ) d 230V

T

U u t t

 T





Verbraucher am Drehstromnetz

Wirkleistung Blindleistung

Merke!

 Der Mittelwert ist null.

 Folglich wird keine Energie übertragen.

 Energie pendelt zwischen Netz und Energiespeicher.

(Kapazität mit elektrischer Ladungsenergie oder Induktivität mit magnetischer Energie)

Verbraucher am Drehstromnetz

L1 L2 L3 N

V

A W