ITI
Institut für Theoretische Informatik
Dr. Jürgen Koslowski
Algebraische Automatentheorie
Blatt 7, 2018-12-06
Aufgabe 1[12Punkte]
Gegeben sei eine Galois-Verbindung f ag zwischen zwei vollständigen Verbänden hP, lei und hQ,vi. Insbesondere gilt also idP ≤ f;g und g;f v idQ. Die Mengen P0 und Q0 mögen aus den jeweiligen Fixpunkten bestehen. Zeigen Sie: hP0,≤i und hQ0,vi sind ismomorphe vollständige Vergände.
Aufgabe 2[12Punkte]
für eine Äquivalenzrelation E auf der Trägermenge einer Halbgruppe hS,·i sind folgende Bedingungen äquivalent:
(a) E ist eine Kongruenzrelation;
(b) E ist eine Unter-Halbgruppe von S×S, d.h.,
∀a, b, c, d∈S.
ha, bi,hc, di ∈E =⇒ ha, bi · hc, di=ha·c, b·di ∈E
Weiterhin implizieren diese Bedingungen:
( c ) E satisfies
∀u, v∈S.
hu, vi ∈E =⇒ ∀x, y∈S.hx·u·y, x·v·yi=hx, xi · hu, vi · hy, yi ∈E
Falls S ein Monoid ist, sind alle drei Bedingungen äquivalent.
Aufgabe 3[12Punkte]
Betrachte zwei Quantale U und V , d.h., vollständigen Verbände mit Monoidstruktur, so dass due Supremum-Abildung ein Monoid-Homomorphismus ist. Weiter sei f ag eine Adjunktion zwischen den vollständigen Verbänden.
Zeigen Sie: f ist genau dann oplax hinsichtlich der Monoid-Struktur, wenn g lax ist.
Abgabe: Donnerstag, 2018-12-13, 13:15
