Ziel dieses Paragraphen ist die Untersuchung von parameterabh¨ angigen Integralen der Form

Kapitel 9 Mehrfache Integrale

§ 1 Parameterintegrale

Inhalt:

Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Parameterintegralen, Potentialfunktionen und Integrabilit¨ atsbedingung, Fubini f¨ ur Rechtecke, Leibnizsche Formel, uneigent- liche Parameterintegrale, die Gamma-Funktion.

Ziel dieses Paragraphen ist die Untersuchung von parameterabh¨ angigen Integralen der Form

F (x 1 , . . . , x n ) = Z b

a

f (x 1 , . . . , x n , t) dt mit einer stetigen Funktion f .

Sei B ⊂ R ⁿ offen, I = [a, b] ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall und f : B × I → R stetig.

Satz

Unter den obigen Voraussetzungen ist F (x) :=

Z b a

f(x, t) dt auf B stetig.

Ist f außerdem stetig differenzierbar nach x ₁ , . . . , x _n , so ist auch F stetig partiell differenzierbar, und es gilt f¨ ur i = 1, . . . , n :

∂F

∂x _i (x) = Z b

a

∂f

∂x _i (x, t) dt.

Ohne Beweis . Beispiel.

Sei f : R ² → R definiert durch f (x, t) :=

(sin xt)/t f¨ ur t 6= 0,

x f¨ ur t = 0.

Weil (sin xt)/t = x · (sin xt)/(xt) f¨ ur t → 0 gegen x konvergiert, ist f stetig und wir k¨ onnen z.B. F (x) = R π/2

0 f(x, t) dt bilden. Außerdem ist f nach x partiell differenzierbar und

∂f

∂x (x, t) :=

cos xt f¨ ur t 6= 0, 1 f¨ ur t = 0, und diese Funktion ist stetig. Also ist

F ⁰ (x) = Z π/2

0

cos(xt) dt = sin(xt) x

π/2

0 = sin((πx)/2)

x .

Allgemeiner gilt ¨ ubrigens:

H¨ ohere Ableitungen von Parameter-Integralen

Ist f r-mal stetig differenzierbar, so ist auch F r-mal stetig differenzierbar, und man kann Differentiationen bis zur Ordnung r mit dem Integral vertauschen.

Eine erste Anwendung der Parameter-Integrale ist die L¨ osung folgenden Problems:

Sei B = B _r (0) eine offene Kugel um den Nullpunkt im R ⁿ und F = (F ₁ , . . . , F _n ) : B → R ⁿ

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf B. Gesucht ist eine stetig differenzierbare Funktion f : B → R mit ∇f = F.

Damit F(x) = ∇f (x) = ( ∂f

∂x ₁ (x), . . . , ∂f

∂x _n (x)) sein kann, muß auf jeden Fall gelten:

∂F _i

∂x _j = ∂ ² f

∂x _i ∂x _j = ∂ ² f

∂x _j ∂x _i = ∂F _j

∂x _i , f¨ ur i, j = 1, . . . , n.

Ist diese notwendige

” Integrabilit¨ atsbedingung“

∂F _i

∂x _j (x) = ∂F _j

∂x _i (x) f¨ ur i, j = 1, . . . , n und x ∈ B

erf¨ ullt, so kann man tats¨ achlich die gesuchte Funktion f konstruieren. Dazu setzen wir

f (x) :=

n

X

i=1

Z 1 0

F _i (tx) dt

x _i .

Wegen der Integrabilit¨ atsbedingung ist

d

dt (tF _j (tx)) = F _j (tx) + t ·

n

X

i=1

∂F _j

∂x _i (tx)x _i = F _j (tx) + t

n

X

i=1

∂F _i

∂x _j (tx)x _i . Damit folgt:

∂f

∂x _j (x) =

n

X

i=1

∂

∂x _j Z 1

0

F _i (tx) dt

x _i + δ _ij Z 1

0

F _i (tx) dt

=

n

X

i=1

Z 1 0

t ∂F i

∂x _j (tx) dt

x _i + Z 1

0

F _j (tx) dt

= Z 1

0

t ·

n

X

i=1

∂F i

∂x _j (tx)x _i + F _j (tx)

! dt

= Z 1

0

d

dt (tF j (tx)) dt

= tF _j (tx)

1 0

= F _j (x).

Wir erinnern uns an die Rotation eines Vektorfeldes F = (F ₁ , F ₂ , F ₃ ) im R ³ :

rot(F) := ( ∂F ₃

∂x ₂ − ∂F ₂

∂x ₃ , ∂F ₁

∂x ₃ − ∂F ₃

∂x ₁ , ∂F ₂

∂x ₁ − ∂F ₁

∂x ₂ ) .

Fassen wir die partielle Differentiation nach x _i als einen Operator D _i auf, so erhalten wir mit Hilfe des vektoriellen Operators ∇ = (D ₁ , D ₂ , D ₃ ) die Beziehung rot(F) :=

∇ × F. Im R ³ bedeutet die obige Integrabilit¨ atsbedingung gerade, daß rot(F) = 0 ist. Deshalb haben wir jetzt gezeigt:

Integrabilit¨ atsbedingung f¨ ur Gradientenfelder

Sei F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Kugel um 0 im R ³ . F ist genau dann Gradient einer differenzierbaren Funktion, wenn rot(F) = 0 ist.

Beispiele.

1. Sei F(x, y, z) := (x, y, z) auf einer Kugelumgebung von 0. Dann ist offensicht-

lich rot(F) = 0. Also muß F Gradient einer Funktion f sein. Wir berechnen

f nach der obigen Formel:

f(x, y, z) = x Z 1

0

F ₁ (tx, ty, tz) dt + y Z 1

0

F ₂ (tx, ty, tz) dt + z Z 1

0

F ₃ (tx, ty, tz) dt

= x · Z 1

0

tx dt + y · Z 1

0

ty dt + z · Z 1

0

tz dt

= (x ² + y ² + z ² ) · t ² 2

1 0

= 1

2 (x ² + y ² + z ² ).

Die Probe zeigt sofort, daß ∇f = F ist, wie es ja auch sein muß.

2. Sei U := {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² 6= 0} = R ³ \ {(x, y, z) | x = y = 0}. Dann ist auf U das Vektorfeld

F(x, y, z) :=

−y

x ² + y ² , x x ² + y ² , 0

stetig differenzierbar, und es gilt:

∂F ₁

∂y (x, y, z) = −(x ² + y ² ) + y · 2y

(x ² + y ² ) ² = y ² − x ² (x ² + y ² ) ² ,

∂F ₁

∂z (x, y, z) = 0,

∂F ₂

∂x (x, y, z) = (x ² + y ² ) − x · 2x

(x ² + y ² ) ² = y ² − x ² (x ² + y ² ) ² ,

∂F ₂

∂z (x, y, z) = 0, und ∂F 3

∂x (x, y, z) = ∂F 3

∂y (x, y, z) = 0.

Also ist rot(F) = 0.

Wenn man nun nicht so genau auf die Definitionsbereiche achtet, findet man rasch eine Funktion g , deren Gradient das Vektorfeld F ist. Man braucht z.B.

nur eine Stammfunktion von F 2 bez¨ uglich der Variablen y zu suchen:

g(x, y, z) = Z y

y

x x ² + t ² dt

= Z y

y

1

x · 1 1 + ( _x ^t ) ² dt

= Z y

y

ϕ ⁰ (t)

1 + ϕ(t) ² dt (mit ϕ(t) = t x )

=

Z ϕ(y) ϕ(y

)

1 1 + s ² ds

= arctan y x

+ const.

Die Konstante k¨ onnte noch von x und z abh¨ angen, aber die Probe zeigt, daß wir sie nicht brauchen. Tats¨ achlich ist schon

g(x, y, z) := arctan y x

eine Funktion mit ∇g = F. Leider ist g nicht auf ganz U definiert, sondern nur auf Teilmengen, z.B. auf U ₊ := {(x, y, z) | x > 0}. Eine andere Stamm- funktion findet man auf U − := {(x, y, z) | x < 0}, und sp¨ ater werden wir sehen, daß F auf ganz U kein Gradientenfeld sein kann.

Ob ein Vektorfeld F mit rot(F) = 0 ein Gradientenfeld ist, h¨ angt n¨ amlich i.a. auch von der Geometrie des Definitionsbereiches ab. Auf Kugeln um den Nullpunkt (und verschiedenen anderen Gebieten) geht alles gut. Sobald das Gebiet aber L¨ ocher besitzt, die sich nicht innerhalb des Gebietes umgehen lassen, ist Vorsicht geboten.

Wir betrachten nun eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Rechteck, f : [a, b] × [c, d] → R .

Dann sind die Funktionen F ₁ (s) :=

Z d c

f (s, t) dt bzw. F ₂ (t) :=

Z b a

f (s, t) ds stetig und daher noch einmal integrierbar. ¨ Uberraschenderweise gilt:

Satz von Fubini f¨ ur stetige Funktionen auf Rechtecken

Z b a

Z d c

f(s, t) dt ds = Z d

c

Z b a

f (s, t) ds dt.

Beweis: F¨ ur c ≤ τ ≤ d sei g(s, τ ) :=

Z τ c

f(s, t) dt. Diese Funktion ist nach dem Satz ¨ uber die Stetigkeit von Parameterintegralen f¨ ur jedes feste τ eine stetige Funktion von s, und f¨ ur festes s ∈ [a, b] und τ ₀ ∈ [c, d] ist τ 7→ g(s, τ ) in τ ₀ differenzierbar, mit

∂g

∂τ (s, τ 0 ) = f (s, τ 0 ).

Also ist g nach τ stetig partiell differenzierbar, und wir k¨ onnen den Satz ¨ uber die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen anwenden:

ϕ(τ ) :=

Z b a

g(s, τ ) ds = Z b

a

Z τ c

f(s, t) dt

ds

ist stetig differenzierbar, mit

ϕ ⁰ (τ) = Z b

a

f(s, τ ) ds.

Nun ist

ϕ(c) = 0 und ϕ(d) = Z b

a

Z d c

f(s, t) dt ds, also

Z d c

Z b a

f(s, t) ds dt = Z d

c

ϕ ⁰ (t) dt

= ϕ(d) − ϕ(c)

= Z b

a

Z d c

f (s, t) dt ds.

Beispiele.

1. Wir betrachten f(x, y) := x ^y auf [0, 1] × [a, b], mit 0 < a < b. Die Vor- aussetzungen des Satzes von Fubini sind erf¨ ullt. Die rechte Seite ist leicht ausgerechnet:

Z b a

Z 1 0

x ^y dx dy = Z b

a

1 y + 1 x ^y+1

1 x=0

dy

= Z b

a

1 y + 1 dy

= ln

b + 1 a + 1

. Die linke Seite f¨ uhrt auf ein komplizierteres Integral:

Z 1 0

Z b a

x ^y dy dx = Z 1

0

Z b a

e ^y·lnx dy

dx

= Z 1

0

1 ln x e ^y·lnx

b y=a

dx

= Z 1

0

x ^b − x ^a ln x dx.

Das ist ein uneigentliches Integral, bei dem nicht sofort klar ist, wie man es ausrechnen sollte. Der Satz von Fubini liefert uns jedoch auf sehr bequeme Art einen Wert, er kann einem also gelegentlich viel Arbeit ersparen.

2. Die Funktion

f (x, y) := y ² − x ² (x ² + y ² ) ²

ist auf [0, 1] × [0, 1] \ {(0, 0)} definiert, aber im Nullpunkt nicht mehr stetig.

Der Satz von Fubini kann nicht angewandt werden, aber dennoch existieren die iterierten Integrale:

F¨ ur y > 0 ist (wie wir weiter oben schon gezeigt haben) Z 1

0

f (x, y) dx = x x ² + y ²

1

x=0 = 1 1 + y ² , und daher

Z 1 0

Z 1 0

f(x, y) dx dy = Z 1

0

1 1 + y ² dy

= arctan(y)

1 y=0

= arctan(1) = π 4 . Andererseits ist

Z 1 0

Z 1 0

f(x, y) dy dx = Z 1

0

−y x ² + y ²

1 y=0

dx

= Z 1

0

−1 1 + x ² dx

= − arctan(x)

1 x=0

= − arctan(1) = − π 4 .

Es ist also gef¨ ahrlich, bei mehrfachen Integralen einfach so drauf los zu inte- grieren!! Wir werden uns sp¨ ater damit besch¨ aftigen, unter welchen allgemei- neren Voraussetzungen der Satz von Fubini noch g¨ ultig bleibt.

Statt eines Doppelintegrals kann man auch mehrfache Integrale betrachten:

Ist f : [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × . . . × [a n , b n ] → R stetig, so existiert das iterierte Integral Z b

a

Z b

a

. . . Z b

a

f (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) dx _n . . . dx ₂ dx ₁ .

Mit dem Satz von Fubini und einem Induktionsbeweis kann man zeigen, daß der Wert des Integrals nicht von der Reihenfolge der Integrationen abh¨ angt. In der Praxis werden bei uns allerdings meist nur die F¨ alle n = 2 und n = 3 vorkommen.

Jetzt wollen wir noch eine etwas allgemeinere Situation betrachten:

Es seien ϕ, ψ : I := [a, b] → R zwei stetige Funktionen und f eine stetige Funktion auf

N := {(x, t) ∈ I × R | ϕ(x) ≤ t ≤ ψ(x)}.

x t

a b

pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p pp pp pp pp pp pp p pp pp pp p pp pp pp p pp pp pp p pp pp pp pp pp pp pp p pp pp pp pp pp pp pp p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p

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N

ϕ ψ

Leibnizsche Formel

Sei f auf [a, b] × [c, d] stetig und nach der ersten Variablen stetig differenzierbar.

Die Funktionen ϕ, ψ : [a, b] → R seien differenzierbar, mit Werten in [c, d].

Dann ist F (x) :=

Z ψ(x) ϕ(x)

f(x, t) dt auf [a, b] differenzierbar, und es gilt:

F ⁰ (x) = Z ψ(x)

ϕ(x)

∂f

∂x (x, t) dt + f(x, ψ(x))ψ ⁰ (x) − f (x, ϕ(x))ϕ ⁰ (x).

Beweis: Die Funktion g(x, τ ) :=

Z τ c

f(x, t) dt ist nach τ stetig differenzierbar, wie wir im Beweis zum Satz von Fubini schon gesehen haben. Nach dem Satz ¨ uber die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen ist g auch stetig differenzierbar nach x. Also ist

F e (x, u, v) :=

Z v u

f(x, t) dt = g(x, v) − g(x, u) nach allen drei Variablen stetig differenzierbar. Außerdem ist

F (x) = F e (x, ϕ(x), ψ(x)).

Die Anwendung der Kettenregel ergibt:

F ⁰ (x) = ∂ F e

∂x (x, ϕ(x), ψ(x)) + ∂ F e

∂u (x, ϕ(x), ψ(x))ϕ ⁰ (x) + ∂ F e

∂v (x, ϕ(x), ψ(x))ψ ⁰ (x)

= ∂ F e

∂x (x, ϕ(x), ψ(x)) − ∂g

∂u (x, ϕ(x))ϕ ⁰ (x) + ∂g

∂v (x, ψ(x))ψ ⁰ (x)

=

Z ψ(x) ϕ(x)

∂f

∂x (x, t) dt − f (x, ϕ(x))ϕ ⁰ (x) + f (x, ψ(x))ψ ⁰ (x).

Beispiel.

Sei F (x) :=

Z x

x

ln ² (x + t) dt, f¨ ur x > 0.

Die Funktion f (x, t) := ln ² (x +t) ist f¨ ur x > 0 und t zwischen x und x ² stetig und nach x stetig differenzierbar. Also ist F differenzierbar, und es gilt:

F ⁰ (x) = Z x

x

∂f

∂x (x, t) dt + f (x, x ² ) · 2x − f(x, x) · 1

= Z x

x

∂f

∂t (x, t) dt + ln ² (x + x ² ) · 2x − ln ² (2x)

= (1 + 2x) · ln ² (x + x ² ) − 2 ln ² (2x) .

Wir wollen nun noch uneigentliche Parameter-Integrale betrachten. Zur Erin- nerung: Ist g : [c, ∞) → R stetig, so nennt man das uneigentliche Integral R ∞

c g(t) dt = lim R→∞

R R

c g(t) dt konvergent, falls der Limes auf der rechten Seite existiert. Andernfalls heißt das uneigentliche Integral divergent.

Sei I ein offenes Intervall, J := [c, ∞) und f : I × J → R eine stetige Funktion.

F¨ ur jedes s ∈ I m¨ oge das Integral Z ∞

c

f (s, t) dt konvergieren.

Definition:

Wir sagen, daß Z ∞

c

f(s, t) dt auf [a, b] ⊂ I gleichm¨ aßig konvergiert, falls es eine stetige Funktion ϕ : [c, ∞) → R gibt, so daß gilt:

1. |f (s, t)| ≤ ϕ(t) f¨ ur alle (s, t) ∈ [a, b] × J.

2. Das uneigentliche Integral R ∞

c ϕ(t) dt konvergiert.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit von uneigentlichen Parameterintegralen

1. Wenn Z ∞

c

f (s, t) dt auf [a, b] gleichm¨ aßig konvergiert, so ist F (x) :=

Z ∞ c

f (x, t) dt dort stetig, und es gilt:

Z b a

F (x) dx = Z ∞

c

( Z b

a

f (x, t) dx) dt.

2. Ist f auf I × J stetig nach x partiell differenzierbar und konvergiert das Integral

Z ∞ c

∂f

∂x (x, t) dt auf [a, b] ⊂ I gleichm¨ aßig, so ist F (x) auf (a, b) differenzierbar, und es gilt:

F ⁰ (x) = Z ∞

c

∂f

∂x (x, t) dt.

Auf den Beweis m¨ ussen wir hier verzichten. Der Satz gilt ¨ ubrigens sinngem¨ aß auch f¨ ur alle anderen Typen von uneigentlichen Integralen.

Beispiel:

F¨ ur x > 0 wird durch

Γ(x) :=

Z ∞ 0

e ^−t t ^x−1 dt die sogenannte Gamma-Funktion definiert.

Hier ist f (x, t) = e ^−t t ^x−1 = e ^{(x−1) ln t−t} stetig auf (0, ∞) × (0, ∞), und f¨ ur jedes x > 0 konvergiert

Z ∞ 0

f(x, t) dt. Das sieht man folgendermaßen:

1. F¨ ur alle x ∈ R ist lim

t→∞ e ^−t t ^x−1 t ² = lim

t→∞ e ^−t t ^x+1 = 0, weil die Exponentialfunk- tion e ^t st¨ arker als jede Potenz von t w¨ achst. Es gibt also ein C > 0 und ein t ₀ > 0, so daß gilt:

|e ^−t t ^x−1 | ≤ C · t ⁻² f¨ ur t ≥ t 0 . Weil

Z ∞ 1

t ⁻² dt konvergiert und e ^−t t ^x−1 auf [1, t ₀ ] stetig ist, konvergiert auch das Integral

Z ∞ 1

e ^−t t ^x−1 dt.

2. Ist x ≥ 1, so ist e ^−t t ^x−1 auf [0, 1] stetig und das Integral bei t = 0 ¨ uberhaupt nicht uneigentlich.

3. Ist 0 < x < 1 und α := 1 − x, so ist auch 0 < α < 1 und das uneigentliche In- tegral

Z 1 0

t ^−α dt konvergiert. Da |e ^−t t ^x−1 | ≤ t ^−α f¨ ur 0 < t ≤ 1 ist, konvergiert auch das uneigentliche Integral R 1

0 e ^−t t ^x−1 dt.

Wir haben gleichzeitig gezeigt, daß das Integral ¨ uber jedem Intervall [a, b] mit 0 < a < b gleichm¨ aßig konvergiert. Also ist Γ(x) stetig auf (0, ∞).

Der Integrand f(x, t) = e ^−t t ^x−1 ist stetig nach x partiell differenzierbar, mit

∂f

∂x (x, t) = ln t · e ^−t · t ^x−1 = ln(t) · f (x, t),

und man kann leicht zeigen, daß auch das Integral hier¨ uber auf jedem Intervall [a, b] mit 0 < a < b gleichm¨ aßig konvergiert.

Also ist Γ(x) differenzierbar, mit Γ ⁰ (x) =

Z ∞ 0

ln(t)e ^−t t ^x−1 dt .

Induktiv kann man sogar zeigen, daß Γ beliebig oft differenzierbar ist.

Es ist

Γ(1) = Z ∞

0

e ^−t dt = (−e ^−t )

∞ 0 = 1, und es gilt die folgende Funktionalgleichung:

Γ(x + 1) = x · Γ(x).

Man zeigt das durch partielle Integration:

Γ(x + 1) = Z ∞

0

e ^−t t ^x dt

= −e ^−t t ^x

∞

0 +

Z ∞ 0

e ^−t xe ^x−1 dt

= x · Γ(x).

Nun folgt:

Γ(2) = 1, Γ(3) = 2 und allgemein Γ(n + 1) = n! f¨ ur n ≥ 2.

Die Gamma-Funktion interpoliert also die Fakult¨ aten. Und es gibt noch einen wei- teren interessanten Wert der Gammafunktion:

Γ( 1 2 ) =

Z ∞

−∞

e ^−x

dx.

Beweis: Wir benutzen folgende Aussage: Ist ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) surjektiv und differenzierbar, mit ϕ ⁰ (x) > 0 f¨ ur x > 0, so ist

Z ∞ 0

f (t) dt = Z ∞

0

f(ϕ(x))ϕ ⁰ (x) dx.

Das soll heißen: Konvergiert eines dieser beiden Integrale, so auch das andere, und die Grenzwerte sind gleich. Zum Beweis benutzt man die Substitutionsregel innerhalb endlicher Grenzen und geht dann auf beiden Seiten der Gleichung zu den uneigentlichen Integralen ¨ uber.

Mit t = ϕ(x) := x ² folgt nun:

Γ( 1 2 ) =

Z ∞ 0

e ^−t t ^−1/2 dt

= Z ∞

0

e ^−x

· (x ² ) ^−1/2 · 2x dx

= 2 · Z ∞

0

e ^−x

dx = Z ∞

−∞

e ^−x

dx.

Den genauen Wert (n¨ amlich √

π) werden wir sp¨ ater berechnen.

§ 2 Kurvenintegrale

Inhalt:

Wege und Kurven, Parametertransformationen, Bogenl¨ ange, kontravariante und kovariante Vektorfelder, totale Differentiale, das Linienelement, Kurvenintegrale erster und zweiter Art, der Hauptsatz ¨ uber Kurvenintegrale, konservative Vektor- felder und Potentiale.

In diesem Abschnitt wollen wir Funktionen und Vektorfelder ¨ uber Kurven inte- grieren. Die betrachteten Kurvenintegrale sind nicht nur in der Mathematik sehr wichtig, sie spielen auch eine bedeutende Rolle in der Physik.

Definition:

Einen stetigen und st¨ uckweise stetig differenzierbaren Weg α : [a, b] → R ⁿ nennen wir einen Integrationsweg. Ist α sogar ¨ uberall stetig differenzierbar und α ⁰ (t) 6= 0 f¨ ur alle t ∈ [a, b], so sprechen wir von einem glatten Integrationsweg.

Die Abbildung α heißt auch die Parametrisierung des Weges, und die Bildmenge

|α| := {α(t) : t ∈ [a, b]} nennt man die Spur von α.

Eine surjektive streng monoton wachsende (oder fallende) stetig differenzierbare Funktion ϕ : [c, d] → [a, b] nennt man eine Parametertransformation. Die Wege α und α ◦ ϕ besitzen dann die gleiche Spur. Ist α glatt, so ist auch α ◦ ϕ glatt.

Der Punkt x _A (α) := α(a) heißt der Anfangspunkt und x _E (α) := α(b) der End- punkt von α. Durch die Parametrisierung werden die Punkte auf der Spur von α angeordnet, es wird also ein Durchlaufungssinn oder eine Orientierung f¨ ur α festgelegt. Eine monoton wachsende Parametertransformation ϕ ¨ andert diesen Durchlaufungssinn nicht. Man nennt ϕ dann orientierungserhaltend. Ist ϕ dage- gen monoton fallend, so dreht sich der Durchlaufungssinn um, und man nennt ϕ orientierungs-umkehrend. Unter einer (orientierten) Kurve verstehen wir hier die Spur eines Weges, zusammen mit einem Durchlaufungssinn.

Sei jetzt I = [a, b] und α : I → R ⁿ ein Integrationsweg. Ist eine Zerlegung Z = {t ₀ , t ₁ , . . . , t _N } von [a, b] gegeben, so liefern die Verbindungsstrecken der Punkte α(t ₀ ), α(t ₁ ), . . . , α(t _N ) einen

” approximierenden Polygonzug“ der L¨ ange

L(Z, α) =

N

X

i=1

kα(t _i ) − α(t i−1 )k.

Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz gibt es zu jedem i ein ξ _i ∈ (t i−1 , t _i ) mit kα(t _i ) − α(t i−1 )k ≤ kα ⁰ (ξ _i )k · (t _i − t i−1 ). Deshalb ist folgendes Ergebnis nicht so ¨ uberraschend: Strebt die L¨ ange der Teilintervalle der Zerlegung gegen Null, so streben die L¨ angen der entsprechenden Polygonz¨ uge gegen die Zahl

L(α) :=

Z b a

kα ⁰ (t)k dt.

Diese Zahl nennt man die Bogenl¨ ange des Weges α. Ist ϕ : [c, d] → [a, b] eine Parametertransformation, so ist

L(α ◦ ϕ) = Z d

c

k(α ◦ ϕ) ⁰ (t)k dt

= ±

Z d c

kα ⁰ (ϕ(t))kϕ ⁰ (t) dt

= ±

Z ϕ(d) ϕ(c)

kα ⁰ (s)k ds

= L(α),

wobei das w¨ ahrend der Rechnung auftretende Vorzeichen davon abh¨ angt, ob ϕ orientierungserhaltend ist. Es f¨ allt am Schluß wieder weg, weil man bei einer orientierungs-umkehrenden Transformation die Integralgrenzen vertauschen muß.

Also ist die Bogenl¨ ange unabh¨ angig von der Parametrisierung, und man kann auch von der L¨ ange einer Kurve sprechen.

Beispiele.

1. Ist α(t) = a + t(b − a) die Parametrisierung der Verbindungsstrecke von a und b, mit t ∈ [0, 1], so ist

L(α) = Z 1

0

kb − ak dt = kb − ak.

2. Durch α(t) = (x ₀ +r cos t, y ₀ +r sin t) f¨ ur t ∈ [0, 2π] wird der Kreis um (x ₀ , y ₀ ) mit Radius r definiert. Es ist

L(α) = Z 2π

0

k(−r sin t, r cos t)k dt = Z 2π

0

r dt = 2πr.

3. Sei a > b > 0 und α(t) := (a cos t, b sin t) die Parametrisierung einer El- lipse mit den Halbachsen a und b. Dann ist α ⁰ (t) = (−a sin t, b cos t) und kα ⁰ (t)k = √

a ² sin ² t + b ² cos ² t. Also erh¨ alt man als L¨ ange des Ellipsenbogens

das Integral

L(α) = Z 2π

0

p a ² sin ² t + b ² cos ² t dt

= a Z 2π

0

r

sin ² t + b ²

a ² cos ² t dt

= a Z 2π

0

√

1 − k ² cos ² t dt, mit k := p

1 − b ² /a ² . Ein Integral dieses Typs nennt man ein Elliptisches In- tegral. Es ist nicht elementar l¨ osbar, man kann es nur numerisch auswerten.

Die Konstante k wurde eingef¨ uhrt, um ein sogenanntes

” elliptisches Integral zweiter Gattung in Legendrescher Normalform“ zu erhalten. Derartige Inte- grale werden in den Formelsammlungen tabelliert.

4. Sei f : [a, b] → R eine stetig differenzierbare Funktion. Dann wird durch α(t) := (t, f (t)) ein glatter Weg in der Ebene gegeben (es ist α ⁰ (t) = (1, f ⁰ (t))), dessen Spur der Graph von f ist. Man mache sich an diesem Bei- spiel die Unterschiede zwischen Funktion, Funktionsgraph, Weg und Spur eines Weges klar!! Es ist kα ⁰ (t)k = p

1 + f ⁰ (t) ² , also L(α) =

Z b a

p 1 + f ⁰ (t) ² dt.

Im 2. Semester haben wir gelernt, daß das Differential (also die totale Ableitung) einer Funktion f : R ⁿ → R in einem Punkt x ₀ eine Linearform (df ) _x

auf dem R ⁿ ist, gegeben durch

(df ) _x

(v) = ∇f (x ₀ ) • v.

Die Differentiale dx _i der Koordinatenfunktionen x _i bilden in jedem Punkt des R ⁿ eine Basis des Raumes L( R ⁿ , R ) aller Linearformen auf dem R ⁿ , und man kann schreiben:

(df) _x

= ∂f

∂x ₁ (x ₀ ) dx ₁ + · · · + ∂f

∂x _n (x ₀ ) dx _n . Dabei ist (dx _i )(v ₁ , . . . , v _n ) = v _i , f¨ ur i = 1, . . . , n.

In der (multi)linearen Algebra haben wir jedem Vektor a ∈ R ⁿ eine Linearform λ _a auf dem R ⁿ zugeordnet: Ist a = (a 1 , . . . , a n ), so ist

λ _a = a ₁ dx ₁ + · · · + a _n dx _n .

Wir nennen einen solchen Ausdruck eine Differentialform der Dimension 1. Die Physiker sprechen von einem

” kovarianten Vektor“. Obwohl der

” kontravariante

Vektor“ a und der kovariante Vektor λ _a durch die gleichen Komponenten a ₁ , . . . , a _n

beschrieben werden, muß man zwischen ihnen unterscheiden. Bei einem Wechsel

des Koordinatensystems transformieren sich die Komponenten unterschiedlich.

Wir wechseln jetzt von Vektoren zu Feldern. Sei G ⊂ R ⁿ ein beliebiges Gebiet.

F¨ ur den Mathematiker ist ein Vektorfeld auf G eine Abbildung F : G → R ⁿ . Der Physiker sieht dagegen ein Vektorfeld eher als eine Menge von Paaren (x, v), wobei die Ortskomponente x ∈ G jeweils den Angriffspunkt des Vektors und die zweite Komponente v ∈ R ⁿ Richtung und L¨ ange des Vektors beschreiben. Ist aber zu jedem Punkt x ∈ G genau so ein Paar (x, v) gegeben, so wird das Feld vollst¨ andig durch die Zuordnung F : x → v beschrieben. Deshalb nennen wir jede solche Abbildung F ein (kontravariantes) Vektorfeld.

Genauso kann man kovariante Vektorfelder oder 1-Formen auf G definieren: Jedem Punkt x ∈ G sei eine Differentialform

ω _x = a ₁ (x) dx ₁ + · · · + a _n (x) dx _n

zugeordnet. Die Abbildung ω : x 7→ ω x ∈ L( R ⁿ , R ) nennen wir eine 1-Form (oder ein kovariantes Feld ) auf G. Das Feld heißt stetig, differenzierbar etc., wenn alle Komponentenfunktionen a ₁ , . . . , a _n es sind.

Da man in eine Differentialform im Punkt x noch einen Vektor einsetzen kann, ist es sinnvoll, eine Differentialform auf einem Gebiet G als eine Funktion mit zwei Argumenten anzusehen:

ω : G × R ⁿ → R

ist gegeben durch ω(x, v) = ω _x (v). Die Abbildung ω ist linear im 2. Argument, und man nennt sie stetig, differenzierbar etc., falls sie stetig, differenzierbar etc.

vom ersten Argument abh¨ angt.

Offensichtlich entsprechen sich Vektorfelder und 1-Formen eineindeutig. Zu jedem Vektorfeld F = (F ₁ , . . . , F _n ) : G → R ⁿ geh¨ ort die 1-Form

ω _F = F ₁ dx ₁ + · · · + F _n dx _n : G × R ⁿ → R , mit

ω _F (x, v) := F (x) • v.

Umgekehrt erh¨ alt man aus jeder 1-Form ω ein Vektorfeld F = (F ₁ , . . . , F _n ) durch F _i (x) := ω(x, e _i ), f¨ ur i = 1, . . . , n.

Beispiel.

Ist f eine stetig differenzierbare Funktion auf G, so kann man dort das Gra-

dientenfeld ∇f bilden, ein stetiges Vektorfeld. Ihm entspricht die 1-Form df

mit (df )(x, v) = ∇f(x) • v. F¨ ur jedes x ∈ G ist dann df _x das (totale) Diffe-

rential von f im Punkte x. W¨ ahrend jedoch jede Linearform als Differential

in einem Punkt aufgefasst werden kann (ist λ : R ⁿ → R selbst schon eine

Linearform, so ist (dλ) _x = λ, unabh¨ angig vom Punkt x), so braucht eine beliebige 1-Form durchaus kein totales Differential zu sein.

Das elektrische Feld E = (E ₁ , E ₂ , E ₃ ) ist eigentlich ein kovariantes Feld der Form e = E ₁ dx ₁ + E ₂ dx ₂ + E ₃ dx ₃ . Allerdings merkt man das erst unter relativistischen Bedingungen. I.a. gibt es kein Potential f¨ ur E, d.h. e = ω _E ist kein totales Differential.

Ist α : [a, b] → R ⁿ ein stetig differenzierbarer Weg, so k¨ onnen wir die Bogenl¨ angen- funktion einf¨ uhren:

σ(t) := L(α| _[a,t] ) = Z t

a

kα ⁰ (τ)k dτ, f¨ ur a ≤ t ≤ b.

σ(t) ist die L¨ ange des Weges zwischen dem Parameter a und dem Parameter t.

Also ist σ(a) = 0 und σ(b) = L(α). Weiter gilt:

σ ⁰ (t) = kα ⁰ (t)k, also dσ = σ ⁰ (t) dt = kα ⁰ (t)k dt.

Ist α ein glatter Weg, so ist σ ⁰ (t) > 0, also σ streng monoton wachsend und damit eine Parameter-Transformation σ : [a, b] → [0, L(α)]. Benutzt man α e := α ◦ σ ⁻¹ als Parametrisierung, so sagt man, der Weg ist nach der Bogenl¨ ange parametri- siert. Aus der Kettenregel ergibt sich sofort, daß k α e ⁰ (s)k ≡ 1 ist. Die Geometrie von Wegen l¨ aßt sich besonders einfach beschreiben, wenn man alle Wege nach der Bogenl¨ ange parametrisiert. Leider ist das nur eine theoretische Option. Wie wir oben gesehen haben, l¨ ast sich schon der Ellipsenbogen nicht wirklich nach der Bo- genl¨ ange parametrisieren, denn dazu m¨ ußte man elliptische Integrale berechnen.

Das Differential dσ bezeichnet man als das Linienelement zu α.

Definition:

Ist B ⊂ R ⁿ offen, α : [a, b] → B ein stetig differenzierbarer Integrationsweg und f : B → R eine stetige Funktion, so nennt man

Z

α

f dσ :=

Z b a

f (α(t))kα ⁰ (t)k dt das Kurvenintegral (1. Art) von f ¨ uber α.

Man beachte, daß f nur auf der Spur des Weges definiert sein muß. Der Ausdruck

auf der linken Seite der Gleichung ist nur ein Symbol f¨ ur die rechte Seite (es wird

also nicht f(x) ¨ uber eine Variable σ integriert, sondern f (α(t)) · kα ⁰ (t)k ¨ uber die

Variable t). Anschaulich approximiert man das Integral durch Rechteck-Fl¨ achen,

die sich als Produkt aus der L¨ ange eines kleinen Wegst¨ uckes und einem zugeh¨ origen

Funktionswert von f ergeben.

Eigenschaften des Kurvenintegrals 1. Art

Sei α : [a, b] → B ⊂ R ⁿ ein Integrationsweg.

1.

Z

α

(c ₁ · f ₁ + c ₂ · f ₂ ) dσ = c ₁ · Z

α

f ₁ dσ + c ₂ · Z

α

f ₂ dσ, f¨ ur Funktionen f ₁ , f ₂ und Konstanten c ₁ , c ₂ .

2. Ist ϕ : [c, d] → [a, b] eine

” Parametertransformation“, so ist Z

α◦ϕ

f dσ = Z

α

f dσ.

3. Es gilt die folgende Absch¨ atzung:

| Z

α

f dσ| ≤ sup

|α|

|f| · L(α).

Beweis: 1) ist trivial.

2) beweist man genauso wie den entsprechenden Satz ¨ uber die Wegl¨ ange.

3) Die stetige Funktion f ◦ α nimmt auf [a, b] ein endliches Supremum an, also auch f auf |α| = α([a, b]), und daher ist

| Z

α

f dσ| =

Z b a

f(α(t))kα ⁰ (t)k dt

≤ Z b

a

|f(α(t))| · kα ⁰ (t)k dt

≤ sup

|α|

|f | · Z b

a

kα ⁰ (t)k dt = sup

|α|

|f | · L(α).

Beispiel.

Sei α(t) := (cos t, sin t) f¨ ur 0 ≤ t ≤ π die Parametrisierung der oberen H¨ alfte des Einheitskreises und f (x, y) := x + y. Dann ist

Z

α

f dσ = Z π

0

(cos t + sin t)k(− sin(t), cos(t))k dt

= Z π

0

(cos t + sin t) dt

= (sin t − cos t)

π

0 = −((−1) − 1) = 2.

In der Praxis ist ein anderes Kurvenintegral wichtiger. Dazu betrachten wir ein phy- sikalisches Problem: Ein Massenpunkt soll in einem Kraftfeld F l¨ angs eines glatten Weges α bewegt werden. Die Arbeit, die bei der Bewegung verrichtet wird, h¨ angt nur von derjenigen Komponente der Kraft ab, die in Richtung des Tangentialvek- tors an α zeigt. Diese Komponente ist an der Stelle α(t) durch das Skalarprodukt aus F(α(t)) und dem Tangenteneinheitsvektor T _α (t) = α ⁰ (t)/kα ⁰ (t)k gegeben. Die Gesamt-Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Massenpunkt entlang des ganzen Weges α bewegt wird, ergibt sich durch Integration ¨ uber F(α(t)) • T _α (t) dσ = F(α(t)) • α ⁰ (t) dt.

Definition:

Sei B ⊂ R ⁿ offen, α : [a, b] → B ein stetig differenzierbarer Integrationsweg und F : B → R ⁿ ein stetiges Vektorfeld. Dann nennt man

Z

α

F • dx :=

Z b a

F(α(t)) • α ⁰ (t) dt das Kurvenintegral (2. Art) von F ¨ uber α.

Das Kurvenintegral 1. Art ist

” orientierungsunabh¨ angig“. Ganz anders liegen die Dinge beim Kurvenintegral 2. Art. Wir benutzen folgende Schreibweise: Ist α ein Integrationsweg, so soll −α den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnen.

Eigenschaften des Kurvenintegrals 2. Art

1.

Z

α

(c ₁ · F ₁ + c ₂ · F ₂ ) • dx = c ₁ · Z

α

F ₁ • dx + c ₂ · Z

α

F ₂ • dx, f¨ ur Vektorfelder F ₁ , F ₂ und Konstanten c ₁ , c ₂ .

2. Ist ϕ : [c, d] → [a, b] eine Parametertransformation mit ϕ ⁰ (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ [c, d], so ist

Z

α◦ϕ

F • dx = Z

α

F • dx.

3. Es ist Z

−α

F • dx = − Z

α

F • dx.

4. Es gilt die folgende Absch¨ atzung:

Z

α

F • dx ≤ sup

|α|

kFk · L(α).

Beweis: 1) ist trivial.

2) + 3): Ist ϕ : [c, d] → [a, b] eine beliebige Parameter-Transformation, so ist (α ◦ ϕ) ⁰ (t) = α ⁰ (ϕ(t)) · ϕ ⁰ (t), also

Z

α◦ϕ

F • dx = Z d

c

F(α(ϕ(t))) • α ⁰ (ϕ(t))ϕ ⁰ (t) dt

=

Z ϕ(d) ϕ(c)

F(α(s)) • α ⁰ (s) ds

= sign(ϕ ⁰ ) · Z b

a

F(α(s)) • α ⁰ (s) ds = sign(ϕ ⁰ ) · Z

α

F • dx.

Den umgekehrt durchlaufenen Weg erh¨ alt man ¨ uber die Parametertransformation ϕ(t) = a + b − t mit ϕ ⁰ (t) = −1.

4) Zur Absch¨ atzung ben¨ otigt man die Schwarzsche Ungleichung:

Z

α

F • dx =

Z b a

F(α(t)) • α ⁰ (t) dt

≤ Z b

a

|F(α(t)) • α ⁰ (t)| dt

≤ Z b

a

kF(α(t))k · kα ⁰ (t)k dt

≤ sup

|α|

kFk · Z b

a

kα ⁰ (t)k dt

= sup

|α|

kFk · L(α).

Beispiele.

1. Sei n = 2, F(x, y) := (cy, 0), c > 0, und α(t) := (cos t, 1 + sin t) auf [0, 2π].

Dann ist Z

α

F • dx = Z 2π

0

F(α(t)) • α ⁰ (t) dt

= Z 2π

0

(c(1 + sin t), 0) • (− sin t, cos t) dt

= −c · Z 2π

0

(sin t + sin ² t) dt = −cπ.

Faßt man F als Str¨ omungsfeld auf, so mißt das Kurvenintegral ¨ uber einen Kreis die

” Zirkulation“ der Str¨ omung.

2. Sei n = 3, α(t) := (cos t, sin t, 0) (f¨ ur 0 ≤ t ≤ 2π ) und F(x, y, z) :=

−y

x ² + y ² , x x ² + y ² , 0

f¨ urx ² + y ² 6= 0.

Das Vektorfeld ist uns schon im ersten Paragraphen begegnet, als eines, das kein Gradientenfeld ist. Nun gilt:

Z

α

F • dx = Z 2π

0

F(α(t)) • α ⁰ (t) dt

= Z 2π

0

(− sin t, cos t, 0) • (− sin t, cos t, 0) dt

= Z 2π

0

(sin ² t + cos ² t) dt = 2π.

Setzen wir dagegen β(t) := (2 + cos t, sin t, 0), so ist Z

β

F • dx = Z 2π

0

F(β(t)) • β ⁰ (t) dt

= Z 2π

0

− sin t

5 + 4 cos t , 2 + cos t 5 + 4 cos t , 0

• (− sin t, cos t, 0) dt

= Z 2π

0

1 + 2 cos t 5 + 4 cos t dt

= 1

2 · Z 2π

0

1 − 3

5 + 4 cos t

dt

= π − 3 2 ·

Z 2π 0

dt 5 + 4 cos t . Die Funktion 1

5 + 4 cos t ist auf [0, 2π] positiv und symmetrisch zur Geraden t = π. Daher gilt mit der Substitution ϕ(x) = 2 arctan(x) und der Formel cos t = (1 − tan ² (t/2))/(1 + tan ² (t/2)) :

Z 2π 0

dt

5 + 4 cos t = 2 · Z π

0

dt 5 + 4 cos t

= 2 · Z ∞

0

1 5 + 4 · ^1−x _1+x

· 2 1 + x ² dx

= 4 · Z ∞

0

dx 9 + x ²

= 4

9 · Z ∞

0

dx 1 + (x/3) ²

= 12

9 · (arctan x 3 )

∞

0

= 12 9 · π

2 = 2

3 π.

Also ist Z

β

F • dx = 0.

Im ersten Fall haben wir ¨ uber eine geschlossene Kurve um die Polstellenmenge von F herum integriert, im zweiten Fall ¨ uber eine geschlossene Kurve, die ganz in der Menge U + liegt, innerhalb der F ein Gradientenfeld ist.

Hauptsatz ¨ uber Kurvenintegrale

Sei G ⊂ R ⁿ ein Gebiet (also eine offene zusammenh¨ angende Menge), und F ein stetiges Vektorfeld auf G. Dann sind die folgenden Aussagen ¨ uber F ¨ aquivalent:

1. F ist ein Gradientenfeld, d.h. es gibt eine stetig differenzierbare Funktion f auf G, so daß F = ∇f ist.

2. Sind p und q Punkte in G, so hat das Kurvenintegral Z

α

F • dx f¨ ur alle Integrationswege α : [a, b] → G mit α(a) = p und α(b) = q den gleichen Wert. (Das Integral ist wegunabh¨ angig ).

3. Ist α : [a, b] → G ein geschlossener Integrationsweg, so ist Z

α

F • dx = 0.

Insbesondere ist

Z

α

(∇f ) • dx = f(α(b)) − f (α(a)).

Beweis:

(1) = ⇒ (2) : Ist F = ∇f , so gilt:

Z

α

F • dx = Z b

a

F(α(t)) • α ⁰ (t) dt

= Z b

a

∇f(α(t)) • α ⁰ (t) dt

= Z b

a

d

dt (f ◦ α)(t) dt

= f(α(b)) − f (α(a))

= f(q) − f(p), und das h¨ angt nicht mehr von α ab.

Den Zusatz haben wir damit auch gleich bewiesen!

(2) = ⇒ (3) : Ist α : [a, b] → G ein geschlossener Weg und p := α(a) = α(b), so haben α und −α den gleichen Anfangs- und Endpunkt. Also ist

Z

α

F • dx = Z

−α

F • dx = − Z

α

F • dx,

und daher Z

α

F • dx = 0.

(3) = ⇒ (1) : Wir setzen voraus, daß das Integral ¨ uber jeden geschlossenen Weg verschwindet, und wir m¨ ussen eine Funktion f mit ∇f = F konstruieren. Dazu sei p ∈ G ein fest gew¨ ahlter Punkt. Ist x ∈ G ein beliebiger anderer Punkt, so gibt es einen stetigen Weg α, der p innerhalb von G mit x verbindet. Man kann diesen Weg sogar als Streckenzug, also als Integrationsweg w¨ ahlen.

Wir setzen f(x) :=

Z

α

F • dx. Offensichtlich h¨ angt diese Definition nicht von dem Weg α ab. Es bleibt zu zeigen, daß ∇f = F ist.

Sei x 0 ∈ G beliebig und e i der i-te Einheitsvektor. Sei α ein Weg zwischen p und x 0 , sowie γ _t ein Weg von p nach x _t := x ₀ + te _i . Zusammen mit der Verbindungsstrecke

%(s) := x ₀ + se _i , 0 ≤ s ≤ t, von x ₀ nach x _t erh¨ alt man f¨ ur jedes t ∈ [0, 1] einen geschlossenen Weg, ¨ uber den das Integral Null ergibt. Dann gilt:

f (x ₀ + te _i ) − f (x ₀ ) = Z

γ

F • dx − Z

α

F • dx

= Z

%

F • dx

= Z t

0

F(x ₀ + se _i ) • e _i ds.

s

s s s

p α

−γ _t x ₀

% x ₀ + e _i x _t

Setzen wir g(s) := F(x 0 + se i ) • e i = F i (x 0 + se i ), so ist f(x 0 + te i ) − f(x 0 ) =

Z t 0

g(s) ds,

und nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es ein c = c(t) ∈ [0, t], so daß gilt: f (x ₀ + te _i ) − f (x ₀ ) = g(c) · (t − 0) = F _i (x ₀ + ce _i ) · t, also

∂f

∂x _i (x ₀ ) = lim

t→0

f (x ₀ + te _i ) − f(x ₀ )

t = lim

t→0 F _i (x ₀ + c(t) · e _i ) = F _i (x ₀ ).

Damit ist alles gezeigt.

Definition:

Ist ∇f = F, so nennt man f ein Potential f¨ ur F.

Jetzt k¨ onnen wir das Beispiel F(x, y, z) :=

−y

x ² + y ² , x x ² + y ² , 0

interpretieren. Auf U ₊ (und genauso auf U − ) besitzt F ein Potential, und deshalb muß dort das Integral ¨ uber F und jeden geschlossenen Weg verschwinden.

Bes¨ aße F sogar auf seinem ganzen Definitionsbereich ein Potential, so m¨ ußte auch dort jedes Integral ¨ uber einen geschlossenen Weg verschwinden. Wir haben aber bereits einen Weg gefunden, auf den das nicht zutrifft. Also kann F kein globales Gradientenfeld sein.

Zum Schluß kehren wir zu unserer physikalischen Anwendung zur¨ uck.

Auf dem R ³ sei ein Kraftfeld F gegeben. Ein Massenpunkt der Masse m bewege sich in diesem Kraftfeld entlang eines Weges α : [a, b] → R ³ . Dann ist v(t) := α ⁰ (t) der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens zur Zeit t. Das Newtonsche Gesetz der Bewegung besagt:

F(α(t)) = m · v ⁰ (t) f¨ ur jeden Zeitpunkt t.

Wenn man das Teilchen entlang α von p := α(a) nach q := α(b) bewegt hat, so betr¨ agt die dabei geleistete Arbeit

Z

α

F • dx = Z b

a

F(α(t)) • α ⁰ (t) dt

= Z b

a

m · v ⁰ (t) • v(t) dt

= m

2 · Z b

a

d

dt [v(t) • v(t)] dt

= m

2 kv(t)k ²

b a

= m

2 ·

kv(b)k ² − kv(a)k ² . T (t) := m

2 ·kv(t)k ² ist die kinetische Energie des Teilchens zur Zeit t. Die geleistete Arbeit ist also gerade die ¨ Anderung der kinetischen Energie.

Man nennt das Kraftfeld F konservativ, wenn es ein Potential besitzt: F = −∇U.

In diesem Fall ist

Z

α

F • dx = −[U (α(b)) − U(α(a))],

also T (a) + U (α(a)) = T (b) + U (α(b)). Das bedeutet, daß die Gesamtenergie E(α(t)) := U (α(t)) + T (t) bei der Bewegung des Teilchens konstant bleibt. Das ist der Satz von der Erhaltung der Energie.

Zum Schluß noch eine Bemerkung zu den kovarianten Feldern:

Schreiben wir formal dx = (dx ₁ , . . . , dx _n ) und ist F = (F ₁ , . . . , F _n ) ein Vektorfeld, so ist – ebenfalls formal –

F • dx = F ₁ dx ₁ + · · · + F _n dx _n = ω _F . Deshalb k¨ onnen wir das Integral ¨ uber eine 1-Form ω _F durch

Z

α

ω _F :=

Z

α

F • dx

definieren. Ist speziell ω = df ein totales Differential, so ist Z

α

ω = f (α(b)) − f(α(a)).

Beispiel.

Ist F = (f, g) ein Vektorfeld auf einem Gebiet G ⊂ R ² und α = (α ₁ , α ₂ ) : [a, b] → G ein Integrationsweg, so ist

Z

α

(f dx + g dy) = Z b

a

α ⁰ ₁ (t)f(α(t)) + α ⁰ ₂ (t)g(α(t)) dt.

Diese Schreibweise wird gerade bei Integralen in der Ebene h¨ aufig verwendet.

§ 3 Das Riemann-Integral

Inhalt:

Quader und Partitionen, Jordansches Maß, Jordan-Nullmengen, Meßbarkeits-Kriterien, Obersummen und Untersummen, Riemannsches Integral, Integrationsregeln, Satz von Fubini, Mittelwertsatz der Integralrechnung.

In diesem Abschnitt lernen wir den Jordan-Inhalt von Mengen im R ⁿ kennen und erfahren, was Nullmengen sind und wie man das Volumen von Teilmengen des R ³ berechnet. Außerdem wird das Integral stark verallgemeinert, und es wird gezeigt, wie n-dimensionale Integrale auf 1-dimensionale zur¨ uckgef¨ uhrt werden k¨ onnen.

Unter einem (abgeschlossenen) Quader im R ⁿ versteht man eine Menge der Gestalt Q = [a ₁ , b ₁ ] × . . . × [a _n , b _n ].

Wir setzen a := (a ₁ , . . . , a _n ) und b := (b ₁ , . . . , b _n ) und schreiben:

Q = Q(a, b).

Dann ist v _n (Q) := (b ₁ − a ₁ ) · . . . · (b _n − a _n ) das n-dimensionale Volumen von Q.

Eine Partition (oder Zerlegung ) P _i des Intervalls [a _i , b _i ] ist eine Unterteilung a _i = t ⁽ⁱ⁾ ₀ < t ⁽ⁱ⁾ ₁ < . . . < t ⁽ⁱ⁾ _k

i

= b _i .

Ist f¨ ur jedes i eine solche Partition gegeben, so nennt man P = (P ₁ , . . . , P _n ) eine Partition des Quaders Q. Anschaulich verstehen wir darunter einfach die Menge aller Teilquader von Q, die durch die Unterteilung der Kanten [a _i , b _i ] entstehen.

W¨ ahlt man zu jedem i ein Teilintervall I ν ⁽ⁱ⁾

= [t ⁽ⁱ⁾ _ν

₋₁ , t ⁽ⁱ⁾ ν

], i = 1, . . . , n, so erh¨ alt man den Teilquader Q ν

ν

...ν

= I ν ⁽¹⁾

× I ν ⁽²⁾

× . . . × I ν ⁽³⁾

.

Q _1,3

Q _3,2 a ₂ = t ⁽²⁾ ₀

t ⁽²⁾ ₁ t ⁽²⁾ ₂ t ⁽²⁾ ₃ b ₂ = t ⁽²⁾ ₄

a ₁ = t ⁽¹⁾ ₀ t ⁽¹⁾ ₁ t ⁽¹⁾ ₂ t ⁽¹⁾ ₃ = b ₁

Nun wollen wir daran gehen, m¨ oglichst vielen Mengen ein Maß zuzuordnen:

Sei X ⊂ R ⁿ eine beschr¨ ankte Menge. Dann gibt es einen abgeschlossenen Quader Q ₀ , in dem X enthalten ist, und wir k¨ onnen Partitionen P von Q ₀ betrachten.

Die Menge aller Teilquader Q von P mit Q ∩ X 6= ∅ ist eine endliche Menge von Quadern, in deren Vereinigung X enthalten ist. Wir nennen so etwas eine Quader¨ uberdeckung von X.

Wir setzen jetzt v ∗ (X, P ) := X

Q⊂X

v _n (Q) und

v ^∗ (X, P ) := X

Q∩X6=∅

v n (Q).

Definition:

v ∗ (X) := sup

P

v ∗ (X, P ) heißt inneres Maß von X, v ^∗ (X) := inf

P v ^∗ (X, P ) heißt ¨ außeres Maß von X.

Die Menge X heißt (Jordan-)meßbar, falls v ∗ (X) = v ^∗ (X) ist. Der gemeinsame Wert heißt das n-dimensionale Jordan-Maß oder der Inhalt von X und wird mit v _n (X) bezeichnet.

Bemerkung. Nur beschr¨ ankte Mengen k¨ onnen Jordan-meßbar sein. Man k¨ onnte auf die Idee kommen, daß Meßbarkeit und Maß von dem zu Anfang gew¨ ahlten Quader Q ₀ abh¨ angen. Es l¨ aßt sich aber leicht zeigen, daß das nicht der Fall ist.

Man kann z.B. den kleinsten Quader benutzen, in dem X enthalten ist.

Der gegebene Meßbarkeitsbegriff ist zwar recht anschaulich, aber man kann schlecht damit rechnen. Wir wollen nun eine etwas handlichere Formulierung suchen:

Unter einer Quadersumme verstehen wir eine endliche Vereinigung von abgeschlos-

senen Quadern. Jede Quadersumme kann so in Teilquader zerlegt werden, daß je

zwei verschiedene Teilquader h¨ ochstens Randpunkte gemeinsam haben.

Ist eine Quadersumme S in dieser Art in Teilquader zerlegt, so gewinnt man das Maß v _n (S) als Summe der Maße aller Teilquader. Auch hier k¨ onnte man argw¨ ohnen, daß das Maß von der Zerlegung abh¨ angt. Das ist aber nicht der Fall, wie man leicht durch ¨ Ubergang von zwei verschiedenen Zerlegungen zu einer gemeinsamen Verfeinerung sehen kann. Nun gilt:

1. Meßbarkeits-Kriterium

Die Menge M ist genau dann Jordan-meßbar, wenn gilt:

Zu jedem ε > 0 gibt es Quadersummen S, T mit S ⊂ M ⊂ T und v n (T ) − v n (S) < ε.

Der Beweis ergibt sich aus einer genauen Analyse aller benutzten Begriffe.

Definition:

Eine Teilmenge Z ⊂ R ⁿ heißt eine (Jordan-)Nullmenge, wenn sie meßbar und v _n (Z ) = 0 ist.

Aus dem 1. Meßbarkeitskriterium folgt sofort:

Satz

Eine Teilmenge Z ⊂ R ⁿ ist genau dann eine (Jordan-)Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 endlich viele abgeschlossene Quader Q ₁ , . . . , Q _m gibt, so daß gilt:

1. Z ⊂ Q ₁ ∪ . . . ∪ Q _m .

2. v _n (Q ₁ ) + · · · + v _n (Q _m ) < ε.

Beispiele.

1. Da eine Nullmenge meßbar ist, folgt sofort: Eine unbeschr¨ ankte Menge kann keine Jordan-Nullmenge sein.

2. Ist Q = Q(a, b) ein Quader im R ⁿ und a _k = b _k f¨ ur ein k, so ist v _n (Q) = 0 und damit Q eine Nullmenge. Man spricht in diesem Fall auch von einem

” entarteten“ Quader.

Allgemeiner ist jede beschr¨ ankte Menge, die in einer (affinen) Hyperebene des R ⁿ enthalten ist, eine n-dimensionale Nullmenge. Sie kann jedoch in einem geeigneten niederdimensionalen Raum durchaus positives Volumen haben.

3. Ist Z = {x ₁ , . . . , x _m } eine endliche Menge im R ⁿ , so ist Z eine Nullmenge.

Man sieht das so: Ist ε > 0 vorgegeben, so w¨ ahle man einfach W¨ urfel mit einer Seitenl¨ ange < p

ε/m um die x _i . Diese W¨ urfel ¨ uberdecken Z und haben ein Gesamtvolumen < ε.

4. Endliche Vereinigungen von Nullmengen sind wieder Nullmengen.

5. Ist Q ⊂ R ⁿ⁻¹ ein Quader und f : Q → R stetig differenzierbar, so ist der Graph G _f = {(x, t) ∈ Q × R : t = f (x)} eine Jordan-Nullmenge im R ⁿ . Zum Beweis sei an den verallgemeinerten Mittelwertsatz erinnert: Ist C :=

sup _Q k∇f (x)k, so ist

kf (b) − f(a)k ≤ C · kb − ak, f¨ ur alle a, b ∈ Q.

Wir brauchen nur diese Folgerung aus der stetigen Differenzierbarkeit, die Funktion f heißt dann Lipschitz-stetig. Ist ε > 0 vorgegeben, so kann man eine Partition von Q finden, so daß f¨ ur jeden Teilquader P dieser Partition gilt: kb − ak < ε/(C ·v _n−1 (Q)) f¨ ur a, b ∈ P . Dann gibt es ein abgeschlossenes Intervall I der L¨ ange ≤ δ := ε/v n−1 (Q), so daß G _f ∩ (P × R ) ⊂ P × I ist.

Weil v _n (P × I) ≤ v n−1 (P ) · δ und P

P v n−1 (P ) = v n−1 (Q) ist, folgt: G _f ist in einer endlichen Vereinigung von Quadern mit einem Gesamtvolumen

≤ v n−1 (Q) · δ = ε enthalten.

6. Die Menge {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 und x rational } ist keine Nullmenge in R , obwohl sie nur abz¨ ahlbar ist. Den direkten Beweis m¨ oge sich der interessierte Leser selbst ¨ uberlegen. Wir kommen auf dieses Beispiel sp¨ ater zur¨ uck.

7. Teilmengen von Nullmengen sind wieder Nullmengen.

Mit etwas technischem Aufwand ergibt sich:

2. Meßbarkeitskriterium

1. Eine Menge M ⊂ R ⁿ ist genau dann Jordan-meßbar, wenn M beschr¨ ankt und ∂M eine Nullmenge ist.

2. Ist M Jordan-meßbar, so sind auch

◦

M und M meßbar, und es ist v _n (M ) = v _n (

◦

M ) = v _n (M ).

Meßbarkeit von Durchschnitt und Vereinigung

Sind A, B Jordan-meßbare Mengen im R ⁿ , so sind auch A ∩ B, A ∪ B und A \ B Jordan-meßbar. Insbesondere gilt:

v _n (A ∪ B) = v _n (A) + v _n (B) − v _n (A ∩ B).

Auch der folgende Satz ist anschaulich klar, auf einen genauen Beweis verzichten wir:

Meßbarkeit von Produktmengen

Ist A Jordan-meßbar im R ⁿ und B Jordan-meßbar im R ^m , so ist A × B Jordan- meßbar im R ^n+m , und es gilt:

v _n+m (A × B ) = v _n (A) · v _m (B).

Sei jetzt Q ⊂ R ⁿ ein Quader und f : Q → R eine beschr¨ ankte Funktion.

Ist P eine Partition von Q, so soll T ∈ P bedeuten, daß T einer der durch P bestimmten Teilquader von Q ist. Dann setzen wir

S _u (f, P ) := X

T ∈P

(inf T f(x)) · v _n (T ) und S o (f, P ) := X

T ∈P

sup

T

f (x) · v n (T ).

S _u (f, P ) heißt Untersumme von f zur Partition P , und S _o (f, P ) heißt Obersumme von f zur Partition P . Genau solche Summen haben wir auch beim 1-dimensionalen Integral ¨ uber stetige Funktionen betrachtet.

Definition:

Eine beschr¨ ankte Funktion f : Q → R heißt (im Riemannschen Sinne) integrier- bar, wenn gilt:

sup{S u (f, P ) : P Partition von Q} = inf{S o (f, P ) : P Partition von Q}.

Den gemeinsamen Wert nennen wir das (Riemannsche) Integral von f ¨ uber Q, und wir benutzen daf¨ ur das Symbol

Z

Q

f (x) dV _n .

Beispiel.

Sei f (x) ≡ c auf Q eine konstante Funktion. Dann ist inf _T f (x) = sup _T f(x) = c f¨ ur alle Teilquader T von Q.

F¨ ur eine Partition P von Q ist also S u (f, P ) = X

T ∈P

c · v n (T ) = c · v n (Q) und S o (f, P ) = X

T ∈P

c · v n (T ) = c · v n (Q) Damit ist f uber ¨ Q integrierbar und

Z

Q

f(x) dV _n = c · v _n (Q).

Das ist das Ergebnis, das wir erwarten. Das Integral ist der Inhalt des Quaders im R ⁿ⁺¹ , der ¨ uber Q liegt und die H¨ ohe c hat.

H¨ aufig hat man es mit Funktionen zu tun, deren Definitionsbereich kein Quader ist. Dann geht man folgendermaßen vor:

Sei f : R ⁿ → R eine (beliebige) Funktion. Unter dem Tr¨ ager von f versteht man die Menge

Tr(f) := {x ∈ R ⁿ : f (x) 6= 0}.

Ist Tr(f ) eine beschr¨ ankte (und damit kompakte) Menge, so sagt man: f ist eine

Funktion mit kompaktem Tr¨ ager.

Beispiel.

f(x, y) := max(0, 1 − x ² − y ² ) ist eine Funktion mit kompaktem Tr¨ ager, der Tr¨ ager ist der Einheitskreis.

Sei f : R ⁿ → R eine Funktion mit kompaktem Tr¨ ager, Q ein Quader mit Tr(f ) ⊂ Q.

Ist f | _Q integrierbar, so heißt auch f selbst integrierbar, und man setzt Z

f(x) dV _n :=

Z

Q

(f | _Q )(x) dV _n .

Nun sei M ⊂ R ⁿ eine (beschr¨ ankte) Jordan-meßbare Teilmenge. Eine Funktion f : M → R heißt integrierbar, falls die trivial fortgesetzte Funktion

f(x) := b

f (x) falls x ∈ M 0 sonst integrierbar ist. Man setzt dann

Z

M

f(x) dV _n :=

Z

f(x) b dV _n .

Integrierbarkeits-Kriterium

Sei Q ein (abgeschlossener) Quader, f : Q → R eine Funktion, die außerhalb einer Jordan-Nullmenge stetig ist. Dann ist f (¨ uber Q) integrierbar.

Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung der Aussage, daß eine st¨ uckweise stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall integrierbar ist. Allerdings ist die Aussage hier etwas allgemeiner: Eine Teilmenge eines abgeschlossenen Intervalls in R ist genau dann eine Nullmenge, wenn sie h¨ ochstens endlich viele H¨ aufungs- punkte hat. Sie darf demnach aber eine unendliche Menge sein. Unendlich viele Unstetigkeitsstellen hatten wir bisher nicht zugelassen.

Den Beweis der obigen Aussage k¨ onnen wir hier nicht erbringen.

Folgerung

Ist M ⊂ R ⁿ Jordan-meßbar und f : M → R stetig, so ist f ¨ uber M integrierbar.

Beweis: M ist beschr¨ ankt, liegt also in einem abgeschlossenen Quader Q. Der Rand ∂M ⊂ Q ist eine Nullmenge, und die triviale Fortsetzung f b ist auf den Mengen

◦

M und Q \ M stetig, also ¨ uber Q integrierbar. Damit ist auch f ¨ uber M

integrierbar.

Integrationsregeln

Sei M ⊂ R ⁿ Jordan-meßbar.

1. Sind f und g ¨ uber M integrierbar, so auch c 1 · f + c 2 · g, und es gilt:

Z

M

(c ₁ · f(x) + c ₂ · g(x)) dV _n = c ₁ · Z

M

f (x) dV _n + c ₂ · Z

M

g(x) dV _n . 2. Sind f und g ¨ uber M integrierbar und ist f ≤ g auf M , so ist

Z

M

f (x) dV _n ≤ Z

M

g(x) dV _n . 3. Mit f ist auch |f| ¨ uber M integrierbar, und es gilt:

Z

M

f (x) dV _n ≤

Z

M

|f (x)| dV _n ≤ sup

M

|f | · v _n (M ).

4. Sei f auf M integrierbar und N ⊂ M Jordan-meßbar. Dann ist f auch

¨ uber N integrierbar.

Ist N eine Jordan-Nullmenge, so ist Z

N

f(x) dV _n = 0.

5. Sei M = A ∪ B, mit

◦

A ∩

◦

B = ∅ . Sind beide Mengen Jordan-meßbar, so ist f : M → R genau dann integrierbar, wenn f| _A und f | _B integrierbar sind, und dann ist

Z

M

f (x) dV _n = Z

A

f(x) dV _n + Z

B

f(x) dV _n .

Die meisten Beweise sind einfach. Hier sind nur ein paar Bemerkungen zu (3): F¨ ur eine beliebige Funktion f setzen wir f ⁺ := max(f, 0) und f ⁻ := max(−f, 0). Dann sind f ⁺ , f ⁻ ≥ 0, und es ist f = f ⁺ − f ⁻ und |f | = f ⁺ + f ⁻ . Außerdem gilt:

S _u (f, P ) ≤ S _u (f ⁺ , P ) ≤ S _o (f ⁺ , P ) ≤ S _o (f, P ).

Daraus folgt, daß mit f auch f ⁺ integrierbar ist. Die Anwendung auf −f ergibt die Integrierbarkeit von f ⁻ und damit schließlich auch die von |f |.

Nun kommen wir zu dem Satz, der die praktische Berechnung von Integralen erst

m¨ oglich macht: