In diesem Fall gilt |xk+1−xk| ≤c|xk −xk−1| mit einer Konstanten c <1

(1)

Cauchy-Kriterium f¨ur Vektoren

Eine Folge von Vektoren xk ∈Rⁿ konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist, d.h. wenn f¨ur alle ε >0 ein kε existiert mit

|x_`−xk|< ε f¨ur`,k >kε.

Dies ist gleichbedeutend damit, dass jede der n Komponenten der Folge x1,x2, . . . konvergiert.

Aufgrund der ¨Aquivalenz von Normen im Rⁿ kann anstelle der Euklidischen Norm auch jede andere Vektornorm verwendet werden.

Eine oft einfach zu verifizierende hinreichende Bedingung f¨ur das Cauchy-Kriterium ist geometrische Konvergenz. In diesem Fall gilt

|x_k+1−x_k| ≤c|x_k −xk−1| mit einer Konstanten c <1.

1 / 3

(2)

Beweis

Geometrische Konvergenz =⇒ Cauchy-Kriterium

Dreiecksungleichung, Absch¨atzung f¨ur benachbarte Folgenelemente

=⇒

|x_`−x_k| = |x_`−x`−1 + x`−1−x`−2 + · · · + x_k+1−x_k|

≤ |x_`−x`−1|+|x_`−1−x`−2|+· · ·+|x_k+1−x_k|

≤ cλ^`−1+cλ^`−2+· · ·+cλ^k

= cλ^k(1 +λ+λ²+· · ·)≤ c

1−λλ^k =c⁰λ^k < ε f¨ur ` >k >k_ε= ln(ε/c⁰)/lnλ

2 / 3

(3)

Beispiel

bin¨arer Baum:

neue Segmente jeweils um den Faktor λ (0 < λ < 1) verk¨urzt und in einem Winkel von ϑ an- gef¨ugt

geometrische Konvergenz sukzes- siver Verzweigungspunkte x_k:

|x_k₊₁−x_k|=cλ^k Cauchy-Folge, denn

|x_`−xk| ≤ |x_`−x`−1|+|x_`−1−x`−2|+· · ·+|x_k+1−xk|

≤ cλ^`−1+cλ^`−2+· · ·+cλ^k

= cλ^k(1 +λ+λ²+· · ·)≤ c

1−λλ^k =c⁰λ^k < ε f¨ur ` >k >kε= ln(ε/c⁰)/lnλ

3 / 3

In diesem Fall gilt |xk+1−xk| ≤c|xk −xk−1| mit einer Konstanten c &lt;1