Flächenberechnungen mit Integralen – Lösung

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Flächenberechnungen mit Integralen – Lösung

1. Berechne den Flächeninhalt, den die Funktion mit der -Achse einschließt!

a) = + 3 − 3, also Nullstellen: = 3, = −3

− 9

= 2 ∙ − 9 = 2 ∙ − 9

= −36 =

b) = − 3 + 2 = ∙ − 1 − 2, also Nullstellen: = 0, = 1, = 2 = − 3+ 2 + − 3+ 2 =

= − +

+ − + = + = , "

2. Berechne den Flächeninhalt zwischen Graph und -Achse über dem angegebenen Intervall!

a) Nullstellen auf dem Intervall: e-Fkt hat keine, also nur bei: = 0 = #2 ∙ $ ^%&' + #2 ∙ $ ^%&' =

= ($^%& ) + ($^%& ) =_*+−_*,−_*++ 1 =- − _.^-

b) = 0 setzen: √ − = 0 √ #1 − √ ' = 0, also Nullstellen: = 0, = 1 = #√ − ' + #√ − ' =

= ^,0−

+ ^,0− = ^- + ^√-1

3. Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird.

a) Funktionen gleichsetzen um Schnittpunkte zu bestimmen:

− 2 = 4 − 5 − 6 + 5 = 0 Schnittpunkte: = 1, = 5 = ⁰ − 6 + 5 = − 3+ 5

0 = − ⁰ = ^4"

b) Funktionen gleichsetzen um Schnittpunkte zu bestimmen:

− 1 = + 2 − 1 − − 2 = 0 − − 2 = 0 Schnittpunkte: = 0, = 2, = −1

= − − 2 + − − 2 = = − − + − −

= ⁰ + ⁵ = ⁶ _-4

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4. Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der beiden Funktionen über dem angegebenen Intervall!

a) Untersuchen auf Schnittpunkte:

2 − 0,5 = 2 − 4 0,5+ 2 − 6 = 0 Schnittpunkte: = −6, = 2 = 0,5 + 2 − 6 + 0,5 + 2 − 6 =

= ₇ + − 6 + ₇ + − 6

= − ₇ + ⁵ = ⁶

b) Untersuchen auf Schnittpunkte:

ln − 1 = $ − Schnittpunkte: = $ = : ln + − 1 − $^* : =

= ln − + − − $^* = ln + − 2 − $^* = ^*&; = ^.4₄

c) Untersuchen auf Schnittpunkte:

− + + 1 = + 1

− = 0 Schnittpunkte: _, = 0, = 6 = <₇ − = + <⁷ − = =

= ₇ −

7

+ ₇ −

7 = |−189| + |−27| =4-

5. Bestimmen der Tangentengleichung: A′ = C = A′4 = 2 D = C + E, Einsetzen von m und P: 4 = 2 ∙ 4 + E E = −4 Tangentengleichung: D_F = 2 − 4

Skizze:

= A − 2 − 4 = ⁷ − 4 = ¹