Das Fermat’sche Prinzip
Die Ausbreitung des Lichtes erfolgt zwischen zwei Punkten A und B eines Mediums auf jenem Wege, für den die benötigte Zeit ein
Minimum ist:
v 0 t dl
B
A
= δ
=
δ ∫
Wegen n = c/v erhält man mit ds = n.dl als optische Weglänge:
0 ds ndl
B
A B
A
= δ
=
δ ∫ ∫
Mit Hilfe des Fermat’schen Prinzips lässt sich z.B. das Snellius’sche Brechungsgesetz herleiten:
β α
x2
y2 y1
x
s2
s1
P A
B
Der Lichtstrahl soll vom Punkt A zum Punkt B. Die Lage des Punktes P wird solange variiert, bis die Zeit zum Durchlaufen der Strecke A-P-B ein Minimum wird.
Die Gesamtzeit ergibt sich zu
(
2)
2 222 2
1 2 1 2
2 1
1 x x y
c y 1 c x
1 c
s c
t = s + = + + − +
Die Zeit soll minimal werden, d.h.
(
2)
2 22 1 1 22 22
2 2
1 2
1
c s
x x
s c
x y
x x
c
x x
y x
c 0 x dx
dt
= − −+
−
− −
= +
=
Mit sinα = x/s1 und sinβ=(x2-x)/s2 folgt das
Snellius’sche Brechungsgesetz
21 1
2 2
1 2
1
n
n n c
c sin
sin = = =
α α
Ändert sich die Brechzahl kontinuierlich, wie z.B. in erwärmten Luftschichten, so findet eine Lichtkrümmung statt.
Bei sehr flachem Einfall an einem optisch dünneren Medium (erwärmte Luft) quasi eine Totalreflexion.
no- ∆n
0 0
0
0 T
) T 1 n ( )
1 n (
n ∆
− ρ =
ρ
− ∆
=
∆
no
