Quaternionen und Oktaven

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Quaternionen und Oktaven

Handout zum Vortrag zur Computeralgebra, 26.11.2010 Christian Staerk

§ 1 Definitionen und einige Eigenschaften

(1.1) Definition (Quaternionen)

Die Menge derQuaternionenist die folgende komplexe Matrixgruppe H:={ ^{a b}

−b a

!

; a,b∈_C} ∼= {(a,b); a,b∈_C}=_C×_C.

(1.2) Lemma

a) H ist ein reeller Untervektorraum der Matrixalgebra C²^×², jedoch kein komplexer Untervektor- raum.

b) Hist eine reelle Unteralgebra von C²^×² mit folgender (von der Matrixmultiplikation induzierten) Multiplikation aufH∼=_C×_C:

(a,b)(c,d) = (ac−bd,ad+bc). (1) Im Folgenden identifiziereHmitC×_Cund dieser Multiplikation.

c) Die Multiplikation (1) aufHist assoziativ, jedoch nicht kommutativ.

(1.3) Definition

Sei(a,b)∈_C×_C=H. Dann heißt(a,b):= (a,−b)dieKonjungiertezu (a,b).

Weiter sei |(a,b)|:= q

|a|²+|b|²der gewöhnliche euklidische Betrag.

(1.4) Lemma

Für x,y∈_Hunds∈_Rgilt:

a) x+y= x¯+y¯ undsx=sx¯ b) xx¯ =|x|²

c) xy=y¯x¯

d) |xy|= |x| |y|

(1.5) Definition (Quaternionen2)

H := {x = x0+x₁i+x2j+x3k; x0,x₁,x2,x3 ∈ _R}heißt die Menge derQuaternionen. Dabei sei 1,i,j,k eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarproduktes des R⁴. AufHdefiniere die Addition komponentenweise und die Multiplikation nach den berühmtenHamilton-Regelnauf den Basiselemen- ten:

i² =j² =k² =−1

ij=−ji=k; ki= −ik =j; jk=−kj=i, (2)

sowie 1r =r1 für r∈ {1,i,j,k}.

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(1.6) Definition (Oktaven)

O :={(a,b); a,b∈ _H}heißt die Menge derOktaven. Auf dieser Menge definiere die Addition werte- weise und die Multiplikation für(a,b),(c,d)∈_Owie folgt

(a,b)(c,d):= (ac−db,^¯ da+bc¯) (3)

(1.7) Lemma

a) Owird mit der Multiplikation (3) zu einerR-Algebra.

b) Die Multiplikation aufOist weder kommutativ noch assoziativ.

Definiere Konjugation aufOanalog zu (1.3).

(1.9) Lemma

Analog zu (1.4) mit Konjugation auf O.

(1.10) Satz (Artin)

Jede Unteralgebra von O, die nur von höchstens zwei Elementen erzeugt wird, ist assoziativ. Man

nenntOauch einealternative Algebra.

(1.11) Definition (Oktaven2)

O:={x =x0+x₁e₁+x2e2+x3e3+x₄e₄+x5e5+x6e6+x7e7; x0,x₁, ..,x7∈_R}

heißt die Menge der Oktaven. Dabei sei (1,e₁,e2,e3,e₄,e5,e6,e7) eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarproduktes des R⁸. AufO definiere die Addition komponentenweise und die Multipli- kation nach folgenden Regeln auf den Basiselementen:

e²_n=−1 (4)

e_ne_n+1= e_n+3 =−e_n+1e_n (5) e_n+1e_n+3= e_n =−e_n+3e_n+1 (6) en+3en= e_n+1 =−enen+3 (7) wobei die Indizes modulo 7 mit dem Vertretersystem {1, 2, .., 7} gelesen werden müssen. Wie üblich sei 1r=r1 fürr∈ {1,e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆,e₇}.

§ 2 Der Satz von Hurwitz

Sei Aeine Algebra überR.

a) AheißtDivisionsalgebra, wenn jede Gleichung vom Typux =voderxu=vmitu,v∈ A,u6=0 eine eindeutig bestimmte Lösungx∈ Abesitzt.

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b) Aheißtnormierte Algebra, wenn sie mit einer Norm|| : A →_R versehen ist, die von einem Skalar- produkt (−| −) : A×A → _R induziert wird, das heißt|a| = ^p(a|a) für a ∈ A. Weiter soll die Norm multiplikativ sein, das heißt es soll|xy|=|x| |y|für alle x,y∈ Agelten.

c) AheißtSchiefkörper, falls Aeine assoziative Divisionsalgebra ist.

(2.2) Satz

Jede normierte Algebra ist eine Divisionsalgebra.

(2.3) Lemma

a) Hist eine Divisionsalgebra, und somit ein Schiefkörper.

b) Oist eine Divisionsalgebra.

Sei im Folgenden A eine normierte Algebra über R mit Eins. Statt mit der Norm arbeiten wir hier lieber mit der von ihr induziertenanisotropen quadratischen Form N : A7→_R, N(x):=|x|², dieN(xy) = N(x)N(y)_,N(λx) =λ²N(x)_und N(x) =₀⇔x =_{0 für}x,y∈ A, λ∈_Rerfüllt. Dann ist

(x|y) = ^N(x+y)−N(x)−N(y)

2 . (8)

Wir werden immer wieder benutzen, dass(x|t) = (y|t)für allet ∈ Aauch x=yimpliziert.

(2.4) Lemma

Es gilt für allex,y,z,u∈ A:

(xy|xz) =N(x) (y|z)und (xz|yz) = (x|y)N(z) ₍₉₎ (xy|uz) =2(x|u) (y|z)−(xz|uy) (10) Für x∈ Aführen wir die formale Konjugation ¯x:=2(x|1)−xein. Sie hat folgende Eigenschaften:

(2.5) Lemma

Es gilt für allex,y,z∈ A:

(xy|z) = (y|xz¯ ) und (xy|z) = (x|zy¯) (11)

x¯¯ =x (12)

xy=y¯x¯ (13)

x+y=x¯+y¯ (14)

(2.6) Lemma

Sei H eine echte Unteralgebra von A mit Eins, i ∈ A sei ein Einheitsvektor (d.h. N(i) = 1), der orthogonal auf H stehe. Dann ist H+iH := {a+ib; a,b ∈ H} das sogenannte „Dickson-Double“

wieder eine Unteralgebra von Aund es gilt für a,b,c,d∈ H:

(a+ib|c+id) = (a|c) + (b|d) (15)

a+ib=a¯−ib (16)

ib=bi^¯ und ib¯ =bi (17)

(a+ib)(c+id) = (ac−db¯) +i(cb+ad¯ ) (18)

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Wir bemerken, dass für ein solchesi∈ Aund ein beliebigesh∈ H:(i|h) =0. Somit ist nach Definition der Konjugation ¯i=−i.

(2.7) Lemma

Sei Aeine normierte Algebra überRmit Eins,Yeine Unteralgebra von A,i∈ Aorthogonal zuYmit N(i) =1 und Z:=Y+iY. Dann:

a) Zist eine normierte Unteralgebra von A⇔Yist eine assoziative, normierte Unteralgebra von A.

b) Z ist eine assoziative normierte Unteralgebra von A ⇔ Y ist eine kommutative, assoziative normierte Unteralgebra vonA.

c) Z ist eine kommutative, assoziative normierte Unteralgebra von A ⇔ Y ist eine kommutative, assoziative normierte Unteralgebra von Amit trivialer Konjugation.

(2.8) Satz (Hurwitz)

R,C,H und O sind die einzigen normierten Algebren mit Eins über den reellen Zahlen (bis auf Iso-

morphie).

§ 3 Vier euklidische Bereiche

(3.1) Lemma

Sinda,b∈_Zmitb6=0, so gibt es q,r ∈_Zmit

a= qb+r und |r|<|b|.

(3.2) Lemma

Sinda,b∈_Zund a=qb+rfürq,r∈Z, dann giltggT(a,b) =ggT(b,r).

Betrachte dieGaußschen Zahlen

Z[i]:={z ∈_C; z =z₁+z2i, z₁,z2∈_Z}

versehen mit derquadratischen Form(im Folgenden auch mitNormbezeichnet) N:Z[i]→_N₀_, N(z)_:=zz¯ =z²₁+z²₂ für z= z₁+z₂i∈_Z[i]_. (3.3) Satz

Sinda,b∈_Z[i]_mitb6=0, so gibt esq,r∈_Z[i]_mit

a =qb+r und N(r)< N(b) (_sogar N(r)≤ ¹

2N(b))

(3.4) Korollar

Z[i]ist ein Hauptidealbereich mit (bis auf Assoziiertheit) eindeutiger Primfaktorzerlegung.

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L:=_Z[1,i,j,k]:={z₁+z₂i+z₃j+z₄k ∈_H; z₁,z₂,z₃,z₄∈_Z}heißt die Menge derLipschitz Quaternio-

nen.

Wir betrachten wieder die quadratische Form

N: L→_N₀, N(z):=zz¯=z²₁+z²₂+z²₃+z²₄ für z=z₁+z₂i+z₃j+z₄k ∈L.

L ist offensichtlich ein Ring, jedoch gibt es in diesem keine Division mit Rest im Sinne einer strikten Normreduktion.

(3.6) Satz

Sinda,b∈Lmitb6=0, so gibt esq,r∈ Lmit

a=qb+r und N(r)≤ N(b).

Es gilt N(r) =N(b)genau dann, wenn fürab⁻¹= c₁+c₂i+c₃j+c₄k ∈_Hgilt:

c_i ∈_Z+¹

2, i=1, .., 4.

H:={z₁+z₂i+z₃j+z₄k ∈_H; z₁,z₂,z₃,z₄∈ _Zoderz₁,z₂,z₃,z₄∈_Z+¹₂}heißt die Menge derHurwitz

Quaternionen.

(3.8) Korollar

Sinda,b∈H mitb6=0, so gibt esq,r ∈ Hmit

a=qb+r und N(r)<N(b).

Eine Teilmenge M einer Algebra A mit Eins heißt maximale Menge von ganzzahligen Elementen oder Arithmetik, falls sie die folgenden vier Bedingungen erfüllt:

a) Für jedesm∈ M sind die Koeffizienten des Minimalpolynoms vonmganzzahlig.

b) Mist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation.

c) 1∈ M

d) FallsN⊆ Adie Eigenschaften a),b),c) erfüllt, so gilt bereits N⊆ M.

Falls A assoziativ ist, so heißt M Ordnung, falls die Bedingungen a)-c) erfüllt sind. Gilt zusätzlich

Bedingung d), so heißt M Maximalordnung.

Ein Elementa =a0+a₁e₁+..+a7e7∈ _Ohat das Minimalpolynom x²−2a₀x+ (a²₀+a²₁+..+a²₇),

sodass die Bedingung a) der Definition bedeutet, dass die sogenannte Spurtr(a):=2a₀und die Norm N(a):=a²+a²+..+a² ganzzahlig sind.

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C := {a₀+a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃+a₄h+a₅(e₁h) +a₆(e₂h) +a₇(e₃h); a₀, ..,a₇ ∈ _Z} heißt Coxeters Menge der ganzzahligen Oktaven, wobeih := ¹₂(e₁+e2+e3−e₄). (3.11) Satz

Cist eine maximale Menge von ganzzahligen Elementen inO.

Wir versehenCwie üblich mit der quadratischen Form

N:C→_N₀, N(z):= zz¯ =z²₀+z²₁+..+z²₈ für z∈C.

Seien E= (V,(.|.)),E₁ = (V₁,(.|.)₁),E₂ = (V₂,(.|.)₂)euklidische Vektorräume.

a) Eine TeilmengeL⊂VheißtGitter, falls ein linear unabhängiges TupelB= (_b₁_{, ..,}_b_m)∈ V^m existiert, sodassL=hb₁, ..,b_mi_Z. Bheißt dann eineGitterbasisvon Lundm=dim(L)_dieDimensionvon L.

b) Ein GitterL heißtWurzelgitter, fallsL= h{l∈L; (l|l) =2}i_Z. c) R(L):={l∈ L; (l|l) =2}heißt Menge derWurzelnin L.

d) IstB ∈V^m eine Gitterbasis des Gitters L, so heißtG(B):= ( b_i b_j

)∈ _R^m^×^m dieGrammatixvon L unddet(L):= det(_G(B))dieDeterminantevon L.

e) Für zwei Gitter L₁ in V₁ und L2 in V2 bezeichnet L₁⊥L2 die orthogonale Summe. Dies ist ein Git- ter in V₁⊕V₂ der Dimension dim(L₁)+dim(L₂). Sind B bzw. C Gitterbasen von L₁ bzw. L₂, so ist ((b₁, 0)_{, ..,}(b_dim₍_L₁₎, 0)_,(_0,c₁)_{, ..,}(_0,c_dim₍_L₂₎))eine Gitterbasis vonL₁⊥L₂ mit Grammatrix

G(B) 0 0 G(C)

!

. (19)

(3.13) Satz

Jedes ganze Wurzelgitter ist orthogonale Summe von Wurzelgittern der Form

An, Dm , E6, E7, E8.

(3.14) Satz

Coxeters Menge der ganzzahligen OktavenCist, vesehen mit dem (nicht mit 2 reskalierten) Skalarpro- dukt (u,v)₂ := N(u+v)−N(u)−N(v), isometrisch zum Gitter E8. (3.15) Definition

DieÜberdeckungszahleines GittersLüber einem euklidischen VekorraumVmit Norm||ist das kleinste r > 0, sodass die Kugeln mit Radius r um die Punkte des Gitters l ∈ L den kompletten Raum V überdecken. Dies bedeutet, dass zu jedem P∈Veinl∈ Lexistiert, sodass

|P−l| ≤r.

(3.16) Satz

Die Überdeckungszahl des GittersE8 beträgtr=1.

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(3.17) Satz

Für jedesλ∈_Ogibt es einγ∈C, sodass

N(λ−γ)≤ ¹

2.

(3.18) Korollar

Sinda,b∈Cundb6=0, so gibt es q,r ∈C, sodass

a=qb+r und N(r)<N(b).

a) µ∈C, µ6=0 heißtRechtsteiler(bzw.Linksteiler) vonα∈ C, fallsαµ⁻¹ ∈C(bzw.µ⁻¹α∈C). Falls µ Rechtsteiler vonαist, so schreibeµ|α.

b) π∈ CheißtPrimzahl, fallsN(π) = peine Primzahl ist.

c) β∈Cheißtprimitiv, falls die größte ganze Zahl, die βteilt, gleich 1 ist.

(3.20) Lemma

Es gibt 240 Einheiten inC, das heißt

C^× =

{e∈C; e⁻¹∈C}= |{e∈C; N(e) =1}|=240.

(3.21) Satz

Sei 06=α∈ C,m∈ _{N, sodass}m|N(α). Dann gibt es mindestens 240 Rechtsteiler (und 240 Linksteiler)

µvonαmitN(µ) =m.

Algorithmus von Rehm

Geg.:06=α∈ C,m∈_{N, sodass}m|N(α)_,

Ges.:RechtsteilerµvonαmitN(µ) =mund Linksteilerµ⁰ vonαmitN(µ⁰) = N(α)/m.

Starte mitρ₁:=α,m₀:=m,m₁:= N(α)/m.

Vorwärtsschritt

ρ₁= γ₁m₁+ρ₂ N(ρ₁) =m₀m₁

ρ₂= γ₂m₂+ρ₃ N(ρ₂) =m₁m₂ m₁ >m₂

... ... ...

ρ_N−1 =γ_N−1m_N−1+ρ_N N(ρ_N−1) =m_N−2m_N−1 m_N−2 >m_N−1

ρ_N =γ_Nm_N+0 N(ρ_N) =m_N−1m_N m_N−1 >m_N >0 Rückwärtsschritt

N(µ_N) =m_N ρ_N =µ_N−1µ_N µ_N−1 =γ_Nµ_N N(µ_N−1) =m_N−1

ρ_N−1 =µ_N−2µ_N−1 µ_N−2 =γ_N−1µ_N−1+µ_N N(µ_N−2) =m_N−2

... ... ...

ρ₂= µ₁µ₂ µ₁ =γ₂µ₂+µ₃ N(µ₁) =m₁ ρ₁= µ0µ₁ µ0 =γ₁µ₁+µ2 N(µ0) =m0

Dann istµ₀Linksteiler und µ₁ Rechtsteiler vonα.