U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen TU Kaiserslautern
Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach
Abgabetermin:— WS 2018/19
— Pr¨asenzblatt —
Aufgabe1.
Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass f ¨ur Aussagen A,B und C die folgenden Aussagen Tautologien sind:
(a) Assoziativit¨at:
A∧(B∧C)⇔(A∧B)∧C A∨(B∨C)⇔(A∨B)∨C
(b) Implikation:
(A∧(A⇒B))⇒B.
(c) Direkter Beweis:
(A⇒C∧C⇒B)⇒(A⇒B).
Aufgabe2. (a) Dr ¨ucken Sie folgende Aussagen sowie ihre Negation in Worten aus:
(i) ∀m∈N:∃n∈N:m=n+n
(ii) ∃m∈N:∃n∈N: (n,m)∧(mn=nm).
(b) Dr ¨ucken Sie folgende Aussagen sowie ihre Negation in Worten aus:
(i) Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es eine weitere reelle Zahl.
(ii) Jede gerade Zahl ist die Summe zweier ungerader Zahlen.
Aufgabe3.
Negieren Sie folgende Aussagen:
(a) Jedes Auto, das am Mittwoch um 11 Uhr auf dem Parkplatz stand, war gr ¨un.
(b) Mindestens ein Auto, das am Donnerstag um 12:30 Uhr auf dem Parkplatz stand, war blau.
(c) Zu jedem Vorschlag gibt es Jemanden, der den Vorschlag kritisiert.
(d) In manchen H¨ausern haben nicht alle Wohnungen fließendes Wasser.
Aufgabe4. (a) Sein∈N. Stellen Sie eine Formel f ¨ur Xn
k=1
k3
auf und beweisen Sie diese mittels vollst¨andiger Induktion.
(b) Wir ”zeigen” mittels vollst¨andiger Induktion, dassalleAutos dieselbe Farbe haben.
Sein∈NundP(n) die Aussage, dassnAutos dieselbe Farbe haben.
Beweis. Induktionsanfang: P(1) ist wahr.
Induktionsschritt nnachn+1: Wir nummerieren dien+1 Autos mit Zahlen von 1 bis n+1. Nach der Induktionsvoraussetzung haben die erstennAutos mit den Nummern 1 bis n dieselbe Farbe. Ebenso haben die letztenn Autos mit den Nummern 2 bis n+1 dieselbe Farbe. Weil das Auto mit der Nummer 2 in beiden Gruppen vorkommt, haben allen+1 Autos dieselbe Farbe. Nach Induktion haben somitalleAutos dieselbe
Farbe.
Finden und erkl¨aren Sie den Fehler in obigem ”Beweis”.
