U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen– Blatt1 TU Kaiserslautern
Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach
Abgabetermin:Fr. 2. November 2018 , 13Uhr WS 2018/19
Aufgabe1.
Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass f ¨ur Aussagen A,B und C die folgenden Aussagen Tautologien sind:
(a) Distributivgesetze f ¨ur∧and∨:
A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (b) De Morgansche Gesetze der Aussagenlogik:
¬(A∧B)⇔(¬A∨ ¬B)
¬(A∨B)⇔(¬A∧ ¬B) Aufgabe2.
Geben Sie die Wahrheitstafel der folgenden logischen Formel an:
A∧ ¬B⇒(C∨A⇔(B⇒C∧A)).
Ist die Formel eine Tautologie, erf ¨ullbar oder unerf ¨ullbar?
Aufgabe3.
Dr ¨ucken Sie die folgenden Aussagen symbolisch aus und beweisen oder widerlegen Sie sie. Geben Sie außerdem die Negation der Aussagen in Symbolen an.
(a) Es gibt eine nat ¨urliche Zahlm, sodass f ¨ur jede vonmverschiedene nat ¨urliche Zahln, dien-te Potenz vonmungleich derm-ten Potenz vonnist.
(b) F ¨ur alle ganzen Zahlena,bund cmitaund bkleiner als cgilt, dass die Differenza minusbkleiner gleichcist.
(c) F ¨ur jede ganze Zahlagibt es eine ganze Zahlb, sodass die Summeaplusbnegativ und die Differenzaminusbpositiv ist.
Aufgabe4.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mittels vollst¨andiger Induktion:
(a) 11n+1+122n−1ist durch 133 teilbar f ¨ur allen≥1.
(b) 2n>n2f ¨ur allen≥5.
