http://www.stat.TUGraz.at/courses/exam/hw_107.pdf 1
Wahrscheinlichkeitstheorie für Informatikstudien
506.000
Übungsblatt 1
30. Okt. 2007
1. [A 2.1] 120 TelematikstudentInnen im 3. Semester werden befragt, welche der Vorlesungen A, D, W sie regelmäßig besuchen. Die Befragung ergab folgendes Ergebnis:
67 besuchen A, 58 besuchen D, 63 besuchen W,
32 besuchen A und D, 44 besuchen A und W, 36 besuchen D und W 24 besuchen A und D und W.
Es wird ein Student zufällig ausgewählt. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass er folgende Vorlesungen besucht:
(a) Nur W, (b) Nur (A oderD), (c) Keine,
(d) Höchstens eine, (e) Genau zwei, (f) Mindestens zwei.
Hinweis: Stellen Sie die Situation in einem Venn–Diagramm dar.
2. [A 2.8] Das Ergebnis eines Roulette-Spieles ist eine der Zahlen 1 bis 36 oder die 0, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Man kann bei einfacher Gewinnchance auf die geraden Zahlen (2,4, . . . ,36;P air) oder auf die ungeraden Zahlen (1,3,5, . . . ,35;Impair) setzen. Ein Spieler setze immer auf Pair.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er bei 12 Spielen genau 4–mal bzw. 5–mal Erfolg hat?
(b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit pk dafür, dass der Spieler beimk–ten Spiel (k = 1,2, . . .) zum ersten Erfolg kommt, und berechne diese Wahr- scheinlichkeit für k = 1,2,3,4.
(c) Das Einsatzlimit betrage EUR 400,–. Der Spieler beginnt mit einem Einsatz von EUR 1,– und nimmt sich vor, bei Verlust seinen Einsatz im jeweils näch- sten Spiel zu verdoppeln und bei Gewinn aufzuhören. Für welches k wird das Limit zum ersten Mal überschritten? Wie groß ist die Wahrscheinlich- keit dafür, dass er wegen Überschreitung des Limits aufhören muss, bevor er einen Gewinn realisieren kann?
506.000: WTH für Informatikstudien: Übungsblatt 1, 30.10.2007 2
3. [A 2.11]Ein Würfel zeigt die Augenzahlen 1 bis 6 mit unterschiedlichen Häufig- keiten. Aufgrund einer Versuchsreihe werden die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse festgestellt:
P({4,5,6}) = 23 , P({2,3,4}) = P({1,6}) = 125 , P({1,2}) = 16, P({1}) = 121 .
Berechnen Sie für jede Augenzahl k die Wahrscheinlichkeit P({k}).
4. [A 4.4] Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten werden auf einmal vier Karten gezogen. Wir betrachten folgende Ereignisse:
A — Wenigstens eine der gezogenen Karten ist eine Karo–Karte (♦).
B — Wenigstens eine der gezogenen Karten ist eine Herz–Karte (♥).
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten der EreignisseA, B und C =A∪B?
5. [A 4.7] Ein Bridgespiel enthält 52 Karten. Jeder der vier Spieler bekommt 13 Karten. Man berechne dazu folgende Wahrscheinlichkeiten:
(a) Jeder Spieler hat einen König.
(b) Genau ein Spieler hat genau 2 Könige.
(c) Mindestens ein Spieler hat genau 2 Könige.
6. [A 4.11]In einem Werk werden bestimmte Erzeugnisse hergestellt. Jedes Erzeug- nis kann mit der Wahrscheinlichkeit p einen Fehler haben. Jedes fertige Erzeugnis wird nacheinander durch k Kontrolleure unabhängig voneinander geprüft. Der i–te Kontrolleur stellt einen vorhandenen Fehler mit der Wahrscheinlichkeit pi
fest(i= 1,2, . . . , k).
Sobald ein Fehler festgestellt wird, erklärt man das Erzeugnis für defekt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A — das Erzeugnis wird von allen Kontrolleuren für defekt erklärt.
B — das Erzeugnis wird erst durch den zweitenKontrolleur für defekt erklärt.
C — das Erzeugnis wird für defekt erklärt.
7. [A 4.19] Eine große Firma hat ein biometrisches Kontrollsystem (Gesichtskon- trolle) implementiert. Man nehme an, dass 90% der ankommenden Personen re- gistriert sind und die Berechtigung zum Zugang besitzen. Eine registrierte Person wird beim ersten Mal in 5% der Fälle abgewiesen(Falschrückweisungsrate FRR);
von den nicht registrierten Personen werden fälschlicherweise 2% akzeptiert(False Accept Rate FAR). Jede Person, die beim ersten Mal nicht akzeptiert wurde, hat einen zweiten Versuch. Dabei werden 98% der registrierten Personen akzeptiert, aber auch 1% der nicht registrierten.
(a) Zeichnen Sie den dazugehörigen W–Baum.
(b) Wie groß ist die W!, dass eine Person falsch eingeordnet wird?
(c) Eine Person wurde akzeptiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Per- son auch registriert?
506.000: WTH für Informatikstudien: Übungsblatt 1, 30.10.2007 3
8. [A 4.33] Ein System besteht aus 8 Komponenten (siehe Diagramm). Man be- rechne die Zuverlässigkeit des Systems, falls folgende Wahrscheinlichkeiten für das Funktionieren der Komponenten gegeben sind: pA = 0.90, pB = 0.95, pC = 0.85, pD = 0.85, pE = 0.98, pF = 0.80, pG= 0.95, pH = 0.95.
A D
B
C
D
E
F G
H
Besprechungstermine:
Gruppe A: Di. 30. 10. 2007 10:45 - 13:00 HS G: Prof. Stadlober Gruppe B: Di. 30. 10. 2007 13:00 - 14:30 HS B: DI Schauer Gruppe C: Di. 30. 10. 2007 14:45 - 16:15 HS B: DI Schauer Bei Fragen wenden Sie sich bitte an unseren wissenschaftlichen Mitarbeiter oder an unsere StudienassistentInnen:
DI Johannes Schauer johannes.schauer@TUGraz.at Verena Feirer vfeirer@sbox.TUGraz.at
Markus Kügerl kuegerl@student.TUGraz.at Brigitte Pfeiler b.pfeiler@student.TUGraz.at
Lösungen:
1. (a) P(nur W) = 1207
(b) P(nur (A oder D)) =12037 (c) P(keine) =12020
(d) P(höchstens eine) =12056 (e) P(genau zwei) =12040 (f) P(mindestens zwei) =12064
2. (a) P(4 Gewinne in 12 Spielen) = 0.134,P(5 Gewinne in 12 Spielen) = 0.203 (b) pk= (1−p)k−1p fürk≥1
(c) Im 10. Spiel wird das Limit das erste Mal überschritten.
P(muss wegen Limitüberschreitung aufhören) = 0.0025
3. P({1}) =121,P({2}) =121,P({3}) = 16,P({4}) = 16,P({5}) =16,P({6}) = 13 4. P(A) =P(B) = 0.696
P(C) = 0.944
5. (a) P(Jeder Spieler hat einen König) = 0.1055 (b) P(Genau ein Spieler hat genau 2 Könige) = 0.584 (c) P(Mindestens ein Spieler hat genau 2 Könige) = 0.719 6. P(A) =pQk
i=1pi
P(B) =p(1−p1)p2
P(C) = 1−(1−p)−pQk
i=1(1−pi) 7. (b) P(falsch eingeordnet) = 0.004
(c) P(Person registriert | Person wurde akzeptiert) = 0.997 8. P(System funktioniert) = 0.9951
