http://www.stat.TUGraz.at/courses/exam/hw_307.pdf 1
Wahrscheinlichkeitstheorie für Informatikstudien
506.000
Übungsblatt 3
11. Dez. 2007
1. [A 7.22] Die Zufallsvariable X sei (a) binomialverteilt mit n = 7, p= 14, (b) diskret gleichverteilt auf {1, . . . ,6},
(c) POISSON–verteilt mit λ= 2, (d) exponentialverteilt mit λ= 12,
(e) standardnormalverteilt.
Man berechne jeweils PX(X ∈A) mit A= (−1,2]∪ {6}.
2. [A 8.3] Ein Gerät besteht aus 2 Einzelteilen T1 und T2. Die Zufallsvariablen X1 bzw. X2 beschreiben die Anzahl der Reparaturen, die innerhalb eines Jah- res an T1 bzw. T2 vorgenommen werden müssen. X1 und X2 seien unabhängige Zufallsvariablen. Die Verteilungen seien wie folgt gegeben:
i 0 1 2 3
PX1(X1 =i) 0.1 0.5 0.3 0.1
j 0 1 2
PX2(X2 =j) 0.1 0.5 0.4
(a) Mit welcher W! muss das Geräthöchstens einmal pro Jahr repariert werden?
(b) Berechnen Sie E(X1), E(X2) und V ar(X1), V ar(X2).
(c) Es seien Y1 = 2X1+ 1 bzw. Y2 = 3X2 die jährlichen Betriebskosten von T1 bzw.T2 und Z = Y1 +Y2 die jährlichen Betriebskosten des Geräts. Wie lauten E(Z) und V ar(Z)?
3. [A 8.4] Für einen zweidimensionalen ZV (X, Y) sind folgende Wahrscheinlich- keiten gegeben:
X/Y 0 1 2 PX(X =i)
0 1/6 1/12 1/3
1 0 1/6
2 1/6
PY(Y =j) 1/2 1/3
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(a) Ergänzen Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle.
(b) Berechnen Sie E(X), E(Y), V ar(X), V ar(Y).
(c) Wie lautet der Korrelationskoeffizient ρ(X, Y)?
4. [A 8.7] Der stetige Zufallsvektor (X, Y) besitze die Dichte:
fX,Y(x, y) =
½ c·e−x/y3 wenn x≥0 und y≥1,
0 sonst.
(a) Bestimmen Sie die Konstante c.
(b) Bestimmen Sie die Randdichten von X und Y. (c) Sind X und Y unabhängig? (Begründung!) (d) Bestimmen Sie E(X·Y).
5. [A 8.15] Ein stetig verteilter Zufallsvektor (X, Y) besitze die Dichte
fX,Y(x, y) =
½ 2e−x−y 0< y < x <∞
0 sonst.
(a) Berechnen Sie die Randdichten fX(x), fY(y).
(b) Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig?
(c) Wie lauten E(X) und E(Y)?
6. [A 8.22] Eine Maschine funktioniert nur, wenn zwei voneinander unabhängi- ge Bauteile A und B arbeiten. Die Lebensdauern der Teile [in Stunden] seien normalverteilt mit µA = 360,σA = 50 und µB = 400, σB = 25.
(a) Wie wahrscheinlich ist es, dass die Maschine nach 400 Betriebsstunden noch arbeitet?
(b) Teil A wird vor Teil B defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?
7. [A 8.35] Eine Kiste Bockbier enthält 20 Flaschen. Das Gewicht einer vollen Flasche F und einer leeren Kiste K sei jeweils normalverteilt mit µF = 0.7 [kg],σF = 0.08[kg] und µK = 2.0 [kg],σK = 0.2 [kg].
(a) Bestimmen Sie die Verteilung des Gewichts einer vollen Bockbierkiste.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt eine volle Bockbierkiste zwischen 16 und 17 kg?
(c) Wieviele volle Bockbierkisten darf ein LKW-Fahrer laden, wenn die zulässige Nutzlast von 2500 kg mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.95 nicht überschrit- ten werden soll?
8. [A 9.1] Ein regelmäßiger Würfel wird n Mal geworfen. Dabei bezeichne X das arithmetische Mittel der Ergebnisse. Wie groß ist n mindestens zu wählen, damit PX¯(3.4≤X ≤3.6)≥0.9 wird, falls
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(a) die TSCHEBYSCHEV–Ungleichungbenutzt wird,
(b) die Approximation durch die Normalverteilung angewandt wird?
Besprechungstermine:
Gruppe A: Di. 11. 12. 2007 10:45 - 13:00 HS G: Prof. Stadlober Gruppe B: Di. 11. 12. 2007 13:00 - 14:30 HS B: DI Schauer Gruppe C: Di. 11. 12. 2007 14:45 - 16:15 HS B: DI Schauer Bei Fragen wenden Sie sich bitte an unseren wissenschaftlichen Mitarbeiter oder an unsere StudienassistentInnen:
DI Johannes Schauer johannes.schauer@TUGraz.at Verena Feirer vfeirer@sbox.TUGraz.at
Markus Kügerl kuegerl@student.TUGraz.at Brigitte Pfeiler b.pfeiler@student.TUGraz.at
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Lösungen:
1. (a) 0.76 (b) 1/2 (c) 0.69 (d) 0.63 (e) 0.82 2. (a) 0.11
(b) E(X1) = 1.4,E(X2) = 1.3, Var(X1) = 0.64, Var(X2) = 0.41 (c) E(Z) = 7.7, Var(Z) = 6.25
3. (b) E(X) = 1,E(Y) = 5/6, Var(X) = 2/3, Var(Y) = 29/36 (c) ρ(X, Y) = 0
4. (a) c=2
(b) fX(x) =e−x fürx≥0, fY(y) = 2/y3 füry≥1 (c) ja
(d) E(X·Y) = 2
5. (a) fX(x) = 2e−x(1−e−x)fürx >0,fY(y) = 2e−2y füry >0 (b) nein
(c) E(X) = 3/2,E(Y) = 1/2 6. (a) 0.106
(b) 0.763
7. (a) V ∼N(16,0.41) (b) 0.493
(c) n≤155 8. (a) n≥2917
(b) n≥790
