Wahrscheinlichkeitstheorie für Informatikstudien

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http://www.stat.TUGraz.at/courses/exam/hw_207.pdf 1

Wahrscheinlichkeitstheorie für Informatikstudien

506.000 Übungsblatt 2

20. Nov. 2007

1. [A 5.13] Bei einem gefälschten Würfel besitzt die ZVX = Augenzahl folgende Verteilung:

k 1 2 3 4 5 6

PX(X =k) ₂₀² ₂₀³ ₂₀⁴ ₂₀² ₂₀³ p (a) Man bestimme P_X(X = 6) =p.

(b) Zeichnen Sie die W–funktionP_X(X=k)und die VerteilungsfunktionF_X(x).

(c) Bestimmen Sie E(X) und Var(X).

2. [A 5.18] Die Verteilungsfunktion einer stetigen ZV X ist gegeben durch

F_X(x) =





0 −∞< x < 1 c₁x²+ 2c₁x+c₂ 1≤x≤2 1 2< x <∞. (a) Bestimmen Sie die Konstanten c₁ und c₂.

(b) Wie lautet die Dichte f_X(x)?

(c) Stellen Sie f_X(x) und F_X(x) graphisch dar.

(d) Berechnen Sie E(X).

3. [A 5.19] Eine stetige ZV X habe die Dichtefunktion:

f_X(x) =

½ 0 x <1 c/x³ x≥1. (a) Bestimmen Sie c und damit FX(x).

(b) Bestimmen Sie E(X) und V ar(X), falls diese existieren.

4. [A 6.8]Bei einem Glücksspiel habe die Zufallsvariable X=Auszahlung folgende Verteilung:

X =x −c 0 c+d c+ 2d c+ 4d P_X(X =x) 0.7 0.2 0.04 0.03 0.03

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506.000: WTH für Informatikstudien, Übungsblatt 2, 20.11.2007 2

(a) Man zeige, dass E(X)<0, fallsc= 1, d= 2. Wie lautet V ar(X)?

(b) Sei

g(X) =





−1 X <0

0 X = 0

1 X >0 .

Wie lauten E(g(X)) und V ar(g(X)), falls weiterhin c= 1, d= 2?

(c) Für welche positiven Konstanten c und d gilt E(X) = 0?

5. [A 6.11] Ein Reiseveranstalter weiß aus Erfahrung, dass 10% der Gäste die gebuchte Reise nicht antreten. Er entschließt sich deshalb anstelle von 30 freien Betten 32 Betten zu vermieten. Für jede Buchung erhält er 150 Euro (egal ob der Reisende kommt oder nicht). Sollte die Anzahl der Betten nicht reichen, muss der Veranstalter auf eine teurere Unterkunft ausweichen und bezahlt dafür pro überbuchtem Bett einen Betrag von 500 Euro.

(a) Wie groß ist die W!, dass zu viele Betten verbucht wurden?

(b) SeiXdie Anzahl der überbuchten Betten. Dann ist der GewinnG= 4800− 500×X. Bestimmen Sie den erwarteten Gewinn.

6. [A 6.24]Ein Trick gelingt in 40% der Versuche. Gelingt dieser Trick beim ersten Versuch, bekommt der Darsteller dafür die Gage von EUR 100,–. Gelingt er beim zweiten oder dritten Versuch bekommt dieser EUR 30,–, gelingt er erst beim vierten EUR 10,–. Ansonsten wird keine Gage bezahlt. Ermitteln Sie die Verteilung der ZV X = Gage für Trickund die zu erwartende Gage.

7. [A 7.1]In einer Fabrik werden elektrische Widerstände maschinell gefertigt. Auf- grund längerer Beobachtungen weiß man, dass die von einer bestimmten Maschine produzierten Widerstände einen Mittelwert von µ= 152 [Ohm] und eine Streu- ung von σ = 2 [Ohm] aufweisen und normalverteilt sind. Man benötigt nun eine größere Serie Widerstände von 150 Ohm mit den Toleranzen (Streuungen) ±4 Ohm.

(a) Wie groß würde der mittlere Ausschußanteil, wenn man zur Produktion die Maschine mit µ = 152 [Ohm] und σ = 2 [Ohm] benutzt? (D.h. wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgegriffener Widerstand außerhalb der Toleranzgrenze liegt?)

(b) Wie groß wäre der mittlere Ausschußanteil, wenn es gelänge, die Maschine bei gleicher Streuung auf den Mittelwert µ= 150 [Ohm] einzustellen?

8. [A 7.7]Die Laufzeit T eines stochastischen Suchverfahrens auf einer Workstation werde als Exp(λ)–verteilt angenommen. Weiter sei bekannt, dass die mittlere Laufzeit 100 [sec] beträgt.

(a) Wie lautet der Parameter λ der Exponentialverteilung?

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Lauf des Verfahrens i. genau 100 [sec], ii. zwischen 90 und 110 [sec] dauert?

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(c) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit in ii., wenn bekannt ist, dass das Verfahren bereits 50 [sec] läuft?

Besprechungstermine:

Gruppe A: Di. 20. 11. 2007 10:45 - 13:00 HS G: Prof. Stadlober Gruppe B: Di. 20. 11. 2007 13:00 - 14:30 HS B: DI Schauer Gruppe C: Di. 20. 11. 2007 14:45 - 16:15 HS B: DI Schauer Bei Fragen wenden Sie sich bitte an unseren wissenschaftlichen Mitarbeiter oder an unsere StudienassistentInnen:

DI Johannes Schauer johannes.schauer@TUGraz.at Verena Feirer vfeirer@sbox.TUGraz.at

Markus Kügerl kuegerl@student.TUGraz.at Brigitte Pfeiler b.pfeiler@student.TUGraz.at

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Lösungen:

1. (a) P(X= 6) = ₂₀⁶

(c) E(X) =⁷⁹₂₀, Var(X) = 3.05 2. (a) c1=¹₅,c2=−³₅

(d) E(X) =²³₁₅ 3. (a) c= 2

(b) E(X) = 2, Var(X) =∞ 4. (a) Var(X) = 4.21

(b) E(g(X)) =−0.6, Var(g(X)) = 0.44 (c) c >0undd= ³⁰₁₁c

5. (a) P(zu viele Betten verbucht) = 0.156 (b) E(X) = 4704.6

6. E(X) = 52.384 7. (a) p= 0.16

(b) p= 0.046 8. (a) λ= ₁₀₀¹

(b) P(T = 100) = 0,P(90≤T ≤100) = 0.0737 (c) P(90≤T ≤110|T >50) = 0.1215