http://www.stat.TUGraz.at/courses/exam/hw_stat_109.pdf 1
506.004 Statistik für Informatikstudien Übungsblatt 1
27. Jänner 2009
1. [A 1.3] Lesen Sie die Textdatei aimu_info.dat in R ein und denieren Sie die Gruppierungsvariable al_gr (1,2,3) mit alter 1620 (n1 = 21), 2135 (n2 = 34) und 3656 (n3 = 24).
(a) Für jede Altersgruppe berechne man für die Variablen gr_cm, ge_kg, fvc, fev1 folgende Kenngröÿen: x, x, s˜ , sq, g1 und g2.
(b) Plotten Sie die Histogramme bzgl. fvc und fev1 für jede Altersgruppe mit gleichen Klasseneinteilungen.
(c) Kann man aus den Boxplots Unterschiede in den Verteilungen von fvc und fev1 bzgl. der Altersgruppen feststellen?
(d) Man erstelle die empirischen Verteilungsfunktionen und Q-Q-Plots bzgl. der Normalverteilung für die Merkmale fvc und fev1 in jeder Altersgruppe und interpretiere die Ergebnisse.
2. [A 1.4] Eine Person, die nach den relativen Flächen von Kreisen variierender Gröÿe gefragt wird, schätzt die Flächen auf einer Wahrnehmungsskala wie folgt:
Fˆ =a Fb, mit F = wahre Fläche, Fˆ= geschätzte Fläche. Der übliche Bereich von b ist 0.6 ≤ b ≤ 1.2.
In der folgenden Tabelle sind die Werte 100×b für n = 24 Versuchspersonen in aufsteigender Reihenfolge angegeben.
58 63 69 72 74 79
88 88 90 91 93 94
97 97 99 99 99 100
103 104 105 107 118 127 (a) Berechnen Sie x,x, s, s˜ q, g1 und g2.
(b) Man stelle die Daten mittels StammBlattDarstellung, Histogramm, Box- plot, Q-Q-Plot und empirischer Verteilungsfunktion graphisch dar.
3. [A 2.3+A2.4] In der folgenden Aufgabe sind Wahrscheinlichkeiten von Teststa- tistiken zu berechnen. Sie können das (i) mit Hilfe der im Anhang angeführten Tabellen oder (ii) über Funktionen in R durchführen.
(a) Die Zufallsvariable T sei t19verteilt.
506.004: Statistik für Informatikstudien: Übungsblatt 1, 27.01.2009 2 i. Wie groÿ sind P(T ≤ 1.73), P(−1.73 ≤ T ≤ 2.54)?
ii. Bestimmen Sie die Konstanten c und d derart, dass P(T ≥ c) = 0.01, P(−d ≤ T ≤ d) = 0.90.
(b) X sei N(µ, σ)verteilt. Man bestimme µ und σ, falls folgende Wahrschein- lichkeiten gegeben sind.
i. P(X ≤ 3) = 0.4, P(X ≤ 5) = 0.7. ii. FX 1
2
= 0.94, P 0.4 ≤ X ≤ 12
= 0.3.
4. [A 2.7] In einem Elektronikwerk wurde die Anzahl der fehlerhaft zusammenge- bauten Teile eines bestimmten Typs während einer Woche registriert:
Wochentag Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag fehlerhafte
Bauteile 24 10 14 12 20
(a) Geben Sie für die Annahme, dass Montag doppelt so viele defekte Teile her- gestellt werden, wie jeweils Dienstag, Mittwoch und Donnerstag, die Ver- teilung von X = j, defektes Teil wird am Tag j, j =,1. . . ,5 erzeugt, in Parameterform an.
(b) Bestimmen Sie die MaximumLikelihoodSchätzer.
(c) Wie groÿ ist der MaximumLikelihoodSchätzwert?
5. [A 2.24] Eine in einer Brauerei zur Abfüllung von Flaschen eingesetzte Maschine ist auf den Normwert 0.33l eingestellt. Bei der Messung der Biermengen in n= 10 abgefüllten Flaschen ergaben sich die folgenden Werte [in l]:
0.329 0.339 0.331 0.324 0.328 0.327 0.334 0.336 0.332 0.326
(a) Unter der Annahme, dass die Messwerte eine Realisierung von unabhängi- gen identisch N(µ, σ)verteilten Zufallsvariablen sind, berechne man mittels eines Kondenzschätzverfahrens zum Kondenzniveau 0.95 aus der angege- benen Messreihe ein konkretes Schätzintervall für den Parameter σ2. (b) Unter der Annahme, dass der Parameter σ2 im berechneten konkreten
Schätzintervall liegt, bestimme man eine obere Schranke für die Wahrschein- lichkeit, dass in eine bestimmte Flasche höchstens 0.32l Bier abgefüllt wer- den.
6. [A 2.32] Bei der Produktion von bestimmten Bauteilen für elektronische Ge- räte entstehen mit einer (unbekannten) Wahrscheinlichkeit p defekte Stücke.
Um Aufschluss über die Wahrscheinlichkeit p zu bekommen, wird bei laufender Produktion eine Stichprobe von n Bauteilen entnommen, die auf ihre Funkti- onstüchtigkeit überprüft werden. Unter geeigneten Annahmen
(a) bestimme man für n= 600 ein konkretes Kondenzintervall zum (approxi- mativen) Kondenzniveau 0.95 für p, wenn 69 der 600 überprüften Bauteile defekt sind.
506.004: Statistik für Informatikstudien: Übungsblatt 1, 27.01.2009 3 (b) Der Ausschussanteil x sei wie in (a). Welchen Stichprobenumfang n benö- tigt man mindestens, damit die Länge des 95%Kondenzintervalls für p kleiner gleich 0.05 wird?
(c) Wie groÿ muÿ n gemäÿ Fragestellung (b) mindestens sein, wenn der Aus- schussanteil x beliebig ist?
7. [A 3.22] Ein Unternehmer stellt ein elektronisches Gerät her, das aus zwei hin- tereinander geschalteten Bauteilen der Sorten E1 und E2 besteht. Bei einer Untersuchung wurden die Widerstände X von 21 Bauteilen der Sorte E1 und die Widerstände Y von 16 Bauteilen der Sorte E2 gemessen. Man erhielt die empirischen Mittelwerte x = 56.2 [Ohm] und y = 54.5, sowie die empirischen Varianzen s2x = 1.2 [Ohm2] und s2y = 2.6. Die Meÿwerte seien Realisierungen von unabhängigen Stichprobenvariablen Xi ∼N(µx, σx) und Yj ∼N(µy, σy).
(a) Läÿt sich die Annahme H0 :σx2 =σ2y aufgrund des Datenmaterials aufrecht- erhalten (α = 0.05)?
(b) Wie lauten die zweiseitigen 95%Kondenzintervalle für die Mittelwerte µx und µy?
(c) Läÿt sich ein signikanter Unterschied zwischen den Mittelwerten µx und µy zum Niveau von α = 0.01 nachweisen?
8. [A 3.29] Eine Gruppe von n = 10 Studenten will feststellen, ob die Leistung in einem bestimmten Computerspiel durch den Genuss von einem Krügel Bier beeinusst wird. Am Tag A wird ohne Bier und am Tag B mit Bier gespielt.
Es wird jeweils das durchschnittliche Ergebnis von 5 Spielen registriert.
Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TagA 65 70 76 63 72 71 68 78 65 80 TagB 75 80 72 77 69 81 71 68 70 82
(a) Lässt sich ein signikanter Unterschied in den Spielergebnissen feststellen?
Man formuliere einen geeigneten Hypothesentest (α= 0.05).
(b) Geben Sie ein 95%Kondenzintervall für den Erwartungswert µD an.
Besprechungstermin:
Di. 27. 01. 2009 10:45 - 12:00 HS G
Übungstermine:
Gruppe 1: Di. 27. 01. 2009 12:15 - 13:00 HS G Gruppe 2: Di. 27. 01. 2009 13:15 - 14:00 HS B Gruppe 3: Di. 27. 01. 2009 14:15 - 15:00 HS B
506.004: Statistik für Informatikstudien: Übungsblatt 1, 27.01.2009 4 Bei Fragen wenden Sie sich bitte an unseren wissenschaftlichen Mitarbeiter
oder an unsere StudienassistentInnen:
DI Moritz Jirak m0ritz@yahoo.com
Verena Feirer vfeirer@sbox.TUGraz.at Markus Kügerl kuegerl@student.TUGraz.at Brigitte Pfeiler b.pfeiler@student.TUGraz.at Lisa Stadlmüller lisa86@sbox.TUGraz.at
Lösungen:
1. Werte für gr_cm und al_gr=1
(a) x¯= 178.3,x˜= 179,s= 8.44, sq= 6.67,g1=−0.112,g2=−0.425 2. (a) x¯= 0.923,x˜= 0.955, s= 0.165,sq= 0.111,g1=−0.239,g2=−0.359 3. (a) i. P(T ≤1.73) = 0.95,P(−1.73≤T ≤2.54) = 0.94
ii. c= 2.5395,d= 1.7291 (b) i. µ= 3.64,σ= 2.564
ii. µ= 0.37,σ= 0.083
4. (a) i 1 2 3 4 5
P(X=i) 2p p p p 1−5p
(b) pˆ= (2n1+ 2n2+ 2n3+ 2n4)/(10n),pˆ= 0.15 5. (a) 95%-KONF:[0.0000105,0.0000742]
(b) 1−Φ(1.16) = 0.113(Tabelle),1−Φ(1.16) = 0.123 (R) 6. (a) 95%-KONF:[0.0895,0.14053]
(b) n≥626 (c) n≥1537
7. (a) H0nicht verwerfen
(b) 95%-KONF:µx:[55.701,56.699],µy:[53.641,55.359]
(c) H0verwerfen; signikanter Unterschied: ja
8. (a) H0nicht verwerfen; signikanter Unterschied: nein (b) 95%-KONF:[−9.149,1.749]
