Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom 30.11.09:

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Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom 30.11.09:

Isabelle/HOL

Christoph Lüth, Lutz Schröder Universität Bremen Wintersemester 2009/10

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Fahrplan

ITeil I: Grundlagen der Formalen Logik ITeil II: Arbeiten mit Isabelle

I Grundlagen von Isabelle

I Logik h¨oherer Ordnung in Isabelle

I Isabelle/HOL

I Beweise ¨uber funktionale Programme in Isabelle/HOL

I Beweisen mit Isabelle: Simplifikation, Taktiken

ITeil III: Modellierung imperative Programme

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Heute

IVertrauensw¨urdigkeitvon Isabelle

ISystemarchitektur

IKonservative Erweiterung

ITypdefinitionen

IN¨utzliche Typen

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Generizit¨ at

IIsabelleist einlogisches Rahmenwerk

IBeliebigeLogiken in Isabelle einbetten

IBsp:HOL,ZF,LK, Typentheorie . . .

IHier nurHOL

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Vertrauensw¨ urdigkeit

IWann k¨onnen wir Isabelle-Beweisentrauen?

1.SinnvolleModellierung 2.Isabelle korrektimplementiert 3.Logikkonsistent

IProblem: ca. 150 Kloc SML Quellcode, ca. 310 Kloc Beweise IMaßnahmen:

1.Review

2.LCF-Systemarchitektur 3.Konservative Erweiterung

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LCF-Architektur

IProblem:Korrektheitder Implementierung IReduktiondes Problems:

I Korrektheit eineslogischen Kerns

I Rest durchTypisierung

IAbstrakter Datentypthm,Inferenz-RegelnalsOperationen val assume: cterm -> thm

val implies_intr: cterm -> thm -> thm ILogischer Kern:

I Typcheck,Signaturen,Unifikation,Meta-Logik: ca. 5500 LOC

I HandhabbareGr¨oße

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Konservative Erweiterung

ISignaturΣ =hT,Ωi

ITypdeklarationenT, Operationen Ω

IDefiniert dieSyntax: TermeTΣ¨uber Σ ITheorieTh=hΣ,Axi

IAxiomeAx

ITheoreme:Thm(Th)^def={t| Th`t}

IErweiterung: Σ⊆Σ⁰,Th⊆ Th⁰

IKonservativ gdw.t∈Thm(Th⁰),t∈TΣdannt∈Thm(Th)

IKeineneuenTheoreme ¨uberalteSymbole

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Konservative Erweiterung in Isabelle

IIsabelle: Konstruktion von Theorien durchkonservative Erweiterungen IKonstantendefinition (zur Signatur Σ):

c::σ c≡t

I c6∈Σ

I t∈TΣ(enth¨altnichtc)

I Typvariablen intauch inσ

ILemma: KonstantendefinitionistkonservativeErweiterung IWeitere konservative Erweiterungen:

I Typdefinitionen,Datentypen.

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Isabelle Theorien

IStrukturierung der Entwicklung inTheorien IKopf:

theory N

imports T1 T2 ... Tn begin

ITheorien bildenDAG ITheorieelemente (Auszug):

ITypdeklaration:typedecl t

ITypsynonym:types t = S

IKonstantendeklaration:consts f :: T

IKonstantendefinitionendefinition f :: T "f == E"

IEdarffnicht enthalten,FV(E)⊆FV(f)

IBeweise:lemmaodertheorem

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Typdefinitionen in Isabelle

Definitioneines neuenTypen:

IGegeben TypR, Pr¨adikatS:R⇒Bool

INeuer TypT mitabsT:R⇒T,repT:T⇒Rso dass

I SundTisomorph:∀t.absT(rep_Tt) =t,∀r.S r−→rep_T(absTr) =r

I Tnicht leer:∃t.S t

R S

repT absT

T

ILemma:Typdefinitionen sindkonservative Erweiterungen.

IIn dieser Formseltendirekt benutzt.

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Beispiel: Produkte

IAusgangstypRα,β≡α⇒β⇒Bool INeuer TypTα,β≡α×β

IIdee: Pr¨adikatp:α⇒β⇒Boolrepr¨asentiert (a,b) p(x,y) =true←→x=a∧y=b IS f =∃a b.(f =λx y.x=a∧y=b)

IAbstraktionsfunktion:

abs×p=ιa b.p a b

IRepr¨asentationsfunktion:

rep_×(a,b) =pmitp(x,y) =true←→x=a∧y=b IDamitEigenschaftenalsTheoremeherleitbar.

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N¨ utzliche Isabelle/HOL-Typen

IVordefinierte Typen

IAlgebraische Datentypen

IBenannte Produkte (labelled records)

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Nat¨ urliche Zahlen und unendliche Datentypen

INat¨urliche Zahlen: nichtkonservativ!

IErfordertzus¨atzlichesAxiomUnendlichkeit.

INeuer TypindmitZ::ind,S:ind⇒Sund inj S S x6=Z

IDamitnatdefinierbar.

IWarumind? Auch f¨urandereDatentypen

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N¨ utzliche vordefinierte Typen

Theorie Typ Bedeutung

Set ’a set getypteMengen(’a=> bool)

Sum ’a + ’b Summentyp

Product Type ’a * ’b Produktyp

Nat nat Nat¨urliche Zahlen

Int int ganze Zahlen

Real real reelle Zahlen^∗

Complex complex komplexe Zahlen^∗

Datatype ’a option Haskell’sMaybe,Some xoderNone

List ’a list Listen

Map ’a ~=> ’b partielleAbbildungen (’a => ’b option)

∗inComplex Main

http://isabelle.in.tum.de/dist/library/HOL/index.html

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Algebraische Datentypen

IInIsabelle/HOLwie inHaskell

IEigenschaften werden (hinter den Kulissen)bewiesen:

IInjektivit¨atder Konstruktoren

IDisjunktheitder Konstruktoren

IGeneriertheitdurch Konstrukturen

IAbgeleitete Schemen:

IInduktion

IFallunterscheidung

IEinschr¨ankung: nurkovarianteRekursion

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Algebraische Datentypen

IBeispiel:

| Leaf

datatype ’a NTree = Node "nat => ’a"

INichterlaubt:

datatype T = C "T=> bool"

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Labelled Records

IInIsabelle/HOL¨ahnlich wie inHaskell ISyntax:

record point2d = x :: int y :: int

IDefiniert:

IKonstrukturen(|x= 3, y= 4|)

ISelektorenx :: point2d => int

IUpdatep (|x := 3 |)

IErweiterbar:

record point3d = point2d + z :: int

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Zusammenfassung

IIsabelle:LCF-Architekturmitlogischem KernundMeta-Logik

IKonservative Erweiterung: erh¨altKonsistenz

ITypdefinitionen: Einschr¨ankung bestehender Typen

IDer Typind:Unendlichkeitsaxiom

IN¨utzliche Typen: vordefinierte, algebraische Datentypen, labelled records

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