Formale Methoden der Softwaretechnik Vorlesung vom 30.05.11: Logik Höherer Stufe

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Till Mossakowski & Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2011

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Fahrplan

I Alles überLogik höherer Stufe (Higher-order Logic, HOL):

I TypenundTerme

I Die Basis-Axiome

I DefinierteOperatoren

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Fahrplan

I Aussagenlogik

I Prädikatenlogik

I Isabelle I: Grundlagen

I Aussagenlogik und natürlisches Schließen

I Prädikatenlogik und Quantoren

I Logik höherer Stufe

I Definitionen und konservative Erweiterung

I Automatische Beweisprozeduren

I Isabelle II: Anwendungen

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Logik höherer Stufe

I Ziel:Formalisierung von Mathematik

I “Logik für Erwachsene”

I Problem: Mögliche Inkonsistenz (Russel’s Paradox)

I Lösung:Restriktionvs. Ausdrucksstärke

I AlternativeGrundlagen:

I AndereTyptheorien(Martin-Löf, Calculus of Constructions)

I UngetypteMengenlehre(ZFC)

I HOL: guter Kompromiss, weit verbreitet.

I Klassische Logikhöherer Stufe nachChurch

I Schwächerals ZFC,stärkerals Typtheorien

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Warum Logik höherer Stufe?

I Aussagenlogik: keine Quantoren

I Logik1. Stufe: Quantoren über Terme

∀x y.x =y −→y =x

I Logik2. Stufe: Quantoren über Prädikatenund Funktionen

∀P.(P0∧ ∀x.P x −→P(S x))−→ ∀x.P x

I Logik3. Stufe: Quantoren über Argumenten von Prädikaten

I Logik höherer Stufe (HOL): alle endlichen Quantoren

I Keinewesentlichen Vorteilevon Logik 2. Ordnung

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Warum Logik höherer Stufe?

∀x y.x =y −→y =x

∀P.(P0∧ ∀x.P x −→P(S x))−→ ∀x.P x

(7)

Warum Logik höherer Stufe?

∀x y.x =y −→y =x

∀P.(P0∧ ∀x.P x −→P(S x))−→ ∀x.P x

(8)

Warum Logik höherer Stufe?

∀x y.x =y −→y =x

∀P.(P0∧ ∀x.P x −→P(S x))−→ ∀x.P x

(9)

Warum Logik höherer Stufe?

∀x y.x =y −→y =x

∀P.(P0∧ ∀x.P x −→P(S x))−→ ∀x.P x

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Vermeidung von Inkonsistenzen

I Russell’sParadox

I R={X |X 6∈X}

I Abhilfe:Typen

I Gödel’s2. Unvollständigkeitssatz:

I JedeLogik, die ihre eigeneKonsistenz beweist, istinkonsistent.

I Unterscheidung zwischenTermenund Aussagen

I DadurchinHOL keine Aussageüber HOL

(11)

Typen

I TypenType gegeben durch

I Typkonstanten:c∈ C_Type (MengeC_Type durch Signatur gegeben)

I Prop,Bool∈ CType:Propalle Terme,Boolalle Aussagen

I Typvariablen: α∈ VType (MengeVType fest)

I Funktionen:s,t ∈ Typedanns⇒t inType

I Konvention: Funktionsraum nach rechts geklammert α⇒β⇒γ für α⇒(β ⇒γ)

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Terme

I TermeTerm gegeben durch

I Konstanten:c∈ C (MengeC durch Signatur gegeben)

I Variablen:v∈ V

I Applikation:s,t∈ Termdanns t∈ Term

I Abstraktion:x ∈ V,t ∈ Termdannλx.t ∈ Term

I Konventionen: Applikation links geklammert, mehrfache Abstraktion λx y z.f x y z für λx. λy. λz.((f x)y)z

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Basis-Syntax

= ::α⇒α⇒Bool

−→ ::Bool⇒Bool⇒Bool ι :: (α⇒Bool)⇒α

¬ ::Bool⇒Bool true ::Bool

false::Bool

if ::Bool⇒α⇒α⇒α

∀ :: (α⇒Bool)⇒Bool

∃ :: (α⇒Bool)⇒Bool

∧ ::Bool⇒Bool⇒Bool

∨ ::Bool⇒Bool⇒Bool

I Einbettung (wird weggelassen) trueprop::Bool⇒Prop

I Basis-Operatoren:=,−→, ι

I SyntaktischeKonventionen:

I BindendeOperatoren:∀,∃,ι

∀x.P≡ ∀(λx.P)

I Infix-Operatoren:∧,∨,−→,=

I Mixfix-Operator:

if b then p else q≡if b p q

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Basis-Axiome I: Gleichheit

I Reflexivität:

t=t refl

I Substitutivität:

s =t P(s) P(t) subst

I Extensionalität:

∀x.fx =gx

(λx.fx) = (λx.gx) ext

I Einführungsregel:

(P −→Q)−→(Q−→P)−→(P =Q) iff

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Basis-Axiome II: Implikation und Auswahl

I EinführungsregelImplikation:

[P] ... Q

P −→Q impl

I EliminationsregelImplikation:

P −→Q P

Q mp

I Eliminationsregel Auswahloperator:

(ιx.x =a) =a the_eq

I HOL istklassisch:

(P =true)∨(P =false) true_or_false

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Die Basis-Axiome (Isabelle-Syntax)

refl: t=t

subst: [[s =t;P(s)]] =⇒P(t)

ext: [[^Vx.fx =gx]] =⇒(λx.fx) = (λx.gx) impl: [[P =⇒Q]] =⇒P −→Q

mp: [[P −→Q;P]] =⇒Q

iff: (P −→Q)−→(Q −→P)−→(P =Q) the_eq: (ιx.x=a) =a

true_or_false: (P =true)∨(P =false)

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Abgeleitete Operatoren

true ≡ (λx.x) = (λx.x)

∀P ≡ (P =λx.true)

∃P ≡ ∀Q.(∀x.Px −→Q)−→Q false ≡ ∀P.P

¬P ≡ P −→false

P∧Q ≡ ∀R.(P −→Q −→R)−→R

P∨Q ≡ ∀R.(P −→R)−→(Q −→R)−→R

if P then x else y ≡ ιz.(P =true−→z =x)∧(P =false−→z =y)

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Erweiterungen

I WeitereOperatoren

I WeitereTypen: natürliche Zahlen, Datentypen

I Axiomatisch(vgl. Peano/Presburger in FOL)

I MöglicheInkonsistenzen

I Konserverative Erweiterung

I Logikkonsistentzerhaltenderweitern

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Zusammenfassung

Logik höherer Stufe(HOL):

I Syntax basiert auf demeinfach getypten λ-Kalkül

I DreiBasis-Operatoren,achtBasis-Axiome

I Restfolgt durchkonservative Erweiterung — nächstes Mal