Formale Methoden der Softwaretechnik Vorlesung vom 16.06.11: Isabelle: Automatische Beweisprozeduren

Formale Methoden der Softwaretechnik

Vorlesung vom 16.06.11: Isabelle: Automatische Beweisprozeduren

Till Mossakowski & Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2011

Rev. 1489 1 [13]

Fahrplan

I Aussagenlogik

I Prädikatenlogik

I Isabelle I: Grundlagen

I Aussagenlogik und natürlisches Schließen

I Prädikatenlogik und Quantoren

I Logik höherer Stufe

I Isabelle: Definitionen und konservative Erweiterung

I Isabelle: Automatische Beweisprozeduren

I Isabelle II: Anwendungen

Überblick

I Grundlagen derTermersetzung

I AutomatischeBeweisprozedurenim Überblick

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Grundlagen der Termersetzung

I Gegeben: Menge von GleichungenE ={s_i =t_i}_i=1,...,n

I Problem: Wann folgtu =v ausE durchGleichungsumformung?

Grundlagen der Termersetzung

I Gleichungens =t zuRegelns →t orientieren

I Ableitungsrelations ⇒Rt definieren

I Äquivalenzabschlussbilden s1⇐_Rs2 ⇒_Rs3⇒_Rs4. . .sn

I Frage: Wann ists ⇔_Rt dasselbe wie s =t?

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Termersetzung

I Gegeben: Menge vonRegelnR={s_i →ti}_i=1,...,n Signatur Σ, Variablen X

I EinKontext istC ∈T_Σ(X∪ {}), der genau einmal enthält.

I Für KontextC, Termt ∈T_Σ(X)ist C[t] =σ(C) mitσ() =t und σ(x) =x (für x 6=).

I Ein-Schritt-Ersetzungsrelation:

s →Rt ⇐⇒ ∃l →r ∈ R,

∃Kontext C, σ:X →T_Σ(X) s =C[σ(l)],t =C[σ(r)]

Relationen und Abschlüsse

I Für RelationenR,S ist Komposition R◦S ={(a,c)| ∃b.(a,b)∈R,(b,c)∈S}

I Für RelationR ist die inverse RelationR⁻¹={(b,a)|(a,b)∈R}

I R transitiv wennR◦R ⊆R

I R reflexivwenn ∀x.(x,x)∈R

I R symmetrischwennR⁻¹ ⊆R

I Transitiv-reflexiver Abschluss:

R^∗=^\

S

R⊆S,S reflexiv und transitiv

I Äquivalenzabschluss:

R⁼=^\

S

R ⊆S,S reflexiv, transitiv und symmetrisch

I Notation:⇒_R=→^∗_R,⇔_R=→⁼_R

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Eigenschaften von ⇒

I t ist in Normalform, wennt ⇒Rs =⇒s =t

I s istNormalform vont (NF(t)), wenn t⇒Rs und s in Normalform

I s undt sind reduzierbar(s ↓t), wenn ∃u.s ⇒Ru,t⇒Ru

I Eigenschaften von⇒_R:

I Church-Rosser:s⇔_Rt dann s↓t

I Konfluenz:s₁⇐Rt ⇒Rs₂ danns₁↓s₂

I Termination: Keine unendliche Kettes1→Rs2→R s3. . .sn

(⇒R wohlfundiert)

Sätze

I Lemma:⇒R Church-Rosser gdw.⇒R konfluent

I Lemma: Wenn⇒_R terminierend und konfluent, dann

1. Normalform eindeutig

2. s⇔Rt gdw.NF(s) =NF(t)

I Satz:s ⇔Rt gdw. s =E t

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Kriterien für Konfluenz und Termination

I ⇒_R konfluent, wenn alle kritischen Paarereduzierbar

I ⇒_R terminierend, wennTerminationsordnung existiert

Simplifikation

I Simplifikation istTermersetzung:

I Gegeben Theorems=t, ersetzes durcht.

I Benutzung:apply (simp)

I Nutzt Gleichungen und Ungleichungen:

I Funktionsdefinitionen

I Vereinfachungsregeln fürDatentypen

I DeklarierteTheoreme

I Annahmendes lokalen Subgoals

I Benutztbedingte Gleichungen:s1=t1, . . . ,sn=tn=⇒s =t

I Ersetzts durcht, wenn Gleichungens₁=t₁. . .s_n=t_nrekursiv gezeigt werden können.

I Instantiiertkeine Meta-Variablen

I Erzeugtkeine neuen Subgoals, nur Vereinfachung

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Klassische Beweiser

I Beweisplaner:blast

I Konstruiert Beweis durch Suche

I Gelingt oder schlägt fehl:keineneuen Subgoals

I Klassischer Beweiser:clarify

I Wendet Einführungs- und Eliminationsregeln systematisch an

I Keineneuen Subgoals, nur Vereinfachung

I Sicher:keine unbeweisbaren Subgoals

I clarsimp: Kombination mit Simplifikation

I Vollautomatisch:auto

I Kombination verschiedener Beweiser

I InstantiiertMeta-Variablen, erzeugt neue Subgoals

Zusammenfassung

I Automatische Beweisprozeduren in Isabelle:

simp,blast,clarify,auto

I Wann welche benutzen?

I Gleichungsumformung, Reduktion:simp

I Regeln der Logik (Quantoren und Junktoren):clarify,blast

I “Triviale” Schritte:auto (nur alsletzte Methode!)

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