Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom 26.10.09: Formale Logik und nat¨urliches Schließen

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Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom 26.10.09:

Formale Logik und nat¨ urliches Schließen

Christoph L¨ uth, Lutz Schr¨ oder

Universit¨at Bremen

Wintersemester 2009/10

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Heute

I

Einf¨ uhrung in die formale Logik

I

Aussagenlogik

I Beispiel f¨ur eineeinfache Logik

I GuterAusgangspunkt

I

Nat¨ urliches Schließen

I Wird auch vonIsabelleverwendet.

I

Buchempfehlung:

Dirk van Dalen: Logic and Structure. Springer Verlag, 2004.

2

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Fahrplan

I

Teil I: Grundlagen der Formalen Logik

I Einf¨uhrung

I Nat¨urliches Schließen, Aussagenlogik

I Pr¨adikatenlogik 1. Stufe

I Grundlagen von Isabelle

I Logik h¨oherer Ordnung

I

Teil II: Arbeiten mit Isabelle

I

Teil III: Modellierung imperative Programme

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Formale Logik

I

Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie

I Wenn es regnet, wird die Straße nass.

I Es regnet.

I Also ist die Straße nass.

I Nachts ist es dunkel.

I Es ist hell.

I Also ist es nicht nachts.

I

Eine Logik besteht aus

I EinerSpracheLvonFormeln(Aussagen)

I Schlußregeln(Folgerungsregeln) auf diesen Formeln.

I

Damit: G¨ ultige (“wahre”) Aussagen berechnen.

4

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Formale Logik

I

Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie

I Es regnet.

I Es ist hell.

I

Eine Logik besteht aus

I

Damit: G¨ ultige (“wahre”) Aussagen berechnen.

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Formale Logik

I

Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie

I Es regnet.

I Es ist hell.

I

Eine Logik besteht aus

I

Damit: G¨ ultige (“wahre”) Aussagen berechnen.

4

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Formale Logik

I

Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie

I Es regnet.

I Es ist hell.

I

Eine Logik besteht aus

I

Damit: G¨ ultige (“wahre”) Aussagen berechnen.

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Formale Logik

I

Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie

I Es regnet.

I Es ist hell.

I

Eine Logik besteht aus

I

Damit: G¨ ultige (“wahre”) Aussagen berechnen.

4

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Formale Logik

I

Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie

I Es regnet.

I Es ist hell.

I

Eine Logik besteht aus

I

Damit: G¨ ultige (“wahre”) Aussagen berechnen.

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Beispiel f¨ ur eine Logik I

I

Sprache L = {♣, ♠,

♥,♦}

I

Schlußregeln:

♦

♣ α

♦

♠ β ♣ ♠

♥

γ

♦

δ

I

Beispielableitung:

♥

5

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Beispiel f¨ ur eine Logik I

I

Sprache L = {♣, ♠,

♥,♦}

I

Schlußregeln:

♦

♣ α

♦

♠ β ♣ ♠

♥

γ

♦

δ

I

Beispielableitung:

♥

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Beispiel f¨ ur eine Logik II

I

Sprache L = {♣, ♠,

♥,♦}

I

Schlußregeln:

♦

♣ α

♦

♠ β ♣ ♠

♥

γ

[♦]

.. .

♥

δ

⁰

I

Beispielableitung:

♥

6

(13)

Aussagenlogik

I

Sprache Prop gegeben durch:

1. VariablenV ⊆ Prop (MengeV gegeben) 2. false∈ Prop

3. Wennφ, ψ∈ Prop, dann

I φ∧ψ∈ Prop

I φ∨ψ∈ Prop

I φ−→ψ∈ Prop

I φ←→ψ∈ Prop

4. Wennφ∈ Prop, dann ¬φ∈ Prop.

(14)

Wann ist eine Formel g¨ ultig?

I

Semantische G¨ ultigkeit | = P : Wahrheitstabellen etc.

I Wirdhier nicht weiter verfolgt.

I

Syntaktische G¨ ultigkeit ` P : formale Ableitung,

I Nat¨urliches Schließen

I Sequenzenkalk¨ul

I Andere (Hilbert-Kalk¨ul,gleichungsbasierte Kalk¨ule, etc.)

I

Ziel: Kalk¨ ul, um G¨ ultigkeit in Prop zu beweisen

8

(15)

Nat¨ urliches Schließen

I

Vorgehensweise:

1. Erst Kalk¨ul nur f¨ur∧,−→,false

2. DannErweiterungauf alleKonnektive.

I

F¨ ur jedes Konnektiv: Einf¨ uhrungs- und Eliminitationsregel

I

NB: konstruktiver Inhalt der meisten Regeln

(16)

Nat¨ urliches Schließen — Die Regeln

φ ψ

φ ∧ ψ ∧I φ ∧ ψ

φ ∧E

_L

φ ∧ ψ ψ ∧E

_R

[φ]

.. . ψ

φ −→ ψ −→I

φ φ −→ ψ

ψ −→E

false φ false

[φ −→ false]

.. . false

φ raa

10

(17)

Konsistenz

I

Def: Γ konsistent gdw. Γ 6` false

I

Lemma: Folgende Aussagen sind ¨ aquivalent:

(i) Γ konsistent

(ii) Es gibt ein φ so dass Γ 6` φ

(iii) Es gibt kein φ so dass Γ ` φ und Γ ` ¬φ

I

Satz: Aussagenlogik mit nat¨ urlichem Schließen ist konsistent.

I

Satz: Aussagenlogik mit nat¨ urlichem Schließen ist vollst¨ andig und

entscheidbar

(18)

Die fehlenden Konnektive

I

Einf¨ uhrung als Abk¨ urzung:

¬φ

^def

= φ −→ false

φ ∨ ψ

^def

= ¬(¬φ ∧ ¬ψ)

φ ←→ ψ

^def

= (φ −→ ψ) ∧ (ψ −→ φ)

I

Ableitungsregeln als Theoreme.

12

(19)

Die fehlenden Schlußregeln

φ

φ ∨ ψ ∨I

_L

ψ φ ∨ ψ ∨I

_R

φ ∨ ψ [φ]

.. . σ

[ψ]

.. . σ

σ ∨E

[φ]

.. . false

¬φ ¬I φ ¬φ

false ¬E

φ −→ ψ ψ −→ φ

φ ←→ ψ ←→I φ φ ←→ ψ

ψ ←→E

_L

ψ φ ←→ ψ

φ ←→E

_R

(20)

Zusammenfassung

I

Formale Logik formalisiert das (nat¨ urlichsprachliche) Schlußfolgern

I

Logik: Aussagen plus Schlußregeln (Kalk¨ ul)

I

Aussagenlogik: Aussagen mit ∧, −→, false

I ¬,∨,←→ alsabgeleitete Operatoren

I

Nat¨ urliches Schließen: intuitiver Kalk¨ ul

I

Aussagenlogik konsistent, vollst¨ andig, entscheidbar.

I

N¨ achstes Mal: Quantoren, HOL.

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