Praktische Informatik 3: Einführung in die Funktionale Programmierung
Vorlesung vom 24.11.2010: Funktionen Höherer Ordnung
Christoph Lüth & Dennis Walter Universität Bremen Wintersemester 2010/11
Rev. 1204 1 [29]
Fahrplan
I Teil I: Funktionale Programmierung im Kleinen
IEinführung
IFunktionen und Datentypen
IRekursive Datentypen
ITypvariablen und Polymorphie
IFunktionen höherer Ordnung
ITypinferenz
I Teil II: Funktionale Programmierung im Großen I Teil III: Funktionale Programmierung im richtigen Leben
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Inhalt
IFunktionenhöherer Ordnung
IFunktionen alsgleichberechtigte Objekte
IFunktionen alsArgumente
ISpezielle Funktionen:map,filter,foldund Freunde Ifoldrvsfoldl
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Funktionen als Werte
I Argumente können auchFunktionensein.
I Beispiel: Funktionzweimalanwenden t w i c e :: (α→ α)→ α→ α t w i c e f x = f ( f x ) I Auswertung wie vorher:
twice inc 3 5 twice (twice inc ) 3 7
I Beispiel: Funktionn-mal hintereinanderanwenden:
i t e r :: I n t→ (α→ α)→ α→ α i t e r 0 f x = x
i t e r n f x | n> 0 = f ( i t e r ( n−1) f x )
| o t h e r w i s e = x I Auswertung:
iter 3 inc 6
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Funktionen Höherer Ordnung
Slogan
“Functions are first-class citizens.”
IFunktionen sindgleichberechtigt: Werte wiealle anderen
IGrundprinzipder funktionalen Programmierung
IReflektion
IFunktionenalsArgumente
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Funktionen als Argumente: Funktionskomposition
I Funktionskomposition(mathematisch)
(◦) :: (β→ γ) → (α→ β)→ α→ γ
( f ◦g ) x = f ( g x )
IVordefiniert
ILies:fnachg
I Funktionskompositionvorwärts:
(>.>) :: (α→ β)→ (β→ γ)→ α→ γ ( f >.> g ) x =g ( f x )
INichtvordefiniert!
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Funktionen als Argumente: Funktionskomposition
IVertauschen derArgumente(vordefiniert):
f l i p :: (α→ β→ γ)→ β→ α→ γ
f l i p f b a= f a b
IDamit Funktionskomposition vorwärts:
(>.>) :: (α→ β)→ (β→ γ)→ α→ γ (>.>) f g x = f l i p (◦) f g x
IOperatorennotation
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η-Kontraktion
I Alternative Definition der Vorwärtskomposition:PunktfreieNotation (>.>) :: (α→ β)→ (β→ γ)→ α→ γ
(>.>) = f l i p (◦) I Da fehlt doch was?! Nein:
(>.>)=flip (◦) ≡ (>.>) f g a=flip (◦) f g a
I η-Kontraktion (η-Äquivalenz)
IBedingung:E::α→β,x :: α,Edarfxnicht enthalten λx→E x ≡ E
ISyntaktischer SpezialfallFunktionsdefinition:
f x=E x ≡ f =E
I Warum?ExtensionaleGleichheit von Funktionen
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Funktionen als Argumente: map
IFunktionauf alle Elemente anwenden:map ISignatur:
map :: (α→ β)→ [α]→ [β] IDefinition
map f [ ] = [ ]
map f ( x : x s ) = f x : map f x s IBeispiel:
t o L :: S t r i n g→ S t r i n g t o L = map t o L o w e r
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Funktionen als Argumente: filter
I Elementefiltern:filter I Signatur:
f i l t e r :: (α→ B o o l )→ [α]→ [α]
I Definition
f i l t e r p [ ] = [ ] f i l t e r p ( x : x s )
| p x = x : f i l t e r p x s
| o t h e r w i s e = f i l t e r p x s I Beispiel:
l e t t e r s :: S t r i n g→ S t r i n g l e t t e r s = f i l t e r i s A l p h a
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Beispiel: Primzahlen
ISieb des Erathostenes
IFür jedegefundene PrimzahlpalleVielfachenheraussieben
IDazu:filternmit\n→mod n p/=0!
INamenlose(anonyme) Funktion IPrimzahlen im Intervall[1.. n]:
s i e v e :: [ I n t e g e r ]→ [ I n t e g e r ] s i e v e [ ] = [ ]
s i e v e ( p : p s ) =
p : s i e v e ( f i l t e r ( \n→ mod n p /= 0 ) p s ) p r i m e s :: I n t e g e r→ [ I n t e g e r ]
p r i m e s n= s i e v e [ 2 . . n ]
INB: Mit2anfangen!
IListengenerator[n.. m]
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Partielle Applikation
I Funktionskonstruktorrechtsassoziativ:
a→b→c≡a→(b→c)
IInbesondere:(a→b)→c6=a→(b→c) I Funktionsanwendung istlinksassoziativ:
f a b≡( f a) b I Inbesondere:f (a b)6=( f a) b
I PartielleAnwendung von Funktionen:
IFürf :: a→b→c,x :: aistf x :: b→c(closure) I Beispiele:
Imap toLower::String→String
I (3==)::Int→Bool
Iconcat◦map ( replicate 2) :: String→String
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Einfache Rekursion
IEinfache Rekursion: gegeben durch
Ieine Gleichungfür dieleere Liste
Ieine Gleichungfür dienicht-leere Liste
IBeispiel:sum,concat,length,(++), . . . IAuswertung:
sum [4,7,3] 4 + 7 + 3 + 0
concat [A, B, C] A ++ B ++ C++ []
length [4, 5, 6] 1+ 1+ 1+ 0
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Einfache Rekursion
I Allgemeines Muster:
f [] = A
f (x:xs) = x⊗f xs I Parameterder Definition:
IStartwert (für die leere Liste)A::b
IRekursionsfunktion⊗:: a -> b-> b I Auswertung:
f [x1,..., xn]=x1⊗x2⊗. . .⊗xn⊗A I Terminiertimmer
I Entspricht einfacherIteration(while-Schleife)
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Einfach Rekursion durch foldr
IEinfacheRekursion
IBasisfall: leere Liste
IRekursionsfall: Kombination aus Listenkopf und Rekursionswert
ISignatur
f o l d r :: (α→ β→ β)→ β→ [α]→ β IDefinition
f o l d r f e [ ] = e
f o l d r f e ( x : x s ) = f x ( f o l d r f e x s )
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Beispiele: foldr
I Summierenvon Listenelementen.
sum :: [ I n t ]→ I n t sum x s = f o l d r (+) 0 x s I Flachklopfenvon Listen.
c o n c a t :: [ [ a ] ]→ [ a ] c o n c a t x s = f o l d r (++) [ ] x s I Längeeiner Liste
l e n g t h :: [ a ]→ I n t
l e n g t h x s = f o l d r (λx n→ n+ 1 ) 0 x s
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Noch ein Beispiel: rev
IListenumdrehen:
r e v :: [ a ]→ [ a ]
r e v [ ] = [ ]
r e v ( x : x s ) = r e v x s ++ [ x ] IMitfold:
r e v x s = f o l d r s n o c [ ] x s s n o c :: a→ [ a ]→ [ a ] s n o c x x s = x s ++ [ x ] IUnbefriedigend: doppelte Rekursion
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Einfache Rekursion durch foldl
I foldrfaltet vonrechts:
foldr⊗[x1, ...,xn]A=x1⊗(x2⊗(. . .(xn⊗A))) I Warum nichtandersherum?
foldl⊗[x1, ...,xn]A= (((A⊗x1)⊗x2). . .)⊗xn I Definition vonfoldl:
f o l d l :: (α → β → α) → α → [β] → α
f o l d l f a [ ] = a
f o l d l f a ( x : x s ) = f o l d l f ( f a x ) x s
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Beispiel: rev revisited
IListenumkehr ist faltenvon links:
r e v ’ x s = f o l d l ( f l i p ( : ) ) [ ] x s
INur nocheineRekursion
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foldr vs. foldl
I f=foldr⊗Aentspricht
f [] = A
f (x:xs) = x⊗f xs
IKann nicht-strikt inxssein, z.B.and,or I f=foldl⊗Aentspricht
f xs = g A xs
g a [] = a
g a (x:xs) = g(a⊗x)xs
IEndrekursiv(effizient), aber strikt inxs
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foldl = foldr
Definition (Monoid) (⊗,A)ist einMonoidwenn
A⊗x=x (Neutrales Element links) x⊗A=x (Neutrales Element rechts) (x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z) (Assoziativät) Theorem
Wenn(⊗,A)Monoid, dann für alleA,xs foldl⊗Axs=foldr⊗Axs
IBeispiele:length,concat,sum IGegenbeispiel:rev
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Funktionen Höherer Ordnung: Java
I Java: keine direkte Syntax für Funktionen höherer Ordnung I Folgendes istnichtmöglich:
i n t e r f a c e C o l l e c t i o n {
O b j e c t f o l d ( O b j e c t f ( O b j e c t a , C o l l e c t i o n c ) , O b j e c t a ) }
I Aber folgendes:
i n t e r f a c e F o l d a b l e { O b j e c t f ( O b j e c t a ) ; } i n t e r f a c e C o l l e c t i o n {
O b j e c t f o l d ( F o l d a b l e f , O b j e c t a ) ; } I VergleicheIteratoraus Collections Framework (Java SE 6):
p u b l i c i n t e r f a c e I t e r a t o r<E>
b o o l e a n h a s N e x t ( ) ; E n e x t ( ) ; }
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Funktionen Höherer Ordnung: C
IImplizitvorhanden: Funktionen = Zeiger auf Funktionen t y p e d e f s t r u c t l i s t _ t {
v o i d ∗e l e m ;
s t r u c t l i s t _ t ∗n e x t ; } ∗l i s t ;
l i s t f i l t e r (i n t f (v o i d ∗x ) , l i s t l ) ; IKeinedirekteSyntax (e.g. namenlose Funktionen) ITypsystem zuschwach(keine Polymorphie) IBenutzung:signal(C-Standard 7.14.1)
#i n c l u d e <s i g n a l . h>
v o i d (∗s i g n a l (i n t s i g , v o i d (∗f u n c ) (i n t) ) ) (i n t) ;
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Funktionen Höherer Ordnung: C
Implementierung vonfilter:
l i s t f i l t e r (i n t f (v o i d ∗x ) , l i s t l ) { i f ( l == NULL ) {
r e t u r n NULL ; }
e l s e { l i s t r ;
r= f i l t e r ( f , l→ n e x t ) ; i f ( f ( l→ e l e m ) ) {
l→n e x t= r ; r e t u r n l ; }
e l s e { f r e e ( l ) ; r e t u r n r ;
} } }
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Übersicht: vordefinierte Funktionen auf Listen II
map :: (α→ β)→ [α]→ [β] −−Auf alle anwenden f i l t e r :: (α→ B o o l )→ [α]→ [α] −−Elemente filtern f o l d r :: (α→ β→ β)→ β→ [α]→ β −−Falten v. rechts f o l d l :: (β→ α→ β)→ β→ [α]→ β −−Falten v. links t a k e W h i l e :: (α→ B o o l )→ [α]→ [α]
d r o p W h i l e :: (α→ B o o l )→ [α]→ [α]
−−takeWhile ist längster Prefix so dass p gilt, dropWhile der Rest any :: (α → B o o l ) → [α] → B o o l −−p gilt mind. einmal
a l l :: (α → B o o l ) → [α] → B o o l −−p gilt für alle e l e m :: ( Eq α) ⇒ α → [α] → B o o l −−Ist enthalten?
z i p W i t h :: (α → β → γ) → [α] → [β] → [γ]
−−verallgemeinertes zip
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Allgemeine Rekursion
I EinfacheRekursion istSpezialfallderallgemeinen Rekursion
I AllgemeineRekursion:
IRekursion übermehrere Argumente
IRekursion überandere Datenstruktur
IAndere Zerlegungals Kopf und Rest
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Beispiele für allgemeine Rekursion: Sortieren
IQuicksort:
Izerlege Liste in Elementekleiner,gleichundgrößerdem ersten,
IsortiereTeilstücke,konkateniereErgebnisse
IMergesort:
IteileListe in derHälfte,
IsortiereTeilstücke, fügeordnungserhaltendzusammen.
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Beispiel für allgemeine Rekursion: Mergesort
I Hauptfunktion:
m s o r t :: Ord α⇒ [α]→ [α] m s o r t x s
| l e n g t h x s ≤1 = x s
| o t h e r w i s e = merge ( m s o r t f ) ( m s o r t b ) where ( f , b ) = s p l i t A t ( ( l e n g t h x s ) ‘ d i v ‘ 2 ) x s
I splitAt :: Int→[α]→([α], [α])spaltetListe auf I Hilfsfunktion: ordnungserhaltendes Zusammenfügen
merge :: Ord α⇒ [α]→ [α]→ [α]
merge [ ] x = x merge y [ ] = y merge ( x : x s ) ( y : y s )
| x≤ y = x : ( merge x s ( y : y s ) )
| o t h e r w i s e = y : ( merge ( x : x s ) y s )
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Zusammenfassung
IFunktionenhöherer Ordnung
IFunktionen alsgleichberechtigte ObjekteundArgumente
IPartielle Applikation,η-Kontraktion, namenlose Funktionen
ISpezielle Funktionen höherer Ordnung:map,filter,foldund Freunde IFormen derRekursion:
IEinfacheundallgemeineRekursion
IEinfacheRekursion entsprichtfoldr
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