Praktische Informatik 3: Funktionale Programmierung Vorlesung 5 vom 13.11.2012: Funktionen Höherer Ordnung I

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Praktische Informatik 3: Funktionale Programmierung Vorlesung 5 vom 13.11.2012: Funktionen Höherer Ordnung I

Christoph Lüth Universität Bremen Wintersemester 2012/13

Rev. 1872 1 [29]

Fahrplan

I Teil I: Funktionale Programmierung im Kleinen

IEinführung

IFunktionen und Datentypen

IRekursive Datentypen

ITypvariablen und Polymorphie

IFunktionen höherer Ordnung I

IFunktionen höherer Ordnung II

ITypinferenz

I Teil II: Funktionale Programmierung im Großen I Teil III: Funktionale Programmierung im richtigen Leben

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Inhalt

I Funktionenhöherer Ordnung

I Funktionen alsgleichberechtigte Objekte

I Funktionen alsArgumente

I Spezielle Funktionen:map,filter,foldund Freunde

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Muster der primitiven Rekursion

I Anwenden einer Funktion aufjedes Element der Liste

I möglicherweiseFilternbestimmter Elemente

I Kombinationder Ergebnisse zu einem GesamtergebnisE

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

E

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Ein einheitlicher Rahmen

I Beispiele:

t o L :: S t r i n g→ S t r i n g

t o L [ ] = [ ]

t o L ( c : c s ) =

t o L o w e r c : t o L c s

toU :: S t r i n g→ S t r i n g

toU [ ] = [ ]

toU ( c : c s ) =

t o U p p e r c : t o L c s I Warum nicht . . .

map f [ ] = [ ]

map f ( c : c s ) = f c : map f c s t o L c s =map t o L o w e r c s toU c s =map t o U p p e r c s I FunktionfalsArgument I Was hättemapfür einenTyp?

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Funktionen Höherer Ordnung

Slogan

“Functions are first-class citizens.”

I Funktionen sindgleichberechtigt: Ausdrücke wiealle anderen

I Grundprinzipder funktionalen Programmierung

I Modellierungallgemeiner Berechungsmuster

I Kontrollabstraktion

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Funktionen als Argumente: map

I mapwendet Funktion auf alle Elemente an I Signatur:

map :: (α→ β)→ [α]→ [β] I Definition wie oben

map f [ ] = [ ]

map f ( x : x s ) = f x : map f x s I Auswertung (wie vorher):

toL "ABC" map toLower (’A’:’B ’:’ C’:[ ]) toLower ’A’ : map toLower (’B’:’C’:[ ]) . . . ’a ’:’ b ’:’ c ’ : map toLower[ ]

’a ’:’ b ’:’ c ’: [ ]="abc"

I Funktionsausdrückereduzieren durchApplikation

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Funktionen als Argumente: filter

I Elementefiltern:filter I Signatur:

f i l t e r :: (α→ B o o l )→ [α]→ [α]

I Definition

f i l t e r p [ ] = [ ] f i l t e r p ( x : x s )

| p x = x : f i l t e r p x s

| o t h e r w i s e = f i l t e r p x s I Beispiel:

l e t t e r s :: S t r i n g→ S t r i n g l e t t e r s = f i l t e r i s A l p h a

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Beispiel filter: Primzahlen

I Sieb des Erathostenes

I Für jedegefundene PrimzahlpalleVielfachenheraussieben

I Dazu:filternmit\n→mod n p/=0!

I Namenlose(anonyme) Funktion

s i e v e :: [ I n t e g e r ]→ [ I n t e g e r ] s i e v e [ ] = [ ]

s i e v e ( p : p s ) =

p : s i e v e ( f i l t e r ( \n→ mod n p /= 0 ) p s ) I Primzahlen im Intervall[1.. n]:

p r i m e s T o :: I n t e g e r→ [ I n t e g e r ] p r i m e s T o n = s i e v e [ 2 . . n ] I Die erstennPrimzahlen:

p r i m e s :: I n t→ [ I n t e g e r ] p r i m e s n= t a k e n ( s i e v e [ 2 . . ] )

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Funktionen als Argumente: Funktionskomposition

I Funktionskomposition(mathematisch)

(◦) :: (β→ γ) → (α→ β)→ α→ γ

( f ◦g ) x = f ( g x )

IVordefiniert

ILies:fnachg

I Funktionskompositionvorwärts:

(>.>) :: (α→ β)→ (β→ γ)→ α→ γ ( f >.> g ) x =g ( f x )

INichtvordefiniert!

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η-Kontraktion

I Vertauschen derArgumente(vordefiniert):

f l i p :: (α→ β→ γ)→ β→ α→ γ

f l i p f b a= f a b

I Damit Funktionskomposition vorwärts:

(>.>) :: (α→ β)→ (β→ γ)→ α→ γ (>.>) = f l i p (◦)

I Da fehlt doch was?! Nein:

(>.>)=flip (◦) ≡ (>.>) f g a=flip (◦) f g a

I η-Kontraktion (η-Äquivalenz)

I Bedingung:E:: α→β,x:: α,Edarfxnicht enthalten λx→E x ≡ E

I Syntaktischer SpezialfallFunktionsdefinition(punktfreie Notation)

f x=E x ≡ f=E

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Partielle Applikation

I Funktionskonstruktorrechtsassoziativ:

a→b→c≡a→(b→c)

IInbesondere:(a→b)→c6=a→(b→c) I Funktionsanwendung istlinksassoziativ:

f a b≡( f a) b

IInbesondere:f (a b)6=( f a) b I PartielleAnwendung von Funktionen:

IFürf :: a→b→c,x :: aistf x :: b→c(closure) I Beispiele:

Imap toLower::String→String

I (3==)::Int→Bool

Iconcat◦map ( replicate 2) :: String→String

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Einfache Rekursion

I Einfache Rekursion: gegeben durch

I eine Gleichungfür dieleere Liste

I eine Gleichungfür dienicht-leere Liste (miteinemrekursiven Aufruf)

I Beispiel:kasse,inventur,sum,concat,length, (++), . . .

I Auswertung:

sum [4,7,3] 4 + 7 + 3 + 0

concat [A, B, C] A++B++C++ [ ]

length [4, 5, 6] 1+ 1+ 1+ 0

x₁ x₂ x₃ x₄

E

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Einfache Rekursion

I Allgemeines Muster:

f [] = A

f (x:xs) = x⊗f xs I Parameterder Definition:

IStartwert (für die leere Liste)A::b

IRekursionsfunktion⊗:: a -> b-> b I Auswertung:

f [x1,..., xn]=x1⊗x2⊗. . .⊗xn⊗A I Terminiertimmer (wenn Listeendlichund⊗,Aterminieren) I Entspricht einfacherIteration(while-Schleife)

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Einfach Rekursion durch foldr

I EinfacheRekursion

I Basisfall: leere Liste

I Rekursionsfall: Kombination aus Listenkopf und Rekursionswert

I Signatur

f o l d r :: (α→ β→ β)→ β→ [α]→ β I Definition

f o l d r f e [ ] = e

f o l d r f e ( x : x s ) = f x ( f o l d r f e x s )

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Beispiele: foldr

I Summierenvon Listenelementen.

sum :: [ I n t ]→ I n t sum x s = f o l d r (+) 0 x s I Flachklopfenvon Listen.

c o n c a t :: [ [ a ] ]→ [ a ] c o n c a t x s = f o l d r (++) [ ] x s I Längeeiner Liste

l e n g t h :: [ a ]→ I n t

l e n g t h x s = f o l d r (λx n→ n+ 1 ) 0 x s

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Beispiele: foldr

I Kasse:

type E i n k a u f s w a g e n = [ ( A r t i k e l , Menge ) ] k a s s e :: E i n k a u f s w a g e n→ I n t

k a s s e = f o l d r (λ( a , m) r→ c e n t a m+ r ) 0

I Inventur

type L a g e r = [ ( A r t i k e l , Menge ) ] i n v e n t u r :: L a g e r→ I n t

i n v e n t u r = f o l d r (λ( a , m) r→ c e n t a m+ r ) 0

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Noch ein Beispiel: rev

I Listenumdrehen:

r e v :: [ a ]→ [ a ]

r e v [ ] = [ ]

r e v ( x : x s ) = r e v x s ++ [ x ] I Mitfold:

r e v x s = f o l d r s n o c [ ] x s s n o c :: a→ [ a ]→ [ a ] s n o c x x s = x s ++ [ x ] I Unbefriedigend: doppelte Rekursion

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Einfache Rekursion durch foldl

I foldrfaltet vonrechts:

foldr⊗[x1, ...,xn]A=x1⊗(x2⊗(. . .(xn⊗A))) I Warum nichtandersherum?

foldl⊗[x1, ...,xn]A= (((A⊗x1)⊗x2). . .)⊗xn I Definition vonfoldl:

f o l d l :: (α → β → α) → α → [β] → α

f o l d l f a [ ] =a

f o l d l f a ( x : x s ) = f o l d l f ( f a x ) x s

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Beispiel: rev revisited

I Listenumkehr ist faltenvon links:

r e v ’ x s = f o l d l ( f l i p ( : ) ) [ ] x s

I Nur nocheineRekursion

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foldr vs. foldl

I f=foldr⊗Aentspricht

f [] = A

f (x:xs) = x⊗f xs

I Kann nicht-strikt inxssein, z.B.and,or I f=foldl⊗Aentspricht

f xs = g A xs

g a [] = a

g a (x:xs) = g(a⊗x)xs

I Endrekursiv(effizient), aber strikt inxs

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foldl = foldr

Definition (Monoid) (⊗,A)ist einMonoidwenn

A⊗x=x (Neutrales Element links) x⊗A=x (Neutrales Element rechts) (x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z) (Assoziativät) Theorem

Wenn(⊗,A)Monoid, dann für alleA,xs foldl⊗Axs=foldr⊗Axs

I Beispiele:length,concat,sum I Gegenbeispiel:rev

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Funktionen Höherer Ordnung: Java

I Java: keine direkte Syntax für Funktionen höherer Ordnung I Folgendes istnichtmöglich:

i n t e r f a c e C o l l e c t i o n {

O b j e c t f o l d ( O b j e c t f ( O b j e c t a , C o l l e c t i o n c ) , O b j e c t a ) }

I Aber folgendes:

i n t e r f a c e F o l d a b l e { O b j e c t f ( O b j e c t a ) ; } i n t e r f a c e C o l l e c t i o n {

O b j e c t f o l d ( F o l d a b l e f , O b j e c t a ) ; } I VergleicheIteratoraus Collections Framework (Java SE 6):

p u b l i c i n t e r f a c e I t e r a t o r<E>

b o o l e a n h a s N e x t ( ) ; E n e x t ( ) ; }

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Funktionen Höherer Ordnung: C

I Implizitvorhanden: Funktionen = Zeiger auf Funktionen t y p e d e f s t r u c t l i s t _ t {

v o i d ∗e l e m ;

s t r u c t l i s t _ t ∗n e x t ; } ∗l i s t ;

l i s t f i l t e r (i n t f (v o i d ∗x ) , l i s t l ) ; I KeinedirekteSyntax (e.g. namenlose Funktionen) I Typsystem zuschwach(keine Polymorphie) I Benutzung:signal(C-Standard 7.14.1)

#i n c l u d e <s i g n a l . h>

v o i d (∗s i g n a l (i n t s i g , v o i d (∗f u n c ) (i n t) ) ) (i n t) ;

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Funktionen Höherer Ordnung: C

Implementierung vonfilter:

l i s t f i l t e r (i n t f (v o i d ∗x ) , l i s t l ) { i f ( l ==NULL ) {

r e t u r n NULL ; }

e l s e { l i s t r ;

r= f i l t e r ( f , l→ n e x t ) ; i f ( f ( l→ e l e m ) ) {

l→n e x t= r ; r e t u r n l ; }

e l s e { f r e e ( l ) ; r e t u r n r ;

} } }

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Übersicht: vordefinierte Funktionen auf Listen II

map :: (α→ β)→ [α]→ [β] −−Auf alle anwenden f i l t e r :: (α→ B o o l )→ [α]→ [α] −−Elemente filtern f o l d r :: (α→ β→ β)→ β→ [α]→ β −−Falten v. rechts f o l d l :: (β→ α→ β)→ β→ [α]→ β −−Falten v. links t a k e W h i l e :: (α→ B o o l )→ [α]→ [α]

d r o p W h i l e :: (α→ B o o l )→ [α]→ [α]

−−takeWhile ist längster Prefix so dass p gilt, dropWhile der Rest any :: (α → B o o l ) → [α] → B o o l −−p gilt mind. einmal a l l :: (α → B o o l ) → [α] → B o o l −−p gilt für alle e l e m :: ( Eq α) ⇒ α → [α] → B o o l −−Ist enthalten?

z i p W i t h :: (α → β → γ) → [α] → [β] → [γ]

−−verallgemeinertes zip

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Zusammenfassung

I Funktionenhöherer Ordnung

I Funktionen alsgleichberechtigte ObjekteundArgumente

I Partielle Applikation,η-Kontraktion, namenlose Funktionen

I Spezielle Funktionen höherer Ordnung:map,filter,foldund Freunde I Formen derRekursion:

I EinfacheRekursion entsprichtfoldr

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Praktische Informatik 3: Funktionale Programmierung Vorlesung 5 vom 13.11.2012: Funktionen Höherer Ordnung I