Funktionen Höherer Ordnung

(1)

Praktische Informatik 3: Funktionale Programmierung Vorlesung 6 vom 20.11.2018: Funktionen Höherer Ordnung I

Christoph Lüth

Universität Bremen Wintersemester 2018/19

16:03:08 2018-12-18 1 [35]

Fahrplan

I Teil I: Funktionale Programmierung im Kleinen

IEinführung

IFunktionen

IAlgebraische Datentypen

ITypvariablen und Polymorphie

IZyklische Datenstrukturen

I Funktionen höherer Ordnung I

IFunktionen höherer Ordnung II

I Teil II: Funktionale Programmierung im Großen

I Teil III: Funktionale Programmierung im richtigen Leben

PI3 WS 18/19 2 [35]

Inhalt

I Funktionenhöherer Ordnung:

I Funktionen alsgleichberechtigte Objekte

I Funktionen alsArgumente

I Spezielle Funktionen:map,f i l t e r,foldund Freunde

PI3 WS 18/19 3 [35]

Funktionen als Werte

PI3 WS 18/19 4 [35]

Funktionen Höherer Ordnung

Slogan

“Functions are first-class citizens.”

I Funktionen sindgleichberechtigt: Ausdrücke wiealle anderen

I Grundprinzipder funktionalen Programmierung

I Modellierungallgemeiner Berechungsmuster

I Kontrollabstraktion

PI3 WS 18/19 5 [35]

Ein einheitlicher Rahmen

I Zwei ähnliche Funktionen:

toL :: String→String toL [ ] = [ ]

toL (c : cs ) = toLower c : toL cs

toU :: String→ String toU [ ] = [ ]

toU (c : cs ) = toUpper c : toU cs I Warum nichteineFunktion . . . undzweiInstanzen?

map f [ ] = [ ]

map f (c : cs ) = f c : map f cs toL cs = map toLower cs toU cs = map toUpper cs I FunktionfalsArgument

I Was hättemapfür einenTyp?

PI3 WS 18/19 8 [35]

(2)

Funktionen als Werte: Funktionstypen

I Was hättemapfür einenTyp?

map f [ ] = [ ]

map f (c : cs ) = f c : map f cs I Was ist der Typ desersten Arguments?

I Eine Funktion mit beliebigen Definitions- und Wertebereich:α→β I Was ist der Typ deszweiten Arguments?

I Eine Liste, auf deren Elemente die Funktionfangewant wird:[α]

I Was ist derErgebnistyp?

I Eine Liste von Elementen aus dem Wertebereich vonf:[β]

I Alleszusammengesetzt:

map :: (α→β)→ [α]→ [β]

PI3 WS 18/19 9 [35]

Map und Filter

PI3 WS 18/19 10 [35]

Funktionen als Argumente: map

Imapwendet Funktion auf alle Elemente an I Signatur:

map :: (α→β)→ [α]→ [β]

map f [ ] = [ ]

map f (c : cs ) = f c : map f cs I Auswertung:

toL "AB" →map toLower ( ’A’ : ’B’ : [ ] )

→toLower ’A’ : map toLower ( ’B’ : [ ] )

→’a ’ :map toLower ( ’B’ : [ ] )

→’a ’ : toLower ’B’ :map toLower [ ]

→’a ’ : ’ b ’ :map toLower [ ]

→’a ’ : ’ b ’ : [ ]≡"ab"

I Funktionsausdrückewerden symbolisch reduziert

I Keine Änderung

PI3 WS 18/19 11 [35]

Funktionen als Argumente: f i l t e r

I Elementefiltern:f i l t e r I Signatur:

f i l t e r :: (α→ Bool)→ [α]→ [α]

I Definition

f i l t e r p [ ] = [ ] f i l t e r p (x : xs )

| p x = x : f i l t e r p xs

| otherwise = f i l t e r p xs I Beispiel:

l e t t e r s :: String→ String l e t t e r s = f i l t e r isAlpha

PI3 WS 18/19 12 [35]

Beispiel f i l t e r : Sieb des Erathostenes

I Für jedegefundene PrimzahlpalleVielfachenheraussieben:

sieve (p : ps ) = p : sieve ( f i l t e r ps ) where f i l t e r (q : qs )

| q ‘mod‘ p6= 0 = q : f i l t e r qs

| otherwise = f i l t e r qs I Einfacher mitf i l t e r

I Es wird gefiltert mitmod q p6= 0(Funktionsparameterq) I Namenlose(anonyme) Funktionλq→mod q p6= 0

sieve :: [ Integer ]→ [ Integer ]

sieve (p : ps ) = p : sieve ( f i l t e r (λq→q ‘mod‘ p6= 0) ps )

PI3 WS 18/19 13 [35]

Funktionen Höherer Ordnung

PI3 WS 18/19 14 [35]

Funktionen als Argumente: Funktionskomposition

I Funktionskomposition(mathematisch) (◦) :: (β→γ) → (α→β)→α→γ

( f◦g) x = f (g x)

I Vordefiniert

I Lies:fnachg

I Funktionskompositionvorwärts:

(>.>) :: (α→β)→ (β→γ)→α→ γ ( f>.>g) x = g ( f x)

I Nichtvordefiniert

PI3 WS 18/19 15 [35]

η-Kontraktion

I “>.>ist dasselbe wie ◦ nur mit vertauschten Argumenten”

I Vertauschen derArgumente(vordefiniert):

f l i p :: (α→β→γ)→β→α→γ f l i p f b a = f a b

I Damit Funktionskomposition vorwärts:

(>.>) :: (α→β)→ (β→γ)→α→γ (>.>) = f l i p (◦)

I Da fehlt doch was?! Nein:

(>.>) = flip (◦) ≡ (>.>) f g a = flip (◦) f g a I Warum?

PI3 WS 18/19 16 [35]

(3)

η-Äquivalenz und η-Kontraktion

η-Äquivalenz

Seif eine Funktionf:A→B, dann giltf=λx.f x

I In Haskell:η-Kontraktion

I Bedingung: AusdruckE :: α→β, Variablex :: α,Edarfxnicht enthalten λx→E x ≡ E

I SpezialfallFunktionsdefinition(punktfreieNotation) f x = E x ≡ f = E I Hier:

(>.>) f g a = flip (◦) f g a ≡ (>.>) f g a = flip (◦) f g a

PI3 WS 18/19 17 [35]

Partielle Applikation

I Funktionskonstruktorrechtsassoziativ:

α→β→γ≡α→ (β→γ)

IInbesondere:(α→β)→γ6=α→(β→γ) I Funktionsanwendung istlinksassoziativ:

f a b≡( f a) b

IInbesondere:f (a b)6=( f a) b I PartielleAnwendung von Funktionen:

IFürf :: α→β→γ,x :: αistf x :: β→γ I Beispiele:

Imap toLower :: String→String

I (3 ==) :: Int→Bool

I concat◦map ( r e p l i c a t e 2) :: String→String

PI3 WS 18/19 18 [35]

Strukturelle Rekursion

PI3 WS 18/19 19 [35]

Strukturelle Rekursion

I Strukturelle Rekursion: gegeben durch

Ieine Gleichungfür dieleere Liste

Ieine Gleichungfür dienicht-leere Liste (miteinemrekursiven Aufruf)

I Beispiel:kasse,inventur,sum,concat, length,(++), . . .

I Auswertung:

sum [4 ,7 ,3] → 4 + 7 + 3 + 0 concat [A, B, C] → A ++ B ++ C++ [ ] length [4 , 5 , 6] → 1+ 1+ 1+ 0

x₁ x₂ x₃ x₄

E

PI3 WS 18/19 20 [35]

Strukturelle Rekursion

I Allgemeines Muster:

f [ ] = e

f (x : xs ) = x⊗f xs I Parameterder Definition:

I Startwert (für die leere Liste)e :: β

I Rekursionsfunktion⊗ :: α→β→β I Auswertung:

f [ x1 , . . ., xn ] = x1⊗x2⊗. . .⊗xn⊗e I Terminiertimmer (wenn Listeendlichund⊗,eterminieren)

PI3 WS 18/19 21 [35]

Strukturelle Rekursion durch f o l d r

I StukturelleRekursion

IBasisfall: leere Liste

IRekursionsfall: Kombination aus Listenkopf und Rekursionswert

I Signatur

f o l d r :: (α→β→β)→β→ [α]→β

I Definition

f o l d r f e [ ] = e

f o l d r f e (x : xs ) = f x ( f o l d r f e xs )

PI3 WS 18/19 22 [35]

Beispiele: f o l d r

I Summierenvon Listenelementen.

sum :: [ Int ]→ Int sum xs = f o l d r (+) 0 xs I Flachklopfenvon Listen.

concat :: [ [ a ] ]→ [ a ] concat xs = f o l d r (++) [ ] xs

I Längeeiner Liste length :: [ a ]→ Int

length xs = f o l d r (λx n→n+ 1) 0 xs

PI3 WS 18/19 23 [35]

Beispiele: f o l d r

I Konjunktioneiner Liste and :: [ Bool ] → Bool and xs = f o l d r (&&) True xs

I Konjunktionvon Prädikaten a l l :: (α→ Bool)→ [α] → Bool a l l p = and◦map p

PI3 WS 18/19 24 [35]

(4)

Der Shoppe, revisited.

I Kassealt:

kasse :: Einkaufswagen→ Int kasse (Ekwg ps ) = kasse ’ pswhere

kasse ’ [ ] = 0

kasse ’ (p : ps ) = cent p+ kasse ’ ps I Kasseneu:

kasse ’ :: Einkaufswagen→ Int

kasse ’ (Ekwg ps ) = f o l d r (λp ps→ cent p+ ps ) 0 ps Besser:

kasse :: Einkaufswagen→ Int kasse (Ekwg ps ) = sum (map cent ps)

PI3 WS 18/19 25 [35]

Der Shoppe, revisited.

I Inventuralt:

inventur :: Lager→ Int

inventur (Lager ps ) = inventur ’ ps where inventur ’ [ ] = 0

inventur ’ (p : ps ) = cent p+ inventur ’ ps

I Suche nach einem Artikelneu:

inventur :: Lager→ Int

inventur (Lager l ) = sum (map cent l )

PI3 WS 18/19 26 [35]

Der Shoppe, revisited.

I Suche nach einem Artikelalt:

suche :: A r t i k e l→ Lager→Maybe Menge suche art (Lager ps ) = suche ’ art pswhere

suche ’ art (Posten l a r t m: l )

| art == l a r t = Just m

| otherwise = suche ’ art l suche ’ art [ ] = Nothing I Suche nach einem Artikelneu:

suche :: A r t i k e l→ Lager→Maybe Menge suche a (Lager ps ) =

listToMaybe (map (λ(Posten _ m)→m)

( f i l t e r (λ(Posten l a _) → l a == a) ps ))

PI3 WS 18/19 27 [35]

Der Shoppe, revisited.

I Kassenbon formatierenneu:

kassenbon :: Einkaufswagen→ String kassenbon ew@(Ekwg ps ) =

"Bob’ s␣Aulde␣Grocery␣Shoppe\n\n"++

" A r t i k e l ␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣Menge␣␣␣␣␣␣Preis\n"++

"−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−\n"++ concatMap a r t i k e l ps ++

"=====================================\n"++

"Summe: "++ formatR 31 (showEuro ( kasse ew)) a r t i k e l :: Posten→ String

PI3 WS 18/19 28 [35]

Noch ein Beispiel: rev

I Listenumdrehen:

rev1 :: [α]→ [α]

rev1 [ ] = [ ]

rev1 (x : xs ) = rev1 xs ++ [ x ]

I Mitf o l d r:

rev2 :: [α]→ [α]

rev2 = f o l d r (λx xs→ xs++ [ x ] ) [ ]

I Unbefriedigend: doppelte RekursionO(n²)!

PI3 WS 18/19 29 [35]

Iteration mit f o l d l

I f o l d rfaltet vonrechts:

f o l d r⊗[ x1 , . . ., xn ] e = x1⊗x2 (x2⊗( . . . (xn⊗e ))) I Warum nichtandersherum?

f o l d l⊗[ x1 , . . ., xn ] e = ((( e⊗x1)⊗x2).. .)⊗xn I Definition vonf o l d l:

f o l d l :: (α→β →α) →α→ [β] →α f o l d l f a [ ] = a

f o l d l f a (x : xs ) = f o l d l f ( f a x) xs

I f o l d list einIteratormit Anfangszustande, Iterationsfunktion⊗ I Entspricht einfacher Iteration (for-Schleife)

PI3 WS 18/19 30 [35]

f o l d r vs. f o l d l

I f = f o l d r⊗eentspricht

f [ ] = e

f (x : xs ) = x⊗f xs

I Nicht-striktinxs, z.B.and,or

I Konsumiert nicht immer die ganze Liste

I Auch für unendliche Listen anwendbar

I f = f o l d l⊗eentspricht f xs = g e xswhere

g a [ ] = a

g a (x : xs ) = g (a⊗x) xs

I Effizient(endrekursiv) undstriktinxs

I Konsumiert immer die ganze Liste

I Divergiert immer für unendliche Listen

PI3 WS 18/19 31 [35]

Beispiel: rev revisited

I Listenumkehrendrekursiv:

rev3 :: [α]→ [α]

rev3 xs = rev0 xs [ ] where rev0 [ ] ys = ys

rev0 (x : xs ) ys = rev0 xs (x : ys ) I Listenumkehr durch faltenvon links:

rev4 :: [α]→ [α]

rev4 = f o l d l (λxs x → x : xs ) [ ] rev5 :: [α]→ [α]

rev5 = f o l d l ( f l i p ( : ) ) [ ] I Nur nocheineRekursionO(n)!

PI3 WS 18/19 32 [35]

(5)

Wann ist f o l d l = f o l d r ?

Definition (Monoid) (⊗,A) ist einMonoidwenn

A⊗x = x (Neutrales Element links) x⊗A= x (Neutrales Element rechts) (x⊗y)⊗z = x⊗(y⊗z) (Assoziativät)

Theorem

Wenn(⊗,A)Monoid, dann für alleA,xs

foldl⊗A xs=foldr⊗A xs

I Beispiele:length,concat,sum I Gegenbeispiele:rev,a l l

PI3 WS 18/19 33 [35]

Übersicht: vordefinierte Funktionen auf Listen II

map :: (α→β)→ [α]→ [β] −−Auf alle anwenden f i l t e r :: (α→ Bool)→ [α]→ [α] −−Elemente filtern f o l d r :: (α→β→β)→β→ [α]→β −−Falten von rechts f o l d l :: (β→α→β)→β→ [α]→β −−Falten von links mapConcat :: (α→ [β] )→ [α]→ [β] −−map und concat takeWhile :: (α→ Bool)→ [α]→ [α] −−längster Prefix mit p dropWhile :: (α→ Bool)→ [α]→ [α] −−Rest von takeWhile span :: (α→ Bool)→ [α]→ ( [α] , [α] )−−takeWhile und dropWhile a l l :: (α→ Bool)→ [α] →Bool −−p gilt für alle

any :: (α→ Bool)→ [α] →Bool −−p gilt mind. einmal elem :: (Eqα) ⇒α→ [α] →Bool −−Ist Element enthalten?

zipWith :: (α→β →γ) → [α] → [β] → [γ]

−−verallgemeinertes zip

I Mehr: sieheData . L i s t

PI3 WS 18/19 34 [35]

Zusammenfassung

I Funktionenhöherer Ordnung

I Funktionen alsgleichberechtigte ObjekteundArgumente

I Partielle Applikation,η-Kontraktion, namenlose Funktionen

I Spezielle Funktionen höherer Ordnung:map,f i l t e r,foldund Freunde I Formen derRekursion:

I StrukturelleRekursion entsprichtf o l d r

I Iteration entsprichtf o l d l

I Nächste Woche:foldfür andere Datentypen

PI3 WS 18/19 35 [35]

Funktionen Höherer Ordnung

Fahrplan

Inhalt

Funktionen als Werte

Funktionen Höherer Ordnung

Ähnliche Datentypen der letzten Vorlesung

Ähnliche Funktionen der letzten Vorlesung

Ein einheitlicher Rahmen

Funktionen als Werte: Funktionstypen

Map und Filter

Funktionen als Argumente: map

Funktionen als Argumente: f i l t e r

Beispiel f i l t e r : Sieb des Erathostenes

Funktionen Höherer Ordnung

Funktionen als Argumente: Funktionskomposition

η-Kontraktion

η-Äquivalenz und η-Kontraktion

Partielle Applikation

Strukturelle Rekursion

Strukturelle Rekursion

Strukturelle Rekursion

Strukturelle Rekursion durch f o l d r

Beispiele: f o l d r

Beispiele: f o l d r

Der Shoppe, revisited.

Der Shoppe, revisited.

Der Shoppe, revisited.

Der Shoppe, revisited.

Noch ein Beispiel: rev

Iteration mit f o l d l

f o l d r vs. f o l d l

Beispiel: rev revisited

Wann ist f o l d l = f o l d r ?

Übersicht: vordefinierte Funktionen auf Listen II

Zusammenfassung