Aufgaben und Lösungen zu Kapitel 7 Aufgaben und Lösungen zu Kapitel 7

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Aufgaben und Lösungen zu Kapitel 7 Aufgaben und Lösungen zu Kapitel 7

1. Gegeben ist ein Distributionssystem mit m Lagern. Von diesen Lagern werden n

Bedarfsregionen beliefert. Es soll entschieden werden, ob es kostensparender wäre, einige Lager zu schließen. Dazu wird für einen festen Planungshorizont folgendes Modell betrachtet:

Modifizieren Sie dieses Modell entsprechend, indem Sie die Entscheidungsvariablen in das gegebene Modell einfügen!

2. Zusätzlich zu 1. gilt: Wenn Lager i geschlossen wird, dann muss Lager j geöffnet bleiben, d.h. y_i=1 ⇒y_j= 0. Weiterhin kann ein bestehendes Lager i in der Kapazität um c_iME zu Fixkosten K_ierweitert werden

∑

∑

∑∑ ∑

=

≥

=

≤

i

j ij

j

i ij

i

i j i

ij ij ij

i i ij

n ,.., 1 j , b x

m ,.., 1 i , a x

f + x c Min

[GE/ME]

ten ansportkos Einheitstr

die sind c

[GE]

rizont Planungsho im

i Lager von Fixkosten die

ind s f

sonst 0 soll, n werden geschlosse

i Lager wenn 1, ist y

[ME]

soll werden geliefert j Kunde an i Lager von die Menge, die bezeichnet

x

Lösung der Aufgaben 1 und 2 in Kapitel 7 Lösung der Aufgaben 1 und 2 in Kapitel 7

Wenn Lager i geschlossen wird, dann muss Lager j geöffnet bleiben, d.h. y_i=1 ⇒y_j= 0

∑

∑

∑∑ ∑

=

≥

=

≤

i

j ij

j ij ij

n ,.., 1 j , b x

m ,.., 1 i x

) s

die bezeichnet x

, a ) y - (1

f y - (1 + x c Min

[GE/ME]

ten ansportkos Einheitstr

die sind c

[GE]

rizont Planungsho im

i Lager von Fixkosten die

ind f

sonst 0 soll, werden n geschlosse

i Lager wenn 1, ist y

[ME]

soll werden geliefert

j Kunde an i Lager von die Menge,

i i

i

i j i

i ij

ij ij

i i

Lösung: y_j≤(1-y_i) oder y_j+ y_i≤1

Lager i darf dann und nur dann geschlossen werden, wenn auch Lager j geschlossen wird! Lösung: y_j= y_i, d.h. y_j– y_i= 0

Ein bestehendes Lager i kann in der Kapazität um c_iME zu Fixkosten K_jerweitert werden: z_i= 1, wenn die Kap. erhöht wird; RHS: (1-y_i) a_i+ z_ic_i, z_i≤(1- y_i)

Zusätzlicher Zielfunktionsterm: + K_iz_i

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Aufgabe 3 Aufgabe 3

3. Das bereits mehrfach benutzte Standortplanungsproblem für Lager setzte einen einperiodischen Planungshorizont voraus. Durch die Osterweiterung ergeben sich aber auch dynamisch ändernde Absatzmärkte. Dies kann dazu führen dass sich eine

Standortentscheidung (mit hohen Fixkosten und Risiken) erst in späteren Perioden

getroffen werden sollte. Wir betrachten t=1,..,r Perioden, die ggf. in späteren Perioden auch länger sein können. Es soll entschieden werden an welchen Standorten und in welcher Periode Lager gebaut werden sollen. Lagerhaltung wird auf Grund der Länge der Perioden vernachlässigt!

Daten

ƒ b_jtBedarf pro Periode und Kunde j [ME]

ƒ f_it Fixkosten, wenn Lager i in Periode t gebaut wird [GE]

ƒ c_ijtDistributionskosten [GE/ME] vom Lager i zum Kunden j in Periode t

ƒ a_iKapazität des zu bauenden Lagers [ME]

Entscheidungsvariablen

ƒ y_it∈{0, 1}, y_it= 1 falls in Periode t am Standort i ein Lager errichtet wird; 0 sonst

ƒ x_ijtist die Menge (x_ijt ≥0), die Kunde j in Periode t vom Lager i beziehen soll [ME]

∑∑∑ ∑∑

i j t i t

it it ijt

ijt x + f y

c Min

r ,.., 1 t , n ,.., 1 j , b x

r ,.., 1 t , m ,.., 1 i , y a x

r ,.., 1 t , n ,.., 1 j , m ,.., 1 i , y b x

i jt ijt j

it i ijt

it jt ijt

=

=

≥

=

=

≤

=

=

=

≤

∑

∑

Erster Versuch – nicht unbedingt richtig!

Lösung Aufgabe 3 in Kapitel 7 Lösung Aufgabe 3 in Kapitel 7

3. Das bereits mehrfach benutzte Standortplanungsproblem für Lager setzte einen einperiodischen Planungshorizont voraus. Durch die Osterweiterung ergeben sich aber auch dynamisch ändernde Absatzmärkte. Dies kann dazu führen dass sich eine

Standortentscheidung (mit hohen Fixkosten und Risiken) erst in späteren Perioden

getroffen werden sollte. Wir betrachten t=1,..,r Perioden, die ggf. in späteren Perioden auch länger sein können. Es soll entschieden werden an welchen Standorten und in welcher Periode Lager gebaut werden sollen.

Daten

ƒ b_jtBedarf pro Periode und Kunde j [ME]

ƒ f_it Fixkosten, wenn Lager i in Periode t gebaut wird [GE]

ƒ c_ijtDistributionskosten [GE/ME] vom Lager i zum Kunden j in Periode t

ƒ a_iKapazität des zu bauenden Lagers [ME]

Entscheidungsvariablen

ƒ y_it∈{0, 1}, y_it= 1 falls in Periode t am Standort i ein Lager errichtet wird; 0 sonst

ƒ o_it∈{0, 1}, o_it= 1, falls in Periode t am Standort i ein Lager existiert, 0 sonst

ƒ x_ijtist die Menge (x_ijt ≥0), die Kunde j in Periode t vom Lager i beziehen soll [ME]

∑∑∑ ∑∑

i j t i t

it it ijt

ijt x + f y

c Min

m ,.., 1 i , r ,.., 1 t , y o , 1 y

r ,.., 1 t , n ,.., 1 j , b x

r ,.., 1 t , m ,.., 1 i , o a x

r ,.., 1 t , n ,.., 1 j , m ,.., 1 i , o b x

t

k ik it t

it i

jt ijt j

it i ijt

it jt ijt

=

=

=

≤

=

=

≥

=

=

≤

=

=

=

≤

∑

∑

∑

∑