Hans Walser, [20120512a]
38-Flächner
Wir konstruieren ein Polyeder mit 38 Seitenflächen.
1 Zwölfkant-Prismen
Die Abbildung 1 zeigt Zwölfkant-Prismen in drei orthogonalen Orientierungen.
Abb. 1: Zwölfkant-Prismen
Sämtliche Seitenflächen haben jeweils vom Mittelpunkt denselben Abstand. Die Pris- men haben also eine Inkugel. Wir normieren den Inkugelradius auf 1.
2 30-Flächner
Wir nehmen nun den Durchschnitt dieser drei Zwölfkant-Prismen (Abb. 2).
Abb. 2: Durchschnitt der drei Zwölfkant-Prismen
Es entsteht ein Polyeder, das von vorn, von der Seite und von oben ein regelmäßiges Zwölfeck als Umriss hat. Die Abbildung 3 zeigt den Blick von oben (Vogelperspekti- ve).
Hans Walser: 38-Flächner 2/4
Abb. 3: Blick von oben
Das Polyeder hat 30 Seitenflächen, welche alle vom Mittelpunkt denselben Abstand haben. Sechs davon sind Quadrate. Ihre Ebenen liegen auf den Seitenflächen eines Wür- fels. Die restlichen 24 Seitenflächen sind gleichschenklige Trapeze. Die Abbildung 4 zeigt eine frontale Sicht auf ein solches Trapez.
Abb. 4: Sicht auf ein Trapez
Das Polyeder kann interpretiert werden als Würfel, auf dessen sechs Seitenflächen Py- ramidenstumpfe aufgebaut sind.
Nun schneiden wir noch die acht Würfelecken ab, und zwar so, dass die Schnittebenen vom Mittelpunkt denselben Abstand haben wie die übrigen Seitenflächen, also den In-
Hans Walser: 38-Flächner 3/4 kugelradius 1 (Abb. 5). Wir erhalten dadurch acht zusätzliche Seitenflächen, haben also einen 38-Flächner. Die bisherigen Trapeze werden zu unregelmäßigen Sechsecken.
Abb. 5: Polyeder mit 38 Seitenflächen
Die neuen Seitenflächen sind Sechsecke, aber keine regelmäßige Sechsecke. Sie haben nur drei Symmetrieachsen. Die Abbildung 6 zeigt eine Frontalansicht eines solchen Sechsecks. Die Ebenen dieser acht Sechsecke liegen auf einem Oktaeder.
Abb. 6: Frontalansicht eines Sechsecks
Hans Walser: 38-Flächner 4/4 Der 38-Flächner hat eine Inkugel mit dem Radius 1. Eine dazu konzentrische Kugel mit einem geringfügig größeren Radius schneidet daher aus allen Seitenflächen gleich große Kreise heraus. Wir wählen für diese konzentrische Kugel den Radius r=1.025. Die Abbildung 7 zeigt die Vereinigung, die Abbildung 8 den Durchschnitt dieser Kugel mit dem 38-Flächner.
Abb. 7: Vereinigung mit Kugel
Abb. 8: Durchschnitt mit Kugel
