Hans Walser, [20130817b]
Die schöne Kugel 1 Der Test
Welches ist die schönste Kugel (Abb. 1)?
Abb. 1: Welches ist die schönste Kugel?
In der Regel wird die mittlere Kugel als die „schönste“ angesehen.
2 Hintergrund
Die Netzlinien sind Rückabbildungen von Quadratrastern auf der abstandstreuen Platt- karte (Marinos von Tyros), der konformen Seekarte von Mercator und der flächentreuen Karte von Archimedes.
2.1 Marinos von Tyros
Die Kugel links ergibt sich durch Übertragen der Netzlinien der Plattkarte auf die Ku- gel. Die Plattkarte wurde vom Phönizier Marinos von Tyros zuerst beschrieben. Die Abbildung 2 zeigt die Kugel links genau von der Seite und mit Blick auf den Nordpol.
Abb. 2: Parametrisierung durch Plattkarte
Auf einem Meridian zum Beispiel auf dem Umriss haben wir in der Süd-Nord-Richtung immer denselben Abstand zwischen zwei Breitenkreisen. Die Netzvierecke haben in der Süd-Nord-Richtung alle dieselbe Höhe, werden aber in der West-Ost-Richtung gegen die Pole zu immer schmaler.
Hans Walser: Die schöne Kugel 2/3
2.2 Mercator
Die mittlere Kugel entsteht durch Rückübertragung eines Quadratnetzes von der Merca- tor-Karte (Seekarte) auf die Kugel. Wegen der Konformität der Mercator-Karte haben die Netzvierecke auf der Kugel näherungsweise die Form von Quadraten. Gegen die Pole zu werden sie aber immer kleiner. Gauß sprach von einer „Abbildung durch kleins- te Quadrate“ (das hat nichts mit der least squares Methode in der Statistik zu tun).
Die Abbildung 3 zeigt die Situation mit Sicht auf den Äquator und auf den Nordpol.
Abb. 3: Die schöne Kugel. Formgleiche Netzvierecke
Auf der schönen Kugel finden wir durch geeignete Diagonalen von Netzvierecken Loxodromen, also Kurven konstanten Kurses. Die Abbildung 4 zeigt links eine Loxodrome für den Kurs 45°, rechts eine Loxodrome für den Kurs arctan 3
( )
≈71.565°.
Abb. 4: Loxodromen
Hans Walser: Die schöne Kugel 3/3
2.3 Archimedes
Die Kugel rechts entsteht durch Rückübertragung eines Quadratnetzes von der flächen- treuen Archimedes-Karte auf die Kugel. Die Netzvierecke auf der Kugel haben daher alle denselben Flächeninhalt.
Die Abbildung 5 zeigt die Situation von der Seite und von oben.
Abb. 5: Flächengleiche Netzvierecke
Die vertikalen Abstände zwischen den Ebenen der Breitenkreise sind immer gleich groß. Die einzelnen Zonen haben je den gleichen Flächeninhalt.
Wird ein kugelrundes Brot in gleich dicke Scheiben geschnitten, hat jede Brotscheibe gleich viel Kruste.
