08_PrismaVolumenOberflaeche_dien
Prismen – Volumen und Oberflächeninhalt - Lösung
1. 𝑉 =𝐺∙ℎ=2𝑚2∙0,4𝑚= 0,8𝑚³
2. In einem rechtwinkligen Dreieck stehen die Katheten aufeinander senkrecht, sind also jeweils die Höhen zur anderen Kathete.
→𝐺 = 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘 =1
2∙ 𝑔 ∙ ℎ =1
2∙ 𝑎 ∙ 𝑏 =1
2∙ 3𝑐𝑚 ∙ 4𝑐𝑚 =6𝑐𝑚² 𝑉 =𝐺∙ℎ=6𝑐𝑚2∙10𝑐𝑚= 60𝑐𝑚³
3. Ein regelmäßiges Sechseck lässt sich in sechs gleichseitige Dreiecke zerlegen.
→𝐺 = 6 ∙ 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘 Für die Höhe im gleichseitigen Dreieck gilt: ℎ𝑎=1
2∙ √3 ∙ 𝑎 (lässt sich mit Pythagoras berechnen)
→ 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘 =1
2∙ 𝑎 ∙ ℎ𝑎=1 2∙ 𝑎 ∙1
2∙ √3 ∙ 𝑎 =1
4∙ √3 ∙ 𝑎² 𝑉 =𝐺∙ ℎ =6 ∙ 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘∙ℎ=6 ∙1
4∙ √3 ∙ 𝑎2∙4𝑎= 6 ∙ √3 ∙ 𝑎³
4. Die Mantelfläche besteht aus vier Rechtecken, bei denen die eine Kante die Höhe des Prismas und die andere Kante die Länge der Seite der Grundfläche ist.
→ 𝑀 = 𝐴1+ 𝐴2+ 𝐴3+ 𝐴4 = 5𝑐𝑚 ∙ 10𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚 ∙ 10𝑐𝑚 + 12𝑐𝑚 ∙ 10𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 ∙ 10𝑐𝑚
= 280 𝑐𝑚2
𝑂 = 2𝐺 + 𝑀 = 2 ∙ 90𝑐𝑚2+ 280𝑐𝑚2= 370𝑐𝑚2
5. Siehe Nummer 2 →𝐺 = 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘 =6𝑐𝑚²
Mit Hilfe des Satz des Pythagoras lässt sich die Hypotenuse berechnen:
𝑎² + 𝑏² = 𝑐² → (3𝑐𝑚)2+ (4𝑐𝑚)2= 𝑐² → 9𝑐𝑚² + 16𝑐𝑚² = 𝑐² → 25𝑐𝑚² = 𝑐² → 𝑐 = 5𝑐𝑚 Die Mantelfläche besteht aus 3 Rechtecken 𝑀 = 𝐴1+ 𝐴2+ 𝐴3= 3𝑐𝑚 ∙ 10𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 ∙ 10𝑐𝑚 + 5𝑐𝑚 ∙ 10𝑐𝑚 = 120𝑐𝑚2
→ 𝑂 = 2𝐺 + 𝑀 = 2 ∙ 6𝑐𝑚2+ 120𝑐𝑚2 = 132𝑐𝑚²
6. Siehe Nummer 3: 𝐺 = 6 ∙ 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘 =6 ∙1
4∙ √3 ∙ 𝑎2
Die Mantelfläche sind 6 kongruente Rechtecke mit Kantenlänge a und 4a.
→ 𝑂 = 2𝐺 + 𝑀 = 2 ∙6 ∙1
4∙ √3 ∙ 𝑎2+ 6 ∙ 𝑎 ∙ 4𝑎 = 3√3 𝑎2+ 24𝑎2= 𝑎²(3√3 + 24)
