Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis

Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. M. Sc.

WS 2016/2017 10.03.2017

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Bachelor-Modulprüfung

Aufgabe 1 (3+4+1+2=10 Punkte) Gegeben sei die Matrix

A=











1 2 0 2 1 2 0 2 1









 .

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte vonAund deren zugehörigen algebraischen Vielfachheiten.

Was können Sie über die geometrischen Vielfachheiten aussagen, ohne die Eigenräume konkret zu bestimmen?

b) Bestimmen Sie eine orthogonale MatrixS, bezüglich welcherS⁻¹AS diagonal ist, und geben SieS⁻¹ASan.

c) Bestimmen Sie (I₃−A)³.

d) Gibt es eine MatrixW ∈R^3×3derart, dassW²=Agilt?

Aufgabe 2 ((2+3)+5=10 Punkte)

a) Die Funktionf :R²→Rsei gegeben durch

f(x, y) =











√ 1

x²+y²sin(x²+y²) ,(x, y),(0,0), 0 ,(x, y) = (0,0).

(i) Untersuchen Sie die Funktionf auf Stetigkeit.

(ii) Bestimmen Sie alle Stellen, in denenf partiell differenzierbar ist, und berechnen Sie dort die partiellen Ableitungen.

b) Seig(x, y) :=x⁴−4x²y+ 4x²y²+ 4y²für alle (x, y)∈R². Bestimmen und klassifizieren Sie alle lokalen bzw. globalen Extremstellen vong.

Hinweis:Es ist möglich, zunächst die globalen Extrema vongzu bestimmen.

— bitte wenden —

Aufgabe 3 (4+3+3=10 Punkte)

a) Definieref(x, y) := sin(x²+y³) für alle (x, y)∈R². Bestimmen Sie das Maximum vonf auf dem Kreis{(x, y)∈R²|x²+y²≤1}.

b) Seienf :R³→R³,(x, y, z)7→(x, y,−2z)^T sowie der ZylinderS :={(x, y, z)∈R³|x²+y²= 1,−1≤z≤1}gegeben. Bestimmen SieR

Sf(x)· do.

Hinweis:Bestimmen Siea, b, c∈Rderart, dass fürv:R³→R³,(x, y, z)7→(ayz, bxz, cxy) f(x, y, z) =∇ ×v(x, y, z)

für alle (x, y, z)∈R³gilt.

c) Seienb > a >0. Berechnen SieR₁

0 x^b−x^a

ln(x) dx.

Hinweis:Bestimmen Sie eine Stammfunktion von [ε,1]→R, y7→x^y mitε >0.

Aufgabe 4 (2+4+4=10 Punkte)

a) Berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Funktionf :R→R, x7→cos³(x).

b) Seif ∈H(C) nicht-konstant. Zeigen Sie, dass es zu jedema∈Ceine Folge (z_n)_n∈N inC derart gibt, dass lim_n→∞f(z_n) =agilt.

c) Sei

f :R→R, x7→











1 ,falls|x| ≤2 0 ,falls|x|>2. Bestimmen SieFf sowieR∞

−∞

sin²(x) x² dx.

Viel Erfolg!

Hinweise für nach der Klausur:

• DieErgebnisseder Modulprüfung werden am Donnerstag, den27.04.2017, neben Zimmer 2.027 (Geb. 20.30) und unterwww.math.kit.edu/iana1veröffentlicht.

• DieEinsichtnahmein die korrigierten Modulprüfungen findet am Donnerstag, den04.05.2017, von16 bis 18 Uhrin derNeuen Chemie (Geb. 30.46)statt.

• Diemündlichen Nachprüfungenfinden in der Woche vom08.05.2017bis12.05.2017statt.