Prof. Dr. R. Schrader WS 2003/2004 Ch. Hagemeier
7. ¨ Ubung zur Vorlesung Graphentheorie
Abgabe: 11.–12.12.2003 Besprechung: 18.–19.12.2003 jeweils in Eurer ¨Ubungsgruppe
Aufgabe 28:
Zeige: Die Regionen eines einfachen planaren eulerschen Graphen lassen sich mit zwei Farben so f¨arben, dass je zwei Regionen mit gemeinsamen Kanten unterschiedliche Farben haben.
Aufgabe 29:
Ein Graph G= (V, E) heißtk–degeneriert, wenn gilt ∀H ⊆G:∃v ∈V(H) :d(v)≤k.
Zeige, dass man die Knoten eines einfachen planaren 4–degenerierten GraphenG= (V, E) mit h¨ochstens 4 Farben so f¨arben kann, dass je zwei benachbarte Knoten verschiedene Farben aufweisen.
Aufgabe 30:
Gegeben sei ein vollst¨andiger Graph G = (V, E). Wir bezeichnen einen solchen Graphen als Turnier, wenn jede der Kanten beliebig orientiert ist, also gelte: ∀u, v ∈V : entweder (u, v)∈E oder (v, u)∈E.
Zeige, dass in jedem Turnier ein Weg existiert, der jeden Knoten von G genau einmal besucht.
Tipp: Nutze eine Induktion ¨uber die Anzahl der Knoten.
Aufgabe 31:
Zeige, dass in jedem Turnier ein Knoten existiert, der mit jedem Knoten ¨uber einen ge- richteten Weg aus h¨ochstens 2 Kanten verbunden ist. (Ein solcher Knoten wird dann auch alsgraue Eminenz bezeichnet.)
