MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITAT MUNCHEN
Prof. Dr. Otto Forster
WS 2000/2001
Ellipti sche Funktionen und Ellipti sche Kurven,
Ubungen
Blatt 9 Aufgabe 33
Fur einen algebraisch abgeschlossenen Korper k mit char(k)6= 2;3 sei E P2(k) die elliptische Kurve mit der anen GleichungY2=P3(X) :=X3 +aX +b; a;b2k. Man zeige, da die KurveE genau 9 paarweise verschiedene Wendepunkte besitzt.
Aufgabe 34
Es seien K, k Korper, k K und k(K) der Dierentialmodul von K uber k. Man deniert die logarithmische Ableitung durch
dl og :K !k(K); f 7!dl og(f) := df
f :
Man zeige: dl og ist ein Gruppenhomomorphismus der multiplikativen Gruppe K in die additive Gruppe k(K).
Aufgabe 35
SeiK =K(E) der Funktionenkorper einer elliptischen Kurve E P2(k) und f 2K. Man zeige:! :=dl og(f) = dff (vgl. Aufgabe 34) hat hochstens Polstellen 1. Ordnung.
Genauer gilt: Ein Punkt q 2 E ist eine Polstelle 1. Ordnung von ! genau dann, wennf inqeine Null- oder Polstelle hat, deren Ordnung kein Vielfaches von char(k) ist.
Aufgabe 36
Es seiE die elliptische Kurve mit der anen Gleichung
Y
2 =P3(X) :=X(X 1)(X 2): Man bestimme den Divisor der Dierentialform dY.
