PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 5¨
Abgabe bis Fr, 13.05., 8:15 Uhr
Aufgabe 1. Seien f, g: X → Y stetige Abbildungen topologischer R¨aume und Y Hausdorffsch. Zeigen Sie auf zwei verschiedene Arten, dass die Menge
{x∈X:f(x) =g(x)} ⊆X
abgeschlossen ist, z.B. mit Hilfe von Netzen, Umgebungen oder der Abgeschlossenheit der Diagonale in Y ×Y.
Aufgabe 2. Sei ˜X eine Kompaktifizierung eines lokal-kompakten Hausdorff-Raumes X. Zeigen Sie:
(a) Es gibt genau eine stetige Abbildung pX˜: ˜X → X+, deren Einschr¨ankung auf X die Identit¨at ist.
(b) Falls ˜X\X nur einen Punkt enth¨alt, ist pX˜ ein Hom¨oomorphismus.
(c) X+ist hom¨oomorph zum Quotienten ˜X/∼f¨ur eine ¨Aquivalenzrelation∼(welche?).
Aufgabe 3. (a) Sei X ein topologischer Raum mit Teilmengen A1, . . . , An. Zeigen Sie, dass dann (A1∪ · · · ∪An) =A1∪ · · · ∪An.
Sei nun X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Zeigen Sie:
(b) IstK ⊆X kompakt und V ⊆X offen mit K ⊆V, so existiert eine offene Menge U so, dassK⊆U,U ⊆V und U kompakt ist.
(c) SindK und V wie in (b), so existiert eine stetige Funktion f:X →[0,1], die auf K konstant 1 ist und derenTr¨ager suppf :={x∈X:f(x)6= 0} kompakt und in V enthalten ist.
Aufgabe 4. Seip eine Primzahl. Zeigen Sie:
(a) Alle Mengen der Form
A(n, α) :={m∈Z:m=n+qpα f¨ur ein q∈Z} mitn∈Z undα∈Nbilden eine Basis f¨ur eine Topologie τp auf Z.
(b) (Z, τp) ist metrisierbar (Hinweis: Der Abstand zweier Punkte m, n ist umso kleiner, je gr¨oßere Potenzen von pdie Differenz m−n teilen).
Zusatzaufgabe 5. Wir betrachten (Z, τp) f¨ur einp >2. Zeigen Sie:
(a) Ist nα := 1 +p+p2+· · ·+pα, so giltT
α∈NA(nα, α+ 1) = ∅; insbesondere ist (Z, τp) nicht kompakt.
(Hinweis: Liegtmin dem Schnitt, so unterscheiden Sie die F¨allem <0 undm≥0 und folgern Sie in beiden F¨allen, dass mbeliebig klein/groß sein muss.)
(b) Jede der MengenA(n, α) ist abgeschlossen und hom¨oomorph zu (Z, τp).
(c) (Z, τp) ist nicht lokal-kompakt.
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