9.1.2 Komplexe Differenzierbarkeit
Komplexe Differenzierbarkeit
f0(z) = lim
|∆z|→0
f(z+ ∆z)−f(z)
∆z Grenzwert unabh¨angig von der Folge ∆z
komplex differenzierbar oder analytisch in einer offenen Menge D⊆C⇔ f0(z) existiert f¨ur allez ∈D
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
f(z) =u(x, y) + iv(x, y), z =x+ iy komplex differenzierbar ⇔f(x, y) = (u, v)t total differenzierbar und
ux =vy, uy =−vx
¨aquivalente Ausdr¨ucke f¨ur die Ableitung
f0 =ux+ ivx =vy−iuy sowohl u als auch v harmonisch, d.h.
∆u=uxx+uyy = 0 = ∆v
Konjugiert harmonische Funktion
∆u= 0 =⇒ ∃komplex differenzierbare Funktion (komplexes Potential) f(z) =u(x, y) + iv(x, y), z =x+ iy v = Imf: konjugiert harmonische Funktion
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